2020-2021學年廣東省廣州市中考數(shù)學沖刺卷1（解析版）

2020-2021學年廣東省廣州市中考數(shù)學沖刺卷1

一、選擇題（本題有10小題，每小題3分，共30分，每小題只有一個選項是正確的,

不選'多選、錯選均不給分）

1.（本題3分）（2020?廣州市華師附中番禺學校九年級月考）-5的倒數(shù)是（）

1,1

A.-B.±5C.5D.——

55

【答案】D

【分析】

根據(jù)乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，可得一個數(shù)的倒數(shù)，從而求解答案.

【詳解】

（1）

-5x——=1,

\5,

；5的倒數(shù)為一:，

故選：D.

【點睛】

本題考查倒數(shù)的意義，掌握倒數(shù)的意義是解決問題的關(guān)鍵.

2.（本題3分）（2021?廣東廣州市?九年級期末）下列選項的汽車標志圖案中，是中心對

稱圖形的是（）

【答案】B

【分析】

根據(jù)把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這

個圖形就是中心對稱圖形.

【詳解】

解：A、不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

B、是中心對稱圖形，故此選項符合題意；

C、不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

D、不是中心對稱圖形，故此選項不合題意：

故選：B.

【點睛】

此題主要考查了中心對稱圖形，關(guān)鍵是掌握中心對稱圖形的概念.

3.（本題3分）（2021?廣東韶關(guān)市?九年級一模）如圖，由4個相同正方體組合而成的幾

何體，它的左視圖是（）

主視方向

A.日B.C.口||D.口卜|

【答案】A

【分析】

根據(jù)左視圖是從左面看得到的圖形，結(jié)合所給圖形以及選項進行求解即可.

【詳解】

觀察圖形，從左邊看得到兩個疊在一起的正方形，如下圖所示：

故選A.

試卷第2頁，總33頁

【點睛】

本題考查了簡單兒何體的三視圖，解題的關(guān)鍵是掌握左視圖的觀察位置.

4.（本題3分）（2019?廣州市育才中學九年級一模）下列運算正確的是（）

A.（a+b）2=a2+h2B.（3x2）3=9x6C.a3-a4=ayD.#+6=2

【答案】C

【分析】

根據(jù)完全平方公式、積的乘方、同底數(shù)愚的乘法法則、二次根式的除法法則計算即可.

【詳解】

A.（a+b）2=a2+2ab+b2,錯誤；

B.（3X2）3=27X6,錯誤；

C././=/,正確；

I）.>/6-r>/3=5/2>錯誤；

故答案為：C.

【點睛】

本題考查了實數(shù)的運算問題，掌握完全平方公式、積的乘方、同底數(shù)基的乘法法則、二

次根式的除法法則是解題的關(guān)鍵.

5.（本題3分）（2020?廣東廣州市?九年級月考）樣本數(shù)據(jù)3,5,n,6,8的眾數(shù)是8,

則這組數(shù)的中位數(shù)是（）

A.3B.5C.6D.8

【答案】C

【分析】

先根據(jù)眾數(shù)的概念得出n=8,再將數(shù)據(jù)從小到大排列，利用中位數(shù)的概念求解可得.

【詳解】

解：口數(shù)據(jù)3,5,n,6,8的眾數(shù)是8,

n=8,

則這組數(shù)據(jù)為3,5,6,8,8,

所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為6,

故選：C.

【點睛】

本題主要考查眾數(shù)和中位數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾

數(shù)，將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到小）的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則

處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)

據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

6.（本題3分）（2020?廣州市花都區(qū)新徽弘儒學校九年級月考）如圖所示，河堤橫斷面

迎水坡AB的坡比是1：亞,堤高BC=4m,則迎水坡寬度AC的長為（）

A.V5mB.4石mC.2V6mD.4#m

【答案】B

【分析】

根據(jù)坡比的定義列出關(guān)系式即可解決問題.

【詳解】

由題意：BC：AC=\-.75，

□8C=4?7,

試卷第4頁，總33頁

AC=4y[§m,

故選8.

【點睛】

本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型.

7.（本題3分）（2021?廣東廣州市?九年級期末）一元二次方程x?+2岳-6=0的兩

實數(shù)根為g,則玉+超的值為（）

A.V2B.-272C.272D.6

【答案】B

【分析】

直接根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解.

【詳解】

解：一元二次方程x2+2&x-6=0的兩實數(shù)根為X|,X2,

.XI+X2=-2血.

故選：B.

