陜西省西安市部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（理）（解析版）

PAGEPAGE1陜西省西安市部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（理）第Ⅰ卷一?選擇題1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由得，又，所以，故選：A.2.（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗根據(jù)題意：,故選：D3.“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗由可得，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：C.4.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A.3 B.9 C.12 D.15〖答案〗B〖解析〗由，得，解得，，所以.故選：B.5.已知，且，則（）A.有最小值8 B.有最小值C.有最大值8 D.有最大值〖答案〗A〖解析〗由可得，所以，由于，且，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故，因此有最小值8，故選：A6.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由可得，因此可得，故，故選：D7.在中，內(nèi)角所對的邊分別是，若，且外接圓的半徑為2，則面積的最大值是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由于，且外接圓半徑為2，所以．由余弦定理得，，則故選：D．8.窗戶，在建筑學(xué)上是指墻或屋頂上建造的洞口，用以使光線或空氣進(jìn)入室內(nèi).如圖1，這是一個(gè)外框?yàn)檎诉呅?，中間是一個(gè)正方形的窗戶，其中正方形和正八邊形的中心重合，正方形的上?下邊與正八邊形的上?下邊平行，邊長都是4.如圖2，是中間正方形的兩個(gè)相鄰的頂點(diǎn)，是外框正八邊形上的一點(diǎn)，則的最大值是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗記正八邊形右下角的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，連接，由題意易得等腰直角三角形，，則，不妨設(shè)，由于題目要求的最大值，故只考慮的情況，過作，垂足為，則，又，所以，顯然，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最大值，所以的最大值為.故選：A.9.已知為第二象限角，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由于為第二象限角，則,則，由可得，，，由于，所以，故，所以，故選：B10.已知正四棱錐內(nèi)切球的半徑為，且，則正四棱錐的體積是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗在正四棱錐中，連接，，，連，則平面，設(shè)，則，由等體積法可得，故，解得，故故選：D．11.已知函數(shù)在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令,則，進(jìn)而可得或，因此的非負(fù)零點(diǎn)有，要使得在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則，解得，故選：C12.已知函數(shù)，是函數(shù)的4個(gè)零點(diǎn)，且，給出以下結(jié)論：①的取值范圍是，②，③的最小值是4，④的最大值是.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗作出函數(shù)的圖象如下圖所示：

因?yàn)槭呛瘮?shù)的4個(gè)零點(diǎn)，所以直線與函數(shù)的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，且，根據(jù)圖象知：，所以①錯(cuò)誤；對于②，由圖可知，，則，所以，，則，所以，所以，所以，正確；對于③，由圖可知，，由得，即，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號成立，顯然不滿足，所以，錯(cuò)誤；對于④，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，即的最大值是，正確.綜上，正確結(jié)論為②④，共2個(gè).故選：B.第II卷二?填空題13.已知向量，，若，則__________．〖答案〗2〖解析〗因?yàn)?，，，所以，解得，故〖答案〗為?.14.在正方體中，是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)槭钦襟w，建立以為原點(diǎn)坐標(biāo)系，如圖，設(shè)正方體的棱長為2，則有，，，，，，設(shè)異面直線與所成角為，．故〖答案〗為：．15.對于數(shù)列，定義為的“優(yōu)值”.若數(shù)列的“優(yōu)值”，則__________.〖答案〗〖解析〗由題意可得，所以，故，，相減可得，所以，故〖答案〗為：：16.已知函數(shù)，直線，若直線與的圖象交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，則之間的最短距離是__________.〖答案〗〖解析〗函數(shù)，直線，若直線與的圖象交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，直線的斜率為，直線的斜率為，兩直線垂直，則函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線的最短距離，即為，之間的最短距離，由題意可得，．令，則，解得，，取點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離，則，之間的最短距離是．故〖答案〗為：．三?解答題17.已知函數(shù)，且.（1）求的〖解析〗式；（2）若對任意的，不等式成立，求的取值范圍.解：（1）由，且可得，解得，所以（2）由可得對任意的恒成立，由于的對稱軸為，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，因此當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而可得，因此，解得18.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，求在上的值域.解：（1）因?yàn)椋?，解得，則的單調(diào)遞增區(qū)間是；（2）因?yàn)?，將的圖象向右平移個(gè)單位長度，可得．因?yàn)?，所以，所以，則，即在區(qū)間內(nèi)的值域?yàn)椋?9.如圖，在直三棱柱中，是的中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.（1）證明：由于三棱柱為直三棱柱，所以平面，又所以取中點(diǎn)為，過作的平行線作為軸，以為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,所以,由于故，因此，又平面，所以平面，.（2）解：由（1）知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，取則，故，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則故平面與平面所成銳二面角的余弦值為20.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）由以及可得，所以，，故為公差為1的等差數(shù)列，所以，所以，（2），所以21.在中，角的對邊分別是，且.（1）若，求的值；（2）若外接圓的半徑為4，求的最大值.解：（1）根據(jù)題意：因?yàn)橛烧叶ɡ淼茫?化簡得：，因?yàn)?，所以，即，?lián)立，消去得：,解得：或（舍去），在三角形內(nèi)，,可得：，所以.（2）因?yàn)橥饨訄A的半徑為4，利用正弦定理可得：結(jié)合上問可知：，代入可得：,在三角形內(nèi)，,所以，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，故的最大值為.22.已知函數(shù).（1）設(shè)函數(shù)，其中是的導(dǎo)數(shù)，討論的單調(diào)性；（2）若，證明：.（1）解：由得，所以，故，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，綜上可得：時(shí)，在