梅州市重點中學2024屆八年級數學第二學期期末考試試題含解析

梅州市重點中學2024屆八年級數學第二學期期末考試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，菱形的對角線、相交于點，，，過點作于點，連接，則的長為（）A． B．2 C．3 D．62．下列分解因式正確的是（）A．x2﹣4＝（x﹣4）（x+4） B．2x3﹣2xy2＝2x（x+y）（x﹣y）C．x2+y2＝（x+y）2 D．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+13．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，點P為斜邊AB上一動點，過點P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于點F，連結EF，則線段EF的最小值為（）A．24B．C．D．54．如圖，矩形ABCD的邊AB在x軸上，AB的中點與原點O重合，AB＝2，AD＝1，點Q的坐標為（0，2）．點P（x，0）在邊AB上運動，若過點Q、P的直線將矩形ABCD的周長分成2：1兩部分，則x的值為（）A．或- B．或- C．或- D．或-5．方程x（x﹣1）=x的解是（）A．x=0 B．x=2 C．x1=0，x2=1 D．x1=0，x2=26．不等式組的解集在數軸上表示為A． B．C． D．7．若點P（m，2）與點Q（3，n）關于原點對稱，則m，n的值分別為（）A．，2 B．3， C．， D．3，28．已知正比例函數的圖象如圖所示，則一次函數y＝mx+n圖象大致是（）A． B．C． D．9．如果，那么等于A．3:2 B．2:5 C．5:3 D．3:510．矩形，菱形，正方形都具有的性質是（）A．對角線相等 B．對角線互相垂直C．對角線互相平分 D．對角線平分一組對角11．函數y＝中，自變量x的取值范圍是（）A．x且x≠1 B．x且x≠1 C．x且x≠1 D．x且x≠112．如圖，，點是垂直平分線的交點，則的度數是（）A． B．C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．觀察下列各式：，，，……請你將發(fā)現的規(guī)律用含自然數n（n≥1）的等式表示出來__________________．14．如圖，在?ABCD中，∠A＝72°，將□ABCD繞頂點B順時針旋轉到?A1BC1D1，當C1D1首次經過頂點C時，旋轉角∠ABA1＝_____°．15．如圖，菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，且AC＝24，BD＝10，若點E是BC邊的中點，則OE的長是_____．16．隨著海拔高度的升高，大氣壓強下降，空氣中的含氧量也隨之下降，即含氧量y（g/m3）與大氣壓強x（kPa）成正比例函數關系．當x=36（kPa）時，y=108（g/m3），請寫出y與x的函數關系式．17．從多邊形的一個頂點出發(fā)能畫5條對角線，則這個多邊形的邊數是_______.18．如圖，中，，，點為邊上一動點（不與點、重合），當為等腰三角形時，的度數是________.三、解答題（共78分）19．（8分）為了慶祝即將到來的2018年國慶節(jié)，某校舉行了書法比賽，賽后整理了參賽同學的成績，并制作了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖表分數段頻數頻率60≤x＜70300.1570≤x＜80m0.4580≤x＜9060n90≤x＜100200.1請根據以上圖表提供的信息，解答下列問題：（1）這次共調查了名學生；表中的數m=，n=．（2）請補全頻數直方圖；（3）若繪制扇形統(tǒng)計圖，則分數段60≤x＜70所對應的扇形的圓心角的度數是．20．（8分）如圖，一艘輪船位于燈塔P南偏西60°方向的A處，它向東航行20海里到達燈塔P南偏西45°方向上的B處，若輪船繼續(xù)沿正東方向航行，求輪船航行途中與燈塔P的最短距離．(結果保留根號)21．（8分）在一次中學生田徑運動會上，根據參加男子跳高初賽的運動員的成績（單位：m），繪制出如下的統(tǒng)計圖①和圖②，請根據相關信息，解答下列問題：（Ⅰ）圖1中a的值為；（Ⅱ）求統(tǒng)計的這組初賽成績數據的平均數、眾數和中位數；（Ⅲ）根據這組初賽成績，由高到低確定9人進入復賽，請直接寫出初賽成績?yōu)?.65m的運動員能否進入復賽．22．（10分）如圖，在?ABCD中，用直尺和圓規(guī)作∠BAD的平分線AG交BC于點E，若AB=5，AE=8，則BF的長為______．23．（10分）如圖，在直角坐標系中．若把向上平移2個單位，再向右平移2個單位得，在圖中畫出，并寫出的坐標；求出的面積．24．（10分）某同學參加“希望之星”英語口語大賽，7名評委給該同學的打分（單位：分）情況如下表：評委評委1評委2評委3評委4評委5評委6評委7打分9.29.49.39.49.19.39.4（1）直接寫出該同學所得分數的眾數與中位數；（2）計算該同學所得分數的平均數.25．（12分）在平面直角坐標系xOy中,邊長為5的正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點P,頂點A在x軸正半軸上運動,頂點B在y軸正半軸上運動(x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點O)，頂點C．D都在第一象限。(1)當點A坐標為(4,0)時，求點D的坐標；(2)求證：OP平分∠AOB；(3)直接寫出OP長的取值范圍(不要證明).26．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，BC＝2，AC＝2，求AB、CD的長．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、C【解題分析】

