吉林省白山市2024屆高三一模數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1吉林省白山市2024屆高三一模數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在中，由得，即，又由可得：，解得,即，故.故選:B.2.復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗由可得：，故的虛部為.故選:D．3.已知，，若在向量上的投影為，則向量（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意.故選：D.4.2023年12月初，某校開展憲法宣傳日活動，邀請了法制專家楊教授為廣大師生做《大力弘揚(yáng)憲法精神，建設(shè)社會主義法制文化》的法制報告，報告后楊教授與四名男生、兩名女生站成一排合影留念，要求楊教授必須站中間，他的兩側(cè)均為兩男1女，則總的站排方法共有（）A.300 B.432 C.600 D.864〖答案〗B〖解析〗楊教授站中間，只有1種方法；四名男生分成兩組放在兩邊方法數(shù)；兩名女生放在兩邊方法數(shù)，每一邊兩名男生與一名女生再排序，得出總的方法數(shù)為.故選：B.5.“”是“方程有唯一實(shí)根”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.非充分非必要條件〖答案〗A〖解析〗方程有唯一解，即直線與上半圓有且僅有一個交點(diǎn)，解得的取值范圍為，∴是方程有唯一解的充分不必要條件；故選：A．6.權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個變化，在求二元變量最值時有很廣泛的應(yīng)用，其表述如下：設(shè)正數(shù)，，，，滿足，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．則函數(shù)的最小值為（）A.16 B.25 C.36 D.49〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋?，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，又，即，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，所以函數(shù)的最小值為49．故選：D.7.正八面體可由連接正方體每個面的中心構(gòu)成，如圖所示，在棱長為2的正八面體中，則有（）A.直線與是異面直線 B.平面平面C.該幾何體的體積為 D.平面與平面間的距離為〖答案〗D〖解析〗正八面體可由正方體每個面的中心構(gòu)成，如圖：因?yàn)檎嗣骟w的棱長為2，所以正方體的棱長為.∵，，，四點(diǎn)共面，直線與是共面的，故A錯；設(shè)二面角為，，，所以.所以：二面角，故B錯；，故C錯；由八面體的構(gòu)成可知：平面和平面之間的距離是正方體體對角線的，所以兩個平面之間的距離為：，故D對.故選：D.8.不與坐標(biāo)軸垂直直線過點(diǎn)，，橢圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于對稱，線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為．若，則的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，在橢圓中，設(shè)，則，所以，因?yàn)殛P(guān)于對稱，所以，所以，由線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，得出．所以，又，∴，即，又，∴，所以所求離心率為.故選：C．二、選擇題9.2023年10月3日第19屆杭州亞運(yùn)會跳水女子10米跳臺迎來決賽，最終全紅嬋以總分438.20分奪冠．已知她在某輪跳水比賽中七名裁判給的成績互不相等，記為，平均數(shù)為，方差為．若7個成績中，去掉一個最低分和一個最高分，剩余5個成績的平均值為，方差為，則（）A.一定大于 B.可能等于 C.一定大于 D.可能等于〖答案〗BC〖解析〗不妨設(shè)，則，，當(dāng)時，，故A錯誤，B正確；因?yàn)楦鲾?shù)據(jù)都不相等，去掉最高和最低，數(shù)據(jù)的集中性更好，方差一定變小，故C正確，D錯誤.故選：BC.10.公差不為零的等差數(shù)列滿足，，則（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗由得，，根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)知，故A正確；又，∴，由，得，∴，則，解得，故BC錯誤；而，故D正確；故選：AD．11.已知函數(shù)的相鄰兩對稱軸的之間的距離為，函數(shù)為偶函數(shù)，則（）A.B.為其一個對稱中心C.若在單調(diào)遞增，則D.曲線與直線有7個交點(diǎn)〖答案〗ACD〖解析〗對于A，由題意，故，又的圖象向左平移個單位得到為偶函數(shù)，所以，且，故，故A正確；對于B，因?yàn)?，且為最值，故B錯誤；對于C，令，，令，故易知在單調(diào)遞增，故，故C正確；對于D，直線與曲線均過點(diǎn)，且該直線與曲線均關(guān)于該點(diǎn)中心對稱，當(dāng)時，，當(dāng)時，，如圖，由對稱性可知曲線與直線有7個交點(diǎn)，故D正確．故選：ABD．12.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若為的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，則（）A.直線若的斜率為，則 B.的取值范圍為C. D.