高中數(shù)學(xué)北師大版必修1學(xué)案3-6指數(shù)函數(shù)冪函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)的比較

§6指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)的比較知識(shí)點(diǎn)三種函數(shù)類(lèi)型的增長(zhǎng)比較[填一填]在區(qū)間(0，＋∞)上，盡管函數(shù)y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)，y＝xn(n>0)都是增(填“增”或“減”)函數(shù)，但它們的增長(zhǎng)速度不同，而且在不同的“檔次”上，隨著x的增大，y＝ax(a>1)的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，會(huì)超過(guò)并會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝xn(n>0)的增長(zhǎng)速度，而y＝logax(a>1)的增長(zhǎng)速度會(huì)越來(lái)越慢．因此，總會(huì)存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，就有l(wèi)ogax<xn<ax.[答一答]怎樣理解指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)情況具有一定規(guī)律性？提示：一般地，對(duì)于指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>1)和冪函數(shù)y＝xn(n>0)，通過(guò)探索可以發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間(0，＋∞)上，無(wú)論n比a大多少，盡管在x的一定變化范圍內(nèi)，ax會(huì)小于xn，但由于ax的增長(zhǎng)快于xn的增長(zhǎng)，因此總存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，就會(huì)有ax>xn.同樣地，對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>1)和冪函數(shù)y＝xn(n>0)，在區(qū)間(0，＋∞)上，隨著x的增大，logax增長(zhǎng)得越來(lái)越慢，圖像就像是漸漸地與x軸平行一樣．盡管在x的一定變化范圍內(nèi)，logax可能會(huì)大于xn，但由于logax的增長(zhǎng)慢于xn的增長(zhǎng)，因此總存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，就會(huì)有l(wèi)ogax<xn.綜上所述，在區(qū)間(0，＋∞)上，盡管函數(shù)y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函數(shù)，但它們的增長(zhǎng)速度不同，而且不在同一個(gè)“檔次”上，隨著x的增大，y＝ax(a>1)的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，會(huì)超過(guò)并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝xn(n>0)的增長(zhǎng)速度，而y＝logax(a>1)的增長(zhǎng)速度則會(huì)越來(lái)越慢．因此，總會(huì)存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，就有l(wèi)ogax<xn<ax.函數(shù)模型的選取：(1)當(dāng)描述增長(zhǎng)速度變化很快時(shí)，常常選用指數(shù)函數(shù)模型．(2)當(dāng)要求不斷增長(zhǎng)，但又不會(huì)增長(zhǎng)過(guò)快，也不會(huì)增長(zhǎng)到很大時(shí)，常常選用對(duì)數(shù)函數(shù)模型．(3)冪函數(shù)模型y＝xn(n>0)則可以描述增長(zhǎng)幅度不同的變化，n值較小(n≤1)時(shí)，增長(zhǎng)較慢；n值較大(n>1)時(shí)，增長(zhǎng)較快．類(lèi)型一函數(shù)增長(zhǎng)快慢的比較【例1】試?yán)脠D像比較y＝x2和y＝2x的增長(zhǎng)情況．【思路探究】應(yīng)首先利用列表描點(diǎn)法畫(huà)出函數(shù)圖像，再通過(guò)圖像比較其增長(zhǎng)情況．【解】為觀察到y(tǒng)＝x2和y＝2x的圖像和全貌，便于比較其增長(zhǎng)情況，列如下兩表：對(duì)應(yīng)表1的圖像如圖(1)．對(duì)應(yīng)表2的圖像如圖(2)．由圖(1)可以看到，y＝2x和y＝x2的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)(2,4)和(4,16)．結(jié)合圖像可得：當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，2x>x2；當(dāng)x∈(2,4)時(shí)，2x<x2；當(dāng)x>4時(shí)，2x>x2.再結(jié)合圖(2)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)自變量x越來(lái)越大時(shí)，y＝2x的圖像就像與x軸垂直一樣，2x的值快速增長(zhǎng)，x2比起2x來(lái)，幾乎有些微不足道．