【點睛】

本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若XI,X2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a加）的兩根時,

bc

X1+X2—-,X|X2=—.

aa

8.（本題3分）（2021?中山大學附屬中學九年級一模）如圖，N5是口。的直徑，點C、

。、E在口。上.若5C0=1OO。，貝!I的度數(shù)為（）

A.10°B.15°C.20°D.25°

【答案】A

【分析】

連接O。、AD,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出NB4O=80。，山。/=OO求得

ZAOD=2Q°,再根據(jù)圓周角等于同弧所對圓心角的一半得到答案.

【詳解】

解：如圖，連接AD,

□點/、B、C、。在圓上，

□四邊形ZBC。是圓內(nèi)接四邊形，

NE4O+NC=180。，

□□fiCD=100°,

/BAD=80°,

QOA=OD,

ZADO=N8AD=80。，

NAO。=20°,

ZAED=10°.

試卷第6頁，總33頁

故選：A.

【點睛】

此題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角的性質(zhì)，正確連接輔助線是

解題的關(guān)鍵.

9.（本題3分）（2020?廣州白云廣雅實驗學校）當—1?xK4時,二次函數(shù)y=（尤-+%

函數(shù)值的取值范圍是（）

A.k<y<k+16B.A:+l<y<Ar+16C.k<y<k+\D.y</r+1

【答案】A

【分析】

求出頂點坐標，得出最小值，然后求出x=-l,x=4時y的值，即可得到函數(shù)值的取值范

圍.

【詳解】

由二次函數(shù)y=（x—3了+左可知，拋物線開口向上，頂點坐標為（3,k）,

二函數(shù)有最小值y=k,

「當x=-l時，y=k+16,當x=4時，y=^+1,

函數(shù)值的取值范圍為：k<y<k+\6,

故選：A.

【點睛】

本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、拋物線的時稱軸、頂點坐標與拋物線解析式的關(guān)系，熟練掌

握二次函數(shù)相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵.

10.（本題3分）（2020?廣東廣州市?九年級期末）如圖，在AABC中，AB=10,AC=8,

BC=6,以邊A3的中點。為圓心作半圓，使8。與半圓相切，點P,Q分別是邊AC

和半圓上的動點，連接PQ,則PQ長的最大值與最小值的和是（）

A.8B.9C.10D.12

【答案】C

【分析】

如圖，設(shè)IO與BC相切于點E,連接OE,作OPQAC垂足為Pi交1O于Q”此時垂

線段OPi最短,PQ最小值為OQrOP”如圖當Q2在AB邊上時,P2與A重合時，P2Q2

最大值，由此不難解決問題.

【詳解】

解：如圖，設(shè)口。與BC相切于點E,連接OE,作OPiAC垂足為Pi交匚0于Q”

此時垂線段OPI最短，PiQi最小值為OQI-OPI,

□AB=10,AC=8,BC=6,

uAB2=AC2+BC2,Jnc=90°,

OPiA=90°,OP,BC.

。為AB的中點，PiC=PiA,OPi=-BC=3.

2

試卷第8頁，總33頁

又LBC是0的切線,OEB=90°,

□OEDAC,又O為AB的中點,

OE=-AC=4=OQ,.

2

P1Q1最小值為OQI-OPI=4-3=1,

如圖，當Q2在AB邊上時，P2與A重合時，P2Q2經(jīng)過圓心，經(jīng)過圓心的弦最長,

PiQi最大值=AO+OQ2=5+4=9,

PQ長的最大值與最小值的和是10.

故選：C.

【點睛】

本題考查切線的性質(zhì)，三角形中位線定理,勾股定理的逆定理以及平行線的判定等知識,

解題的關(guān)鍵是正確找到點PQ取得最大值、最小值時的位置，屬于?中考常考題型.

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

11.（本題3分）（2020?廣東廣州市?九年級一模）當代數(shù)式屈展有意義時，實數(shù)x的

取值范圍是.

【答案】x>-8.

【分析】

根據(jù)二次根式有意義的條件得出8+x>0,求出即可.

【詳解】

解：代數(shù)式疝G有意義,

8+x>0,

解得：x-8.,

故答案為：x>-8.

【點睛】

本題考查的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵.

12.（本題3分）（2020?廣東廣州市?九年級月考）分解因式：4x2y-4xy+y=.

【答案】y（2x-1）2

【分析】

原式提取y,再利用完全平方公式分解即可.

【詳解】

解：原式=y（4x2-4x+l）=y（2x-1）2.

故答案為：y（2x-1）2.

【點睛】

此題考查因式分解的方法：提公因式法和公式法.

13.（本題3分）（2020?廣東廣州市?九年級期末）在一個不透明的箱子中，共裝有白球、

紅球、黃球共60個，這些球的形狀、大小、質(zhì)地等完全相同.小華通過多次試驗后發(fā)

現(xiàn)，從盒子中摸出紅球的頻率是15%,摸出白球的頻率是45%,那么可以估計盒子中

黃球的個數(shù)是.

