結(jié)構(gòu)設(shè)計原理-第四節(jié)（受彎構(gòu)件的應(yīng)力、裂縫和變形計算）

EngineeringMathematics伍川生副教授碩士生導師

勘察設(shè)計注冊土木工程師（道路工程）資格考試受彎構(gòu)件的應(yīng)力、裂縫和變形計算鋼筋混凝土受彎構(gòu)件的應(yīng)力、裂縫、變形驗算CheckingComputationofStress,CrackandReflectionofRCFlexuralMembers正常使用極限狀態(tài)驗算的內(nèi)容：使用階段的變形。使用階段的最大裂縫寬度。正常使用階段的特點（與承載能力極限狀態(tài)相比）

計算依據(jù)不同：承載能力極限狀態(tài)是以破壞階段（Ⅲa）的狀態(tài)為建立計算圖式的基礎(chǔ)；而使用階段一般是指第Ⅱ階段，即梁帶裂縫工作階段。

影響程度不同：與承載能力極限狀態(tài)相比，超過正常使用極限狀態(tài)所造成的后果（如人員傷亡和經(jīng)濟損失）的危害性和嚴重性相對要小一些、輕一些，因而可適當放寬對其可靠性的保證率的要求。

荷載效應(yīng)及抗力的取值不同

承載能力極限狀態(tài)：汽車荷載應(yīng)計入沖擊系數(shù)，作用（或荷載）效應(yīng)及結(jié)構(gòu)構(gòu)件的抗力均應(yīng)采用考慮了分項系數(shù)的設(shè)計值；在多種作用（或荷載）效應(yīng)情況下，應(yīng)將各效應(yīng)設(shè)計值進行最不利組合，并根據(jù)參與組合的作用（或荷載）效應(yīng)情況，取用不同的效應(yīng)組合系數(shù)。正常使用極限狀態(tài)：汽車荷載應(yīng)可不計沖擊系數(shù)，作用（或荷載）效應(yīng)應(yīng)取用短期效應(yīng)和長期效應(yīng)的一種或幾種組合。短期效應(yīng)組合就是永久作用（結(jié)構(gòu)自重）標準值與可變作用頻遇值效應(yīng)的組合；長期效應(yīng)組合則為永久作用標準值與可變作用準永久值效應(yīng)的組合換算截面第二工作階段的基本假定：平截面假定彈性體假定（壓區(qū)砼近似按線性分布）受拉區(qū)完全不承擔拉應(yīng)力。拉應(yīng)力完全由鋼筋承受。換算截面

定義：

將鋼筋和混土兩種材料組成的實際截面換算成為一種拉壓性能相同的假想材料組成的勻質(zhì)截面即換算截面。材料力學應(yīng)力計算公式的前提是單一材料

換算原則：換算前后合力的大小和作用點的位置不變。∴

∵

式中：——鋼筋截面積

換算成假想的受拉混凝土截面積——鋼筋混凝土構(gòu)件截面的換算系數(shù)，等于

彈性模量比。

即鋼筋的換算面積

定義：鋼筋混凝土受彎構(gòu)件受力進入第Ⅱ工作階段（帶裂縫工作階段）后，通常假定受拉區(qū)混凝土完全不承受拉應(yīng)力，拉應(yīng)力由鋼筋承受。將受壓區(qū)的混凝土面積和受拉區(qū)的鋼筋換算面積所組成的截面稱為鋼筋混凝土構(gòu)件開裂截面的換算截面。三、開裂截面的換算截面換算截面圖a)原截面b)換算截面

幾何特性開裂截面的換算截面面積

換算截面對中性軸靜矩

受壓區(qū)受拉區(qū)