規(guī)律方法(1)我們常把指數(shù)的這種快速劇增形象地稱(chēng)為“指數(shù)爆炸”．(2)在計(jì)算器或計(jì)算機(jī)中，1.10×1012常表示成1.10E＋12.(3)在區(qū)間(0，＋∞)上，盡管函數(shù)y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函數(shù)，但它們的增長(zhǎng)速度不同，而且不在同一“檔次”上，隨著x增長(zhǎng)，y＝ax(a>1)的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，會(huì)超過(guò)并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝xn(n>0)的增長(zhǎng)速度，而y＝logax(a>1)則增長(zhǎng)會(huì)越來(lái)越慢，因此，總會(huì)存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，就有l(wèi)ogax<xn<ax.在給出的四個(gè)函數(shù)y＝3x，y＝x3，y＝3x，y＝log3x中，當(dāng)x∈(3，＋∞)時(shí)，其中增長(zhǎng)速度最快的函數(shù)是(B)A．y＝3x B．y＝3xC．y＝x3 D．y＝log3x解析：隨著x的增大，函數(shù)y＝ax(a>1)的增速會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)y＝xn(n>0)的增速，而函數(shù)y＝logax(a>1)的增長(zhǎng)速度最慢．故選B.類(lèi)型二比較大小【思路探究】方法1：數(shù)形結(jié)合法．方法2：化為同底數(shù)的對(duì)數(shù)函數(shù)，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較大小，不可化為同底數(shù)的，與0比較，或與1比較．【解】規(guī)律方法對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)，當(dāng)真數(shù)x>1時(shí)，在x軸上方或下方均有“底數(shù)越大，圖像越偏下”；當(dāng)真數(shù)0<x<1時(shí)，在x軸上方或下方均有“底數(shù)越大，圖像越偏上”．反之由圖像的位置也能確定底數(shù)的大小關(guān)系．四個(gè)數(shù)2.40.8,3.60.8，log0.34.2，log0.4A．3.60.8>log0.40.5>2.40.8>log0.3B．3.60.8>2.40.8>log0.34.2>log0.4C．log0.40.5>3.60.8>2.40.8>log0.3D．3.60.8>2.40.8>log0.40.5>log0.3解析：∵y＝x0.8在(0，＋∞)上是增函數(shù)，又3.6>2.4>1，∴3.60.8>2.40.8>1.∵log0.34.2<log0.31＝log0.41<log0.40.5<log0.40.4＝1，∴l(xiāng)og0.34.2<0<log0.40.5<1，∴3.60.8>2.40.8>log0.40.5>log0.3類(lèi)型三不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用【例3】某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬(wàn)元利潤(rùn)的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷(xiāo)售部門(mén)的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷(xiāo)售利潤(rùn)達(dá)到10萬(wàn)元時(shí)，按銷(xiāo)售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y(單位：萬(wàn)元)隨銷(xiāo)售利潤(rùn)x(單位：萬(wàn)元)的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)利潤(rùn)的25%.現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？【思路探究】某個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型符合公司要求，即當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)，能夠滿足y≤5，且eq\f(y,x)≤25%，可以先從函數(shù)圖像得到初步的結(jié)論，再通過(guò)具體計(jì)算，確認(rèn)結(jié)果．【解】借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出函數(shù)y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的圖像(如圖所示)．觀察圖像發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間[10,1000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的圖像都有一部分在直線y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的圖像始終在y＝5的下方，這說(shuō)明只有按模型y＝log7x＋1進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)才符合公司的要求．