云南、黑龍江、陜西、河南四省2024屆高中畢業(yè)生聯(lián)合命題數(shù)學(xué)試卷（一）（解析版）

PAGEPAGE1云南、黑龍江、陜西、河南四省2024屆高中畢業(yè)生聯(lián)合命題數(shù)學(xué)試卷（一）一、單項(xiàng)選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，又單調(diào)遞減，解得，故，所以，則．故選：A.2.已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，，則（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗∵，，∴，，∴.故選：C.3.已知點(diǎn)是拋物線(xiàn)C：上一點(diǎn)到拋拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為d，M是x軸上一點(diǎn)，則“點(diǎn)M的坐標(biāo)為”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件，〖答案〗A〖解析〗由題意知，將點(diǎn)代入方程，即，得，則拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為時(shí)，點(diǎn)M與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)重合，由拋物線(xiàn)的定義知必有；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)不一定為，理由如下：如圖，連接PF，當(dāng)時(shí)，．因此“點(diǎn)M的坐標(biāo)為”是“”的充分不必要條件.故選：A．4.某商品的地區(qū)經(jīng)銷(xiāo)商對(duì)2023年1月到5月該商品的銷(xiāo)售情況進(jìn)行了調(diào)查，得到如下統(tǒng)計(jì)表．發(fā)現(xiàn)銷(xiāo)售量y（萬(wàn)件）與時(shí)間x（月）成線(xiàn)性相關(guān)，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，利用最小二乘法求得y與x的回歸直線(xiàn)方程為：．則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）時(shí)間x（月）12345銷(xiāo)售量y（萬(wàn)件）11.62.0a3A.由回歸方程可知2024年1月份該地區(qū)的銷(xiāo)售量為6.8萬(wàn)件B.表中數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)為C.D.由表中數(shù)據(jù)可知，y和x成正相關(guān)〖答案〗A〖解析〗依題意，，而y與x的回歸直線(xiàn)方程為：，則，解得，，表中數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)為，BC正確；由，得y和x成正相關(guān)，D正確；2024年1月份，即，由回歸直線(xiàn)方程，得，因此2024年1月份該地區(qū)的銷(xiāo)售量約為6.8萬(wàn)件，A錯(cuò)誤.故選：A5.展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A.672 B. C. D.5376〖答案〗D〖解析〗二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)，令，得，所以二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.故選：D6.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，且拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，分別為兩點(diǎn)在拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)上的投影，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值為2 B.的形狀為銳角三角形C.三點(diǎn)共線(xiàn) D.的坐標(biāo)不可能為〖答案〗C〖解析〗對(duì)于A，因?yàn)閽佄锞€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為，線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值為通徑，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由定義知，軸，所以，同理，所以，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)直線(xiàn)，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，得，設(shè)，，則，，因?yàn)?，所以，三點(diǎn)共線(xiàn)，所以C正確；對(duì)于D，設(shè)的中點(diǎn)為，則，，取，可得，所以D錯(cuò)誤.故選：C.7.球的兩個(gè)平行截面面積分別為和，球心到這兩個(gè)截面的距離之差等于1，則球的直徑為（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗D〖解析〗令球心到較近的截面距離為，則到另一個(gè)截面距離為，且球的半徑為，易知較近的截面圓面積為，另一個(gè)截面圓面積為，所以較近的截面圓半徑為，另一個(gè)截面圓半徑為，由截面圓半徑與球體半徑、球心與截面距離關(guān)系知：，所以，故，則球的直徑為6.故選：D8.已知函數(shù)，則滿(mǎn)足的的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗令，則或，解得或或.令，則或，解得或.畫(huà)出函數(shù)圖象的草圖（如圖），得滿(mǎn)足的的取值范圍為.故選:D.二、多項(xiàng)選擇題9.下列說(shuō)法正確的是（）A.用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從含有50個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為5的樣本，則個(gè)體m被抽到的概率是0.1B.已知一組數(shù)據(jù)1，2，3，3，4，5的眾數(shù)等于中位數(shù)C.數(shù)據(jù)27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位數(shù)是21D.若一個(gè)樣本容量為8的樣本的平均數(shù)為5，方差為2.現(xiàn)樣本中又加入一個(gè)新數(shù)據(jù)5，此時(shí)樣本容量為9，平均數(shù)不變，方差為變小〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從含有50個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為5的樣本，則個(gè)體被抽到的概率是，故A正確；對(duì)于B，一組數(shù)據(jù)1，2，3，3，4，5的眾數(shù)是3，中位數(shù)是3，故B正確；對(duì)于C，將這8個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列為:12,14,15,17,19,23,27,30;由于，第70百分位數(shù)為第6個(gè)數(shù)為23，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)原數(shù)據(jù)為平均數(shù)為，方差為2，即加入一個(gè)新數(shù)據(jù)5，這9個(gè)數(shù)據(jù)為此時(shí)樣本容量為9，平均數(shù)不變，方差，故方差變小，故D正確，故選：ABD10.已知數(shù)列滿(mǎn)足（m為正整數(shù)），，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.若，則B.若，則m所有可能取值的集合為C.若，則D.若，k為正整數(shù)，則的前k項(xiàng)和為〖答案〗AC〖解析〗A選項(xiàng)，若，則，，，，，，，，故A正確；B選項(xiàng)，若，則，或7．當(dāng)時(shí)，，，，或，，；當(dāng)時(shí)，，，，或，，，或，，，或，，，故m所有可能取值的集合為，故B不正確；C選項(xiàng)，若，則，，，，，，，，…，所以從第5項(xiàng)開(kāi)始為周期數(shù)列，且周期為3，則，，故，C正確；D選項(xiàng)，若，則，，…，，，所以的前k項(xiàng)和為，故D不正確.故選：AC11.已知橢圓的離心率分別為它的左、右焦點(diǎn)，分別為它的左、右頂點(diǎn)，是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且的最大值為，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.當(dāng)不與左、右端點(diǎn)重合時(shí)，的周長(zhǎng)為定值B.