先證明△ABC為等邊三角形，再證明OE是△ABC的中位線，利用三角形中位線即可求解.【題目詳解】解：∵ABCD是菱形，

∴AB=BC，OA=OC，∵∠ABC=60°，

∴△ABC為等邊三角形，∵，∴E是BC中點，

∴OE是△ABC的中位線，

∴OE=AB，∵，∴OE=3；

故選：C.【題目點撥】本題考查了菱形的性質以及等邊三角形判定和性質，證明△ABC為等邊三角形是解答本題的關鍵．2、B【解題分析】

A、原式利用平方差公式分解得到結果,即可做出判斷;B、原式提取公因式得到結果,即可做出判斷;C、原式利用完全平方公式分解得到結果,即可做出判斷;D、原式利用完全平方公式分解得到結果,即可做出判斷;【題目詳解】A、原式＝（x+2）（x﹣2），不符合題意；B、原式＝2x（x+y）（x﹣y），符合題意；C、原式不能分解，不符合題意；D、原式＝（x﹣1）2，不符合題意，故選B．【題目點撥】此題考查因式分解運用公式法和因式分解提公因式法，解題關鍵在于靈活運用因式分解進行計算3、C【解題分析】

連接PC，當CP⊥AB時，PC最小，利用三角形面積解答即可．【題目詳解】解：連接PC，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°，∴四邊形ECFP是矩形，∴EF=PC，∴當PC最小時，EF也最小，即當CP⊥AB時，PC最小，∵AC=1，BC=6，∴AB=10，∴PC的最小值為：=4.1．∴線段EF長的最小值為4.1．故選C．【題目點撥】本題主要考查的是矩形的判定與性質，關鍵是根據矩形的性質和三角形的面積公式解答．4、D【解題分析】

分類討論：點P在OA上和點P在OB上兩種情況．根據題意列出比例關系式，直接解答即可得出x得出值．【題目詳解】如圖，∵AB的中點與原點O重合，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∴A（﹣1，0），B（1，0），C（1，1）．當點P在OB上時．易求G（，1）∵過點Q、P的直線將矩形ABCD的周長分成2：1兩部分，則AP+AD+DG＝3+x，CG+BC+BP＝3﹣x，由題意可得：3+x＝2（3﹣x），解得x＝．由對稱性可求當點P在OA上時，x＝﹣．故選：D．【題目點撥】考查了一次函數的綜合題，解題關鍵是運用數形結合思想．5、D【解題分析】