下面通過(guò)計(jì)算確認(rèn)上述判斷．首先計(jì)算哪個(gè)模型的獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)．對(duì)于模型y＝0.25x，它在區(qū)間[10,1000]上單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(20,1000]時(shí)，y>5，因此該模型不符合要求．對(duì)于模型y＝1.002x，由函數(shù)的圖像，并利用計(jì)算器計(jì)算可知，在區(qū)間(805,806)內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)x0滿足1.002x0＝5，由于它在區(qū)間[10,1000]上單調(diào)遞增，因此當(dāng)x>x0時(shí)，y>5，因此該模型不符合要求．對(duì)于模型y＝log7x＋1，它在區(qū)間[10,1000]上單調(diào)遞增，而且當(dāng)x＝1000時(shí)，y＝log71000＋1≈4.55<5，所以它符合獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元的要求．再計(jì)算當(dāng)x∈[10,1000]時(shí)，是否有eq\f(y,x)＝eq\f(log7x＋1,x)≤0.25成立．令f(x)＝log7x＋1－0.25x，x∈[10,1000]．利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，由圖像可知它是單調(diào)遞減的，因此f(x)<f(10)≈－0.3167<0，即log7x＋1<0.25x.所以當(dāng)x∈[10,1000]時(shí)，eq\f(log7x＋1,x)<0.25，說(shuō)明按模型y＝log7x＋1獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)，獎(jiǎng)金不會(huì)超過(guò)利潤(rùn)的25%.綜上所述，模型y＝log7x＋1符合公司要求．規(guī)律方法從這個(gè)例題我們看到，底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)模型比一次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)的一次函數(shù)模型增長(zhǎng)速度要快得多，而后者又比真數(shù)大于1的對(duì)數(shù)函數(shù)模型增長(zhǎng)速度要快，從這個(gè)實(shí)例我們可以體會(huì)到對(duì)數(shù)增長(zhǎng)，直線上升，指數(shù)爆炸等不同函數(shù)類(lèi)型增長(zhǎng)的含義．某地西紅柿從2月1日起開(kāi)始上市，通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，得到西紅柿種植成本Q(單位為：元/102kg)與上市時(shí)間時(shí)間/t50110250種植成本/Q150108150(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個(gè)函數(shù)描述西紅柿的種植成本Q和上市時(shí)間的變化關(guān)系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bx，Q＝a·logat；(2)利用你選取的函數(shù)，求西紅柿種植成本最低時(shí)的上市天數(shù)及最低種植成本．解：(1)由提供的數(shù)據(jù)知道，描述西紅柿的種植成本Q與上市時(shí)間t之間的變化關(guān)系的函數(shù)不可能是常數(shù)函數(shù)，從而用函數(shù)Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bx，Q＝a·logat中任意一個(gè)進(jìn)行描述時(shí)都應(yīng)有a≠0，而此時(shí)上述四個(gè)函數(shù)中有三個(gè)函數(shù)均為單調(diào)函數(shù)，這與表格所提供的數(shù)據(jù)不符合，所以，選取二次函數(shù)Q＝at2＋bt＋c進(jìn)行描述．以表格所提供的三組數(shù)據(jù)分別代入Q＝at2＋bt＋c得到：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(150＝2500a＋50b＋c，,108＝12100a＋110b＋c，,150＝62500a＋250b＋c，))解上述方程組得a＝eq\f(1,200)，b＝－eq\f(3,2)，c＝eq\f(425,2).所以，描述西紅柿種植成本Q和上市時(shí)間t變化關(guān)系的函數(shù)為Q＝eq\f(1,200)t2－eq\f(3,2)t＋eq\f(425,2).(2)由(1)可知當(dāng)上市t＝150天時(shí)，種植成本為100元/102——如何選擇函數(shù)模型——指數(shù)函數(shù)型模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0，b>0，b≠1)；對(duì)數(shù)函數(shù)型模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a為常數(shù)，m≠0，a>0，a≠1，x>0)；冪函數(shù)型模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0，n≠1)．