當(dāng)時(shí)，C.有且僅有4個(gè)點(diǎn)，使得為直角三角形D.當(dāng)直線(xiàn)的斜率為1時(shí)，直線(xiàn)的斜率為〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A：因，當(dāng)且僅當(dāng)為右頂點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，又因?yàn)榈淖畲笾禐?，所以，因?yàn)椋?，所以橢圓的方程為，因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為，故A正確；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，故B正確；對(duì)于C：設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，所以的最大值為，所以存在個(gè)點(diǎn)，使得，又因?yàn)榇嬖趥€(gè)點(diǎn)使，存在個(gè)點(diǎn)使，所以存在個(gè)點(diǎn)，使得為直角三角形，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)椋O(shè)，則，所以，所以，因?yàn)?，所以，故D正確，故選：ABD.12.已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)極值點(diǎn)為1B.C.若分別是曲線(xiàn)和上的動(dòng)點(diǎn).則的最小值為D.若對(duì)任意的恒成立，則的最小值為〖答案〗ACD〖解析〗．所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極值點(diǎn)為1，故A正確；設(shè)，則，由單調(diào)性的性質(zhì)知在上單調(diào)遞增．又，則存在．使得，即，，所以當(dāng)時(shí)．，當(dāng)時(shí)．．所以在上單調(diào)遞減．在上單調(diào)遞增.所以，又，則，所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，設(shè)點(diǎn)到的最小距離為，設(shè)函數(shù)上斜率為的切線(xiàn)為，，由得，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，即，所以，所以的最小值為，故C正確；若對(duì)任意的恒成立，則對(duì)任意的恒成立，令，則．所以在上單調(diào)遞增，則，即，令，所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，所以，即的最小值為，故D正確.故選：ACD.三、填空題13.若向量滿(mǎn)足，且在上的投影向量為，則__________.〖答案〗0〖解析〗由題意知，在上的投影向量為，由，得，所以.故〖答案〗為：014.若，且，則______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，，所?故〖答案〗為：.15.用平行于正四棱錐底面的平面去截該棱錐，把底面和截面之間的那部分多面體叫做正四棱臺(tái)，經(jīng)過(guò)正四棱臺(tái)不相鄰的兩條側(cè)棱的截面叫做該正四棱臺(tái)的對(duì)角面．若正四棱臺(tái)的體積為28，上、下底面邊長(zhǎng)分別為2，4，則該棱臺(tái)的對(duì)角面面積為_(kāi)______．〖答案〗〖解析〗設(shè)該正四棱臺(tái)的的高為,則根據(jù)題意可得：，∴，又易知對(duì)角面為上下底分別為與，且高為的等腰梯形，∴該棱臺(tái)的對(duì)角面面積為．故〖答案〗為：.16.已知，若對(duì)任意的，都有，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是_________．〖答案〗〖解析〗由題意對(duì)任意的，都有，且，所以，，即對(duì)任意的，恒成立，而，不妨設(shè)，令，則，所以對(duì)任意的，恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，即實(shí)數(shù)b的取值范圍是.故〖答案〗為：.四、解答題17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，所以，變形得，即，數(shù)列以為首項(xiàng)以3為公比的等比數(shù)列，所以，即（2）由，所以，所以.18.如圖，在三棱柱中，平面分別為棱的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.（1）證明；如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，連接.因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，又，所以，所以在平面內(nèi).因?yàn)?，所以，所以四邊形是平行四邊形，，又平面，所以平?（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線(xiàn)為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則點(diǎn)，.設(shè)平面的法向量為，由得不妨令，得平面的一個(gè)法向量為.設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，則.19.已知在中，．（1）求；（2）設(shè)，求邊上的高．解：（1），，即，又，，，，即，所以，.（2）由（1）知，，由，由正弦定理，，可得，，.20.一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng).實(shí)驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到實(shí)驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，實(shí)驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.（1）設(shè)表示指定的兩只小白鼠中分配到對(duì)照組的只數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下：對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?5.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2實(shí)驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（i）求40只小鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于m與不小于的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表：對(duì)照組實(shí)驗(yàn)組（ii）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異．附：01000.0500.0102.7063.8416.635解：（1）依題意，的可能取值為，則，，，所以的分布列為：故.（2）（i）依題意，可知這40只小白鼠體重增量的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，觀(guān)察數(shù)據(jù)可得第20位為，第21位數(shù)據(jù)為，所以，故列聯(lián)表為：合計(jì)對(duì)照組61420實(shí)驗(yàn)組14620合計(jì)202040（ii）由（i）可得，，所以能有的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異.21.已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在上．（1）求的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交于兩點(diǎn)，直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)分別為，證明：線(xiàn)段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．（1）解：由題意可得，解得，所以橢圓方程為.（2）證明：由題意可知：直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)，聯(lián)立方程，消去y得：，則，解得，可得，因?yàn)?，則直線(xiàn)，令，解得，即,同理可得，則，所以線(xiàn)段的中點(diǎn)是定點(diǎn).22.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．（1）解：因?yàn)?，定義域?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，由于，則，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單