開裂截面的換算截面慣性矩

截面對其形心的靜矩為0，見推導：形心軸，即

矩形截面：對于受彎構(gòu)件，開裂截面的中性軸通過其換算截面的，得到

T形截面：

①

時：按寬度為的矩形截面計算開裂截面的換算截面幾何特性。

②

時：表明中性軸位于T形截面的肋部。

式中：

換算截面對其中性軸的慣性矩

開裂狀態(tài)下T形截面換算計算圖式a)第一類T型截面b)第二類T型截面

定義：砼全截面面積和鋼筋的換算面積所組成的截面。

幾何特性：

全截面換算示意圖a)原截面b)換算截面全截面的換算截面

對上緣取靜矩計算全截面換算示意圖a)原截面b)換算截面受彎構(gòu)件的裂縫和裂縫寬度驗算一、產(chǎn)生裂縫的原因由作用效應(yīng)引起的裂縫，（M、V、T以及拉力等）主要通過設(shè)計計算進行驗算和構(gòu)造措施加以控制由外加變形或約束變形引起的裂縫，如混凝土收縮、溫度變化、基礎(chǔ)不均勻沉降等外加變形或約束變形引起開裂，主要通過采用構(gòu)造措施和施工工藝加以控制。

筋銹蝕裂縫：采取構(gòu)造措施（足夠厚度的砼保護層和保證砼的密實性，嚴格控制早凝劑的摻入量)二、為什么要控制裂縫寬度：

三、受彎構(gòu)件彎曲裂縫寬度計算理論和方法

第一類是分析影響裂縫寬度的主要因素，然后利用數(shù)理統(tǒng)計方法來處理大量的試驗資料，從而給出簡單、適用而又有一定可靠性的裂縫寬度計算公式。

適用功能要求：貯液（氣）容器外觀要求，心理界限：0.3mm耐久性要求：防銹蝕第二類是計算理論法。它是根據(jù)某種理論來建立計算圖式，最后得到裂縫寬度計算公式，然后對公式中一些不易通過計算獲得的系數(shù)，利用試驗資料加以確定，主要有粘結(jié)滑移理論、無滑移理論以及兩種理論的綜合。

粘結(jié)滑移理論：裂縫控制主要取決于鋼筋和混凝土之間的粘結(jié)性能。

無滑移理論：表面裂縫寬度是由鋼筋至構(gòu)件表面的應(yīng)變梯度控制的，即裂縫寬度隨著離鋼筋距離的增大而增大，鋼筋的混凝土保護層厚度是影響裂縫寬度的主要因素。

綜合理論：考慮了混凝土保護層厚度對裂縫寬度的影響，也考慮了鋼筋和砼之間可能出現(xiàn)的滑移。

四、影響裂縫寬度的主要因素鋼筋應(yīng)力σss：最主要因素，最大裂縫寬度與σss呈線性關(guān)系。鋼筋直徑d：在ρ與鋼筋應(yīng)力大致相同的情況下，Wfmax隨d的增加而增加。配筋率ρ：當d相同，鋼筋應(yīng)力大致相同的情況下，

Wfmax隨ρ的增加而減小，當ρ接近某一數(shù)值，

Wfmax接近不變。保護層厚度c：c越大，Wfmax越大，但鋼筋銹蝕可能性

越小，兩種作用相互抵消。鋼筋外形：引入系數(shù)c1來考慮鋼筋外形的影響。

荷載作用性質(zhì)：短、長期、重復作用，引入系數(shù)c2。構(gòu)件受力性質(zhì)的影響：引入系數(shù)c3。五、最大裂縫寬度計算公式

《公路鋼筋混凝土及預應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計規(guī)范》在此公式的基礎(chǔ)上加以修訂。對矩形、T形和工字形截面的鋼筋混凝土受彎構(gòu)件，

《公路鋼筋混凝土及預應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計規(guī)范》規(guī)定受彎、軸心受拉、偏心受壓、偏心受拉構(gòu)件的其最大裂縫寬度(mm)按下式計算：

式中

c1——考慮鋼筋表面形狀的系數(shù)，對光圓鋼筋，c1取1.4對帶肋鋼筋，c1取1.0c2——作用（或荷載）長期效應(yīng)影響系數(shù)，其中Nl和Ns，分別表示按作用（或荷載）長期效應(yīng)組合和短期效應(yīng)組合計算的內(nèi)力值。（彎距或軸力）c3——與構(gòu)件受力性質(zhì)有關(guān)的系數(shù)，當為鋼筋混凝土板式受彎構(gòu)件c3＝1.15，其他受彎構(gòu)件c3＝1.0，軸受拉構(gòu)件c3＝1.2，偏心受拉構(gòu)件c3＝1.1，偏心受壓構(gòu)件

c3＝0.9

d——縱向鋼筋直徑（mm),當用不同直徑的鋼筋時，d改

用換算直徑de，式中對鋼筋混凝土構(gòu)件，為受拉區(qū)第i種普通鋼筋的根數(shù)，為受拉區(qū)第i種普通鋼筋的公稱直徑。對于焊接鋼筋骨架，上式中的d或de應(yīng)乘以1.3的系數(shù)；

