新教材2023版高中數(shù)學(xué)課時作業(yè)三十一離散型隨機(jī)變量的方差湘教版選擇性必修第二冊

課時作業(yè)(三十一)離散型隨機(jī)變量的方差練基礎(chǔ)1.已知隨機(jī)變量X的分布列為X012Peq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,3)則D(X)＝()A.eq\f(8,3)B．eq\f(5,3)C.eq\f(2,3)D．eq\f(1,3)2．由以往的統(tǒng)計資料表明，甲、乙兩運(yùn)動員在比賽中得分情況為X1(甲得分)012P(X1＝xi)0.20.50.3X2(乙得分)012P(X2＝xi)0.30.30.4現(xiàn)有一場比賽，派哪位運(yùn)動員參加較好？()A．甲B．乙C．甲、乙均可D．無法確定3．已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(4，eq\f(1,2))，則D(3X＋1)＝________．4．在某公司的一次投標(biāo)工作中，中標(biāo)可以獲利10萬元，沒有中標(biāo)會損失成本費(fèi)0.05萬元，如果中標(biāo)的概率是0.4，計算：(1)該公司贏利的方差D(X)；(2)該公司贏利的標(biāo)準(zhǔn)差．提能力5.已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5，x6的方差是1，那么另一組數(shù)據(jù)2x1－1，2x2－1，2x3－1，2x4－1，2x5－1，2x6－1的方差是()A．1B．2C．3D．46．(多選)設(shè)0<p<eq\f(1,2)，隨機(jī)變量ξ的分布列如下表所示，則當(dāng)p在(0，eq\f(1,2))內(nèi)增大時()ξ012P1－2pppA.E(ξ)先減少后增大B.E(ξ)一直增大C.D(ξ)先增大后減小D.D(ξ)一直增大7．已知隨機(jī)變量ξ的分布列如下：且E(ξ)＝eq\f(7,2)，則實(shí)數(shù)x＝________，若隨機(jī)變量η＝2ξ－3，則D(η)＝________．ξ234Pxyeq\f(2,3)8.甲、乙兩人進(jìn)行定點(diǎn)投籃游戲，投籃者若投中，則繼續(xù)投籃，否則由對方投籃，第一次由甲投籃；已知每次投籃甲、乙命中的概率分別為eq\f(1,3)，eq\f(3,4).(1)在前3次投籃中，乙投籃的次數(shù)為ξ，求ξ的分布列；(2)求ξ的期望及標(biāo)準(zhǔn)差．9．某學(xué)校舉行“百科知識”競賽，每個班選派一位學(xué)生代表參加．某班經(jīng)過層層選拔，李明和王華進(jìn)入最后決賽，決賽方式如下：給定4個問題，假設(shè)李明能且只能對其中3個問題回答正確，王華對其中任意一個問題回答正確的概率均為eq\f(3,4).由李明和王華各自從中隨機(jī)抽取2個問題進(jìn)行回答，而且每個人對每個問題的回答均相互獨(dú)立．設(shè)李明和王華回答問題正確的個數(shù)分別為X和Y，求X，Y的期望E(X)、E(Y)和方差D(X)、D(Y)，并由此決策派誰代表該班參加競賽更好．培優(yōu)生10.已知ξ的分布列如下表：ξ012P？??？其中，盡管“！”處完全無法看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？”處的數(shù)值相同．據(jù)此計算，下列各式中：①E(ξ)＝1；②D(ξ)>1；③P(ξ＝0)≤eq\f(1,2)，正確的個數(shù)是()A.0B．1C.2D．311．已知A，B兩個投資項(xiàng)目的利潤率分別為隨機(jī)變量X1和X2，根據(jù)市場分析，X1和X2的分布列如下：X15%10%P0.60.4X22%8%12%P0.10.50.4(1)在A，B兩個項(xiàng)目上各投資200萬元，Y1和Y2(單位：萬元)表示投資項(xiàng)目A和B所獲得的利潤，求D(Y1)和D(Y2)；(2)將x(0<x<200)萬元投資A項(xiàng)目，(200－x)萬元投資B項(xiàng)目，f(x)表示投資A項(xiàng)目所得利潤的方差與投資B項(xiàng)目所得利潤的方差之和．則當(dāng)x為何值時，f(x)取得最小值？課時作業(yè)(三十一)離散型隨機(jī)變量的方差1．解析：由題意：E(X)＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(1,3)＝1，所以D(X)＝(0－1)2×eq\f(1,3)＋(1－1)2×eq\f(1,3)＋(2－1)2×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).答案：C2．解析：E(X1)＝E(X2)＝1.1，D(X1)＝(－1.1)2×0.2＋(－0.1)2×0.5＋0.92×0.3＝0.49，D(X2)＝(－1.1)2×0.3＋(－0.1)2×0.3＋0.92×0.4＝0.69，∴D(X1)<D(X2)，即甲比乙得分穩(wěn)定，選甲參加較好．答案：A3．