移項后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可．【題目詳解】x（x?1）＝x，x（x?1）?x＝0，x（x?1?1）＝0，x＝0，x?1?1＝0，x1＝0，x1＝1．故選：D．【題目點撥】本題考查了解一元二次方程的應用，能把一元二次方程轉化成一元一次方程是解此題的關鍵．6、A【解題分析】

先求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集，即可得出選項.【題目詳解】，解不等式得：，解不等式得：，不等式組的解集為，在數軸上表示為：.故選：.【題目點撥】本題考查了解一元一次不等式組和在數軸上表示不等式組的解集，能根據不等式的解集求出不等式組的解集是解此題的關鍵.7、C【解題分析】

根據關于原點對稱的點的橫坐標互為相反數，縱坐標互為相反數，可得答案．【題目詳解】點P（m，2）與點Q（3，n）關于原點對稱，得m=-3，n=-2，故選：C．【題目點撥】本題考查了關于原點對稱的點的坐標，關于原點對稱的點的橫坐標互為相反數，縱坐標互為相反數．8、C【解題分析】

利用正比例函數的性質得出＞0，根據m、n同正，同負進行判斷即可．【題目詳解】.解：由正比例函數圖象可得：＞0，mn同正時，y＝mx+n經過一、二、三象限；mn同負時，過二、三、四象限，故選C．【題目點撥】本題考查了正比例函數的性質，熟練掌握正比例函數的性質是解題的關鍵．9、B【解題分析】

根據比例的基本性質（兩內項之積等于兩外項之積）和合比定理【如果a：b=c：d，那么（a+b）：b=（c+d）：d（b、d≠0）】解答并作出選擇．【題目詳解】∵=的兩個內項是b、2，兩外項是a、3，∴，∴根據合比定理，得,即；同理，得=2：5.故選B.【題目點撥】本題考查比例的性質，熟練掌握比例的基本性質是解題關鍵.10、C【解題分析】

利用矩形、菱形和正方形的性質對各選項進行判斷．【題目詳解】解：矩形、菱形、正方形都具有的性質是對角線互相平分．故選：C．【題目點撥】本題考查了正方形的性質：正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質．11、B【解題分析】

根據二次根式的被開方數為非負數且分母不為0，列出不等式組，即可求x的范圍．【題目詳解】2x﹣1≥0且x﹣1≠0，解得x≥且x≠1，故選B．【題目點撥】考查自變量的取值范圍，掌握二次根式的被開方數為非負數且分母不為0是解題的關鍵.12、B【解題分析】

利用線段垂直平分線的性質即可得出答案.【題目詳解】解：連接OA，OB∵∠BAC=80°∴∠ABC+∠ACB=100°又∵O是AB和AC垂直平分線的交點∴OA=OB，OA=OC∴∠OBA=∠OAB，∠OCA=∠OAC，OB=OC∴∠OBA+∠OCA=80°∴∠OBA+∠OCB=100°-80°=20°又∵OB=OC∴∠BCO=∠CBO=10°故答案選擇B.【題目點撥】本題主要考查了線段垂直平分線和等腰三角形的性質.二、填空題（每題4分，共24分）13、【解題分析】

觀察分析可得，，，則將此規(guī)律用含自然數n(n≥1)的等式表示出來是【題目詳解】由分析可知，發(fā)現的規(guī)律用含自然數n(n≥1)的等式表示出來是故答案為：【題目點撥】本題主要考查二次根式，找出題中的規(guī)律是解題的關鍵，觀察各式，歸納總結得到一般性規(guī)律，寫出用n表示的等式即可．14、1【解題分析】

由旋轉的性質可知：?ABCD全等于?A1BC1D1，得出BC＝BC1，由等腰三角形的性質得出∠BCC1＝∠C1，由旋轉角∠ABA1＝∠CBC1，根據等腰三角形的性質計算即可．【題目詳解】∵?ABCD繞頂點B順時針旋轉到?A1BC1D1，∴BC＝BC1，∴∠BCC1＝∠C1，∵∠A＝72°，∴∠DCB＝∠C1＝72°，∴∠BCC1＝∠C1，∴∠CBC1＝180°﹣2×72°＝1°，∴∠ABA1＝1°，故答案為1．【題目點撥】本題考查了平行四邊形的性質、旋轉的性質、等腰三角形的判定和性質以及三角形的內角和定理，解題的關鍵是證明三角形CBC1是等腰三角形．15、6.1．【解題分析】