ρ——縱向受拉鋼筋配進率，對鋼筋混凝土構(gòu)件，當ρ＞0.02時，取ρ＝0.02；當ρ＜0.006時，取ρ＝0.006；對于軸心受拉構(gòu)件，

ρ按全部受拉鋼筋截面面積As的一半計算；bf,hf——構(gòu)件受拉翼緣的寬度和厚度σss——由作用（或荷載）短期效應(yīng)組合引起的開裂截面縱

向受拉鋼筋在使用荷載作用下的應(yīng)力（MPa），對于鋼筋混凝土受彎構(gòu)件，

；其他受力性質(zhì)構(gòu)件的計算式參見《公路鋼筋混凝土及預應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計規(guī)范》JTGD62--2004；H0——截面的有效高度；六、裂縫寬度限值

《公橋規(guī)》規(guī)定，鋼筋混凝土受彎構(gòu)件在荷載作用下，算得的最大裂縫寬度須滿足下述要求：

Ⅰ類和Ⅱ類環(huán)境：0.2mmⅢ類和Ⅳ類環(huán)境：0.15mm

一、為何對鋼筋砼受彎構(gòu)件進行變形驗算：

撓度過大，損壞使用功能：如簡支梁跨中撓度過大，將使梁端部轉(zhuǎn)角大，引起行車對該處產(chǎn)生沖擊，破壞伸縮縫和橋面；連續(xù)梁的撓度過大，將使橋面不平順，行車時引起顛簸和沖擊等問題。

使相鄰構(gòu)件開裂、壓碎。

心

理安全。

撓度過大，發(fā)生振動、動力效應(yīng)。受彎構(gòu)件的變形（撓度）驗算二、材力撓度計算公式：

對簡支梁，撓度計算的一般公式是：

式中：

——與荷載形式有關(guān)的荷載效應(yīng)系數(shù)，如均布荷載時B——給定的構(gòu)件截面抗彎剛度，也即是截面抵抗彎曲變形的

能力。

三、鋼筋砼受彎構(gòu)件的抗彎剛度計算公式：

鋼筋混凝土受彎構(gòu)件各截面的配筋不一樣，承受的彎矩也不相等，彎矩小的截面可能不出現(xiàn)彎曲裂縫，其剛度要較彎矩大的開裂截面大得多，因此沿梁長度的抗彎剛度是個變值，為簡化起見，把變剛度構(gòu)件等效等剛度構(gòu)件，采用結(jié)構(gòu)力學方法，按在兩端部彎矩作用下構(gòu)件轉(zhuǎn)角相等的原則，則可求得等剛度受彎構(gòu)件的等效剛度B，即為開裂構(gòu)件等效截面的抗彎剛度圖9-9構(gòu)件截面等效示意圖a)構(gòu)件彎曲裂縫b)截面剛度變化c)等效剛度的構(gòu)件《公橋規(guī)》規(guī)定：鋼筋砼受彎構(gòu)件計算變形時的抗彎剛度為：

式中：B——開裂構(gòu)件等效截面的抗彎剛度；B0—全截面的抗彎剛度，

Bcr——開裂截面的抗彎剛度;Ec

——混凝土的彈性模量；I0——全截面換算截面慣性矩；Icr——開裂截面的換算截面慣性矩；Ms――按短期效應(yīng)組合計算的彎矩值；Mcr——開裂彎矩;ftk——混凝土軸心抗拉強度標準值；γ——構(gòu)件受拉區(qū)混凝土塑性影響系數(shù),

S0——全截面換算截面重心軸以上（或以下）部分面積對重心軸的面積矩；W0——全截面換算截面抗裂驗算邊緣的彈性矩。四、預拱度的設(shè)置

概念：施工時預設(shè)的反向撓度。

設(shè)置目的：

為了消除結(jié)構(gòu)重力這個長期荷載引起的變形；

希望構(gòu)件在平時無靜荷載作用時保