解析：因?yàn)殡S機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(4，eq\f(1,2))，所以D(X)＝np(1－p)＝4×eq\f(1,2)×(1－eq\f(1,2))＝1，所以D(3X＋1)＝32×D(X)＝9.答案：94．解析：(1)∵在某公司的一次投標(biāo)工作中，中標(biāo)可以獲利10萬元，沒有中標(biāo)損失成本費(fèi)0.05萬元．如果中標(biāo)的概率是0.4，公司的平均盈利為10×0.4＋(－0.05)×0.6＝3.97(萬元)，所以公司盈利的方差：D(X)＝(10－3.97)2×0.4＋(－0.05－3.97)2×0.6＝24.2406；(2)公司盈利的標(biāo)準(zhǔn)差為eq\r(D（X）)＝eq\r(24.2406)≈4.923.5．解析：設(shè)Y＝2X－1，依題意得D(X)＝1，則D(Y)＝22D(X)＝4，即另一組數(shù)據(jù)2x1－1，2x2－1，2x3－1，2x4－1，2x5－1，2x6－1的方差是4.答案：D6．解析：由題，得E(ξ)＝3p，易知，當(dāng)p在(0，eq\f(1,2))內(nèi)增大時E(ξ)一直增大，D(ξ)＝(3p－0)2×(1－2p)＋(3p－1)2×p＋(3p－2)2×p＝－9p2＋5p＝－9(p－eq\f(5,18))2＋eq\f(25,36)，為關(guān)于p的二次函數(shù)，對稱軸為p＝eq\f(5,18)，開口向下，所以當(dāng)p在(0，eq\f(1,2))內(nèi)增大時，D(ξ)先增大后減少．答案：BC7．解析：由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝\f(1,3),2x＋3y＋\f(8,3)＝\f(7,2)))，解得x＝y(tǒng)＝eq\f(1,6)，所以D(ξ)＝eq\f(1,6)×(eq\f(7,2)－2)2＋eq\f(1,6)×(eq\f(7,2)－3)2＋eq\f(2,3)×(eq\f(7,2)－4)2＝eq\f(7,12)，所以D(η)＝4D(ξ)＝4×eq\f(7,12)＝eq\f(7,3).答案：eq\f(1,6)eq\f(7,3)8．解析：(1)由題意，ξ可取0，1，2.P(ξ＝0)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9)；P(ξ＝1)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(7,18)；P(ξ＝2)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,2).故ξ的分布列為：ξ012Peq\f(1,9)eq\f(7,18)eq\f(1,2)(2)由(1)有E(ξ)＝0×eq\f(1,9)＋1×eq\f(7,18)＋2×eq\f(1,2)＝eq\f(25,18)，D(ξ)＝(0－eq\f(25,18))2×eq\f(1,9)＋(1－eq\f(25,18))2×eq\f(7,18)＋(2－eq\f(25,18))2×eq\f(1,2)＝eq\f(149,324)，所以eq\r(D（ξ）)＝eq\f(\r(149),18).9．解析：由題意知：李明回答問題正確個數(shù)X所有可能的取值為1，2，∴P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)))＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)))＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，∴E(X)＝1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，D(X)＝(1－eq\f(3,2))2×eq\f(1,2)＋(2－eq\f(3,2))2×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)；∵王華回答問題正確的個數(shù)Y～B(2，eq\f(3,4))，∴E(Y)＝2×eq\f(3,4)＝eq\f(3,2)，D(Y)＝2×eq\f(3,4)×(1－eq\f(3,4))＝eq\f(3,8)；∵E(X)＝E(Y)，D(X)<D(Y)，∴派李明代表該班參加競賽更好．10．解析：設(shè)“？”處的數(shù)據(jù)為x，則“！”處數(shù)據(jù)為1－2x，則0≤x≤eq\f(1,2)，故E(ξ)＝0×x＋1×(1－2x)＋2x＝1，∵E(ξ)＝1，∴D(ξ)＝x×(0－1)2＋(1－2x)(1－1)2＋x(2－1)2＝2x≤1，P(ξ＝0)＝x≤eq\f(1,2).答案：C11．解析：(1)依題意得：Y11020P0.60.4Y241624P0.10.50.4E(Y1)＝10×0.6＋20×0.4＝14，E(Y2)＝4×0.1＋16×0.5＋24×0.4＝18，D(Y1)＝(10－14)2×0.6＋(20－14)2×0.4＝24，D(Y2)＝(4－18)2×0.1＋(16－18)2×0.5＋(24－18)2×0.4＝36.(2)設(shè)投資A項(xiàng)目所獲利潤為Z1＝e