根據菱形的性質：對角線互相垂直，利用勾股定理求出BC，再利用直角三角形斜邊的中線的性質OE＝BC，即可求出OE的長．【題目詳解】∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝AC＝12，OD＝BD＝1，在Rt△BOC中，BC＝＝13，∵點E是BC邊的中點，∴OE＝BC＝6.1，故答案為：6.1．【題目點撥】此題主要考查了菱形的性質、勾股定理的運用以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識，得出EO＝BC是解題關鍵．16、y=3x．【解題分析】試題分析：設y=kx，然后根據題意列出關系式．依題意有：x=36（kPa）時，y=108（g/m3），∴k=3，故函數關系式為y=3x．考點：根據實際問題列一次函數關系式．17、1【解題分析】

根據從n邊形的一個頂點最多可以作對角線（n-3）條，求出邊數即可．【題目詳解】解：∵從多邊形的一個頂點出發(fā)可以引5條對角線，設多邊形邊數為n，

∴n-3=5，

解得n=1．

故答案為：1．【題目點撥】本題考查多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．掌握n邊形從一個頂點出發(fā)可引出（n-3）條對角線是解題的關鍵．18、或【解題分析】

根據AB=AC，∠A=40°，得到∠ABC=∠C=70°，然后分當CD=CB時和當BD=BC時兩種情況求得∠ABD的度數即可．【題目詳解】解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C=70°，當CD=CB時，∠CBD=∠CDB=(180°-70°)÷2=55°，此時∠ABD=70°-55°=15°；當BD=BC時，∠BDC=∠BCD=70°，∴∠DBC=180°-70°-70°=40°，∴∠ABD=70°-40°=30°，故答案為：15°或30°．【題目點撥】本題考查了等腰三角形的性質，解題的關鍵是能夠分類討論，難度不是很大，是常考的題目之一．三、解答題（共78分）19、（1）200，90，0.30；（2）見解析；（3）54°．【解題分析】

（1）用分組60≤x＜70的頻數除以頻率可得總數，用總數乘以0.45可求得m的值，用60除以總數可求得n的值；（2）根據（1）中m的值畫出直方圖即可；（3）根據圓心角=360°×百分比即可解決問題．【題目詳解】解：（1）30÷0.15=200，m=200×0.45=90，n==0.30，故答案為：200，90，0.30；（2）頻數直方圖如圖所示，（3）360°×=54°，故答案為：54°．【題目點撥】本題考查了頻數分布表、頻數分布直方圖，讀懂統(tǒng)計圖表，從中得到必要的解題信息是解題的關鍵.利用統(tǒng)計圖獲取信息時，必須認真觀察、分析、研究統(tǒng)計圖，才能作出正確的判斷和解決問題．20、(10＋10)海里【解題分析】

利用題意得到AC⊥PC，∠APC=60°，∠BPC=45°，AB=20海里，如圖，設BC=x海里，則AC=AB+BC=（20+x）海里．解△PBC，得出PC=BC=x海里，解Rt△APC，得出AC=PC?tan60°=x，根據AC不變列出方程x=20+x，解方程即可．【題目詳解】如圖，AC⊥PC，∠APC=60°，∠BPC=45°，AB=20海里，設BC=x海里，則AC=AB+BC=（20+x）海里．在△PBC中，∵∠BPC=45°，∴△PBC為等腰直角三角形，∴PC=BC=x海里，在Rt△APC中，∵tan∠APC=，∴AC=PC?tan60°=x，∴x=20+x，解得x=10+10，則PC=（10+10）海里．答：輪船航行途中與燈塔P的最短距離是（10+10）海里．【題目點撥】本題考查了解直角三角形的應用-方向角：在辨別方向角問題中：一般是以第一個方向為始邊向另一個方向旋轉相應度數．在解決有關方向角的問題中，一般要根據題意理清圖形中各角的關系，有時所給的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線平行內錯角相等或一個角的余角等知識轉化為所需要的角．21、(1)25;(2)這組初賽成績數據的平均數是1.61.；眾數是1.65；中位數是1.1；（3）初賽成績?yōu)?.65m的運動員能進入復賽.【解題分析】