在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，我們要根據(jù)實(shí)際情況靈活選取函數(shù)的模型．(1)當(dāng)描述增長(zhǎng)速度變化很快時(shí)，常常選用指數(shù)函數(shù)型模型．(2)當(dāng)要求不斷增長(zhǎng)，但又不會(huì)增長(zhǎng)過(guò)快，也不會(huì)增長(zhǎng)到很大時(shí)，常常選用對(duì)數(shù)函數(shù)型模型．(3)冪函數(shù)型模型y＝xα(α>0)可以描述增長(zhǎng)幅度不同的變化，α值較小(α≤1)時(shí)，增長(zhǎng)速度較慢；α值較大(α>1)時(shí)，增長(zhǎng)速度較快．【例4】某皮鞋廠從今年1月份開(kāi)始投產(chǎn)，并且前4個(gè)月的產(chǎn)量分別為1萬(wàn)雙，1.2萬(wàn)雙，1.3萬(wàn)雙，1.37萬(wàn)雙．由于產(chǎn)品質(zhì)量好，款式新穎，前幾個(gè)月的產(chǎn)品銷(xiāo)售情況良好．為了推銷(xiāo)員在推銷(xiāo)產(chǎn)品時(shí)接受訂單不至于過(guò)多或過(guò)少，需要估測(cè)以后幾個(gè)月的產(chǎn)量．廠里分析，產(chǎn)量的增加是由于工人生產(chǎn)熟練和理順了生產(chǎn)流程．廠里也暫時(shí)不準(zhǔn)備增加設(shè)備和工人，假如你是廠長(zhǎng)，將會(huì)采用什么辦法估算以后幾個(gè)月的產(chǎn)量？(注：冪函數(shù)型模型：y＝aeq\r(x)＋b，指數(shù)函數(shù)型模型：y＝abx＋c)【解析】(冪函數(shù)型模型)設(shè)y1＝aeq\r(x)＋b，將(1,1)，(2,1.2)兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝1，,\r(2)a＋b＝1.2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≈0.48，,b≈0.52，))所以y1＝0.48eq\r(x)＋0.52.(指數(shù)函數(shù)型模型)設(shè)y2＝abx＋c，將(1,1)，(2,1.2)，(3,1.3)三點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＋c＝1，,ab2＋c＝1.2，,ab3＋c＝1.3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－0.8，,b＝0.5，,c＝1.4，))所以y2＝－0.8×0.5x＋1.4.將x＝4分別代入上述函數(shù)關(guān)系式，求得第4個(gè)月產(chǎn)量：y1＝1.48，y2＝1.35.因此選用y＝－0.8×0.5x＋1.4估算以后幾個(gè)月的產(chǎn)量．規(guī)律方法利用函數(shù)圖像或函數(shù)表是求解函數(shù)模型的常用方法，尤其在實(shí)際問(wèn)題中，應(yīng)用得更加廣泛．假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：方案一：每天回報(bào)40元；方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元；方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番．請(qǐng)問(wèn)：你會(huì)選擇哪種投資方案？解：設(shè)第x天所得回報(bào)是y元，則方案一可用函數(shù)f1(x)＝40(x∈N＋)進(jìn)行描述；方案二可用函數(shù)f2(x)＝10x(x∈N＋)進(jìn)行描述；方案三可用函數(shù)f3(x)＝0.4×2x－1(x∈N＋)進(jìn)行描述．作出以上三個(gè)函數(shù)在[0，＋∞)上的圖像，如圖所示．由圖像可知，每天所得回報(bào)，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一、二同樣多；在第5～8天，方案二最多；第9天開(kāi)始，方案三最多．我們?cè)倏蠢塾?jì)回報(bào)數(shù)，列表如下：從上表可知，投資7天以?xún)?nèi)(不含7天)，應(yīng)選擇第一種投資方案；投資7天，選擇第一、二種方案均可；投資8～10天，應(yīng)選擇第二種投資方案；投資11天以上(含11天)，應(yīng)選擇第三種投資方案．一、選擇題1．當(dāng)x越來(lái)越大時(shí)，下列函數(shù)中，增長(zhǎng)速度最快的是(A)A．y＝2x B．y＝x10C．y＝lgx D．y＝10x2解析：在指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>1)，對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>1)和冪函數(shù)y＝xn(n>0)中，隨著x的增大，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>1)的函數(shù)值增長(zhǎng)速度最快，呈“爆炸式”增長(zhǎng)，故選A.2．當(dāng)2<x<4時(shí)，2x，x2，log2x的大小關(guān)系是(B)A．2x>x2>log2xB．x2>2x>log2xC．2x>log2x>x2D．x2>log2x>2x解析：解法1：在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y＝log2x，y＝x2，y＝2x的圖像，因?yàn)樵趨^(qū)間(2,4)上從上往下依次是y＝x2，