的余弦有最小值為〖答案〗BCD〖解析〗對于A選項(xiàng)，由題知，的斜率為，則，代入整理得：，設(shè)，則而；故A項(xiàng)錯誤；對于B選項(xiàng)，∵以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，為的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)在以為直徑的圓上或圓外，∴，當(dāng)在直線上時，，即的取值范圍為，故B項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，設(shè)，，，設(shè)，聯(lián)立,消元得：，則故，故C項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，，即的余弦的最小值為，故D項(xiàng)正確．故選：BCD.三、填空題13.化簡____________．〖答案〗2〖解析〗．故〖答案〗為：2.14.已知二項(xiàng)式的展開式中第二、三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于45，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為_______．〖答案〗〖解析〗∵，解得，展開式的通項(xiàng)為，令，得，常數(shù)項(xiàng)為．故〖答案〗為：.15.在四面體中，，，且滿足，，．若該三棱錐的體積為，則該錐體的外接球的體積為___________．〖答案〗〖解析〗如圖，依題意將四面體放在長方體中，設(shè)長方體的高為.根據(jù)錐體的體積，解得，所以長方體的長寬高分別為，和4，所以長方體的外接球直徑即為對角線，解得.所以四面體外接球的體積為．故〖答案〗為：.16.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，，請寫出滿足條件的一個__________（〖答案〗不唯一），_________．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗令，則，解得或，若，令，，則，即與已知矛盾,∴，令，則，則，∴為偶函數(shù)；令，則，則，則，所以以6為周期，結(jié)合以上特征，找到滿足條件的一個函數(shù)為，結(jié)合以6為周期，則．故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）；.四、解答題17.已知等比數(shù)列滿足，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和記為，求．解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為.由已知，且，得，即（*）易觀察，2是（*）方程的一個根，∴，又恒成立，∴，又，∴．（2）由（1）知，，∴，，以上兩個式子相減得，，∴.18.在中，角，，的對邊分別為，，．已知．（1）求角；（2）過作，交線段于，且，求角．解：（1）由正弦定理得：．∵，∴，∴∴，又，∴，又為三角形內(nèi)角，∴．（2）因?yàn)樵谶吷?，且，所以．因?yàn)?，所以，所以．在中，，，∴?9.如圖所示，在矩形中，，，，為的中點(diǎn)，以為折痕將向上折至為直二面角．（1）求證：；（2）求平面與平面所成的銳角的余弦值．（1）證明：由已知，且為線段的中點(diǎn)，∴，如圖，又平面平面，且平面平面，平面∴平面，又平面，∴．（2）解：設(shè)為線段上靠近的三等分點(diǎn)，為的中點(diǎn)，由已知，又平面，平面，∴，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示坐標(biāo)系，∵，，∴，，，，∴，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，不妨令，則設(shè)平面的法向量，則，即，令，則，故，所以，所以平面與平面所成的銳角的余弦值為．20.俗話說：“人配衣服，馬配鞍”．合理的穿搭會讓人舒適感十足，給人以賞心悅目的感覺．張老師準(zhǔn)備參加某大型活動，他選擇服裝搭配的顏色規(guī)則如下：將一枚骰子連續(xù)投擲兩次，兩次的點(diǎn)數(shù)之和為3的倍數(shù)，則稱為“完美投擲”，出現(xiàn)“完美投擲”，則記；若擲出的點(diǎn)數(shù)之和不是3的倍數(shù)，則稱為“不完美投擲”，出現(xiàn)“不完美投擲”，則記；若，則當(dāng)天穿深色，否則穿淺色．每種顏色的衣物包括西裝和休閑裝，若張老師選擇了深色，再選西裝的可能性為，而選擇了淺色后，再選西裝的可能性為．（1）求出隨機(jī)變量的分布列，并求出期望及方差；（2）求張老師當(dāng)天穿西裝概率．解：（1）將一枚骰子連續(xù)投擲兩次共有基本事件種，擲出的點(diǎn)數(shù)之和是3的倍數(shù)有：，12種；則擲出的點(diǎn)數(shù)之和不是3的倍數(shù)有24種，隨機(jī)變量的取值為0，1，，所以的分布列為：01．；（2）設(shè)表示深色，則表示穿淺色，表示穿西裝，則表示穿休閑裝．根據(jù)題意，穿深色衣物的概率為，則穿淺色衣物的概率為，穿深色西裝的概率為，穿淺色西裝的概率為，則當(dāng)天穿西裝的概率為．所以張老師當(dāng)天穿西裝的概率為．21.已知分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，為雙曲線上異于的任意一點(diǎn)，直線、斜率乘積為，焦距為．（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)過的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)（不與重合），記直線，的斜率為，，證明：為定值．（1）解：設(shè)，，，∵，∴，∴，又∵焦距為，可得，則，結(jié)合，∴，，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．（2）證明：如圖，由（1）知，，設(shè)，．因?yàn)椴慌c重合，所以可設(shè)直線．聯(lián)立，消得：，故，，，，，∴．22.已知函數(shù)（為常數(shù)），函數(shù)．（1）若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值的范圍；（2）當(dāng)，設(shè)函數(shù)，若在上有零點(diǎn)，求的最小值．解：（1），，①時，，則在上單調(diào)遞