試題分析：(1)、用整體1減去其它所占的百分比，即可求出a的值；(2)、根據平均數、眾數和中位數的定義分別進行解答即可；(3)、根據中位數的意義可直接判斷出能否進入復賽．試題解析：(1)、根據題意得：1﹣20%﹣10%﹣15%﹣30%=25%；則a的值是25；(2)、觀察條形統(tǒng)計圖得：=1.61；∵在這組數據中，1.65出現了6次，出現的次數最多，∴這組數據的眾數是1.65；將這組數據從小到大排列為，其中處于中間的兩個數都是1.1，則這組數據的中位數是1.1．(3)、能；∵共有20個人，中位數是第10、11個數的平均數，∴根據中位數可以判斷出能否進入前9名；∵1.65m＞1.1m，∴能進入復賽考點：(1)、眾數；(2)、扇形統(tǒng)計圖；(3)、條形統(tǒng)計圖；(4)、加權平均數；(5)、中位數22、1【解題分析】

先由角平分線的定義和平行線的性質得AB=BE=5，再利用等腰三角形三線合一得AH=EH=4，最后利用勾股定理得BH的長，即可求解．【題目詳解】解：如圖,∵AG平分∠BAD，∴∠BAG=∠DAG，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠DAG，∴∠BAG=∠AEB，∴AB=BE=5，由作圖可知：AB=AF，∠BAE=∠FAE，∴BH=FH，BF⊥AE，∵AB=BE∴AH=EH=4，在Rt△ABH中，由勾股定理得：BH=3∴BF=2BH=1，故答案為：1．【題目點撥】本題考查了平行四邊形的性質、勾股定理、角平分線的作法和定義、等腰三角形三線合一的性質，熟練掌握平行加角平分線可得等腰三角形，屬于?？碱}型．23、（1）見解析；（2）7.【解題分析】

（1）分別將點三個點向上平移2個單位，再向右平移2個單位，然后順次連接，并寫出各點坐標；（2）用三角形所在的矩形的面積減去幾個小三角形的面積即可求解.【題目詳解】解：如圖所示：坐標為，，；．【題目點撥】本題考查了根據平移變換作圖，解答本題的關鍵是根據網格結構作出點三個點平移過后的點.24、（1）眾數9.4，中位數9.1；（2）平均數9.1.【解題分析】

（1）根據眾數與中位數的定義求解即可；（2）根據平均數的定義求解即可．【題目詳解】（1）從小到大排列此數據為：9.1，9.2，9.1，9.1，9.4，9.4，9.4，數據9.4出現了三次，最多，為眾數，9.1處在第4位為中位數；（2）該同學所得分數的平均數為（9.1+9.2+9.1×2+9.4×1）÷7=9.1．【題目點撥】本題考查了平均數、眾數與中位數，用到的知識點是：給定一組數據，出現次數最多的那個數，稱為這組數據的眾數．中位數的定義：將一組數據從小到大依次排列，把中間數據（或中間兩數據的平均數）叫做中位數．平均數=總數÷個數．25、（1）D(7,4);（2）見解析；（3）<OP?5.【解題分析】

（1）作DM⊥x軸于點M，由A（4，0）可以得出OA=4，由勾股定理就可以求出OB=3，再通過證明△AOB≌△DMA就可以求出AM=OB