【答案】24

【分析】

在同樣條件下，大量反復試驗時，隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從比

例關(guān)系入手，知道白球、黃球的頻率后，可以得出黃球概率，即可得出黃球的個數(shù).

【詳解】

解：口從盒子中摸出紅球的頻率是15%,摸出白球的頻率是45%,

試卷第10頁，總33頁

得到黃球的概率為：1-15%-45%=40%,則口袋黃小球有：60*40%=24個.

故答案為：24.

【點睛】

本題主要考查了利用頻率估計概率，大量反復試驗下頻率穩(wěn)定值即概率，解決本題的關(guān)

鍵是要熟練掌握頻率，概率的關(guān)系.

14.（本題3分）（2020?廣東廣州市?九年級一模）如圖，一個無底的圓錐鐵片，它的高

4

AO=8米，母線AB與底面半徑OB的夾角為a,tana=-,則制作這樣一個無底圓錐

3

需要鐵片平方米（結(jié)果保留兀）.

【答案】60K

【分析】

本題就是求圓錐鐵片的側(cè)面積.由圓錐高為8,母線AB與底面半徑OB的夾角為a,tana

4

=-.利用解直角二角形得出BO的長，再由勾股定理求得圓錐的母線長后，利用圓錐

3

的側(cè)面面積公式求出.

【詳解】

4

解：AO=8米，母線AB與底面半徑OB的夾角為a,tana=一,

3

□BO=6,

AB==IO；

根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式：7rrl=7ix6xl0=60兀（平方米）.

故答案為：60兀

【點睛】

本題考查了圓錐的有關(guān)計算，構(gòu)造直角三角形利用正切值進行求解.

15.（本題3分）（2020?廣州市白云區(qū)白云實驗學校九年級期中）若一元二次方程X2+2X

-m=0無實數(shù)根，則一次函數(shù)y=（m+1）x+m-1的圖象不經(jīng)過第象限.

【答案】一

【分析】

根據(jù)方程無實數(shù)根得出b2-4ac<0,代入數(shù)據(jù)即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解

不等式即可得出m的取值范圍,再根據(jù)m的取值范圍來確定一次函數(shù)系數(shù)k、b的符號，

由此即可得出一次函數(shù)經(jīng)過的象限，此題得解.

【詳解】

解：由已知得：」=b?-4ac=2?-4x”（-m）=4+4m<0,

解得：m<-1.

IJ一次函數(shù)y=（m+1）x+m-1中，k=m+l<0,b=m-l<0,

□該一次函數(shù)圖象在第二、三、四象限，不經(jīng)過第一象限.

故答案為一.

【點睛】

本題考查了一元二次方程根的判別式和一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解答關(guān)鍵是應(yīng)用數(shù)形結(jié)

合思想解決問題.

16.（本題3分）（2020?廣州市育才中學九年級月考）如圖，已知乙4cB=150。，AC=4,

BC=8,點D為平面內(nèi)一動點，且滿足CD=4,連接BD,將BD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90。

到DE,連接BE、AE,則AE的最大值為.

試卷第12頁，總33頁

E

【答案】4百+4行

【分析】

如圖（見解析），先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可得

—=嬖G=—,NCBD=NFBE,再根據(jù)相似二:角形的判定與性質(zhì)可得

BE42BDBD

變=殷=3,從而可得EF=4a和點E的運動軌跡，然后根據(jù)點與圓的位置關(guān)

CDBD

系可得AE的最大值為Ab+￡/，最后利用余弦三角函數(shù)、勾股定理求出AF的長，

由此即可得.

【詳解】

如圖，將BC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°到C77,連接AF、BF、EF,

山旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：BC=CF=8/BCF=90°,BD=DE,ZBDE=90°,

RtQBCF和MADE都是等腰直角三角形，

BF=壺BC=872,BE=?BD,NCBF=NDBE=45°,

變￥=』CBF一NDBF

=NDBE-NDBF

BEy/2BDBD

即NCBO=NFBE,

BCBF

在△BCD和△BEE中，\BD~~BE,

ZCBD=ZFBE

：DBCD-nBFE,

.?.竺=些=技

CDBD

?.?CZ)=4,

EF=血CD=472，

.??點E的運動軌跡是以點F為圓心、EF長為半徑的圓，

由點與圓的位置關(guān)系得：當線段AE經(jīng)過圓心F時,AE取最大值,最大值為AF+EF，

ZACB=150°,NBCF=90°,

ZACF=ZACB-/BCF=60°，

41

一-

在DAC尸中,cosZACF=cos60°=—,一8-2-

2

AC

cosZACF=----

CF2

:.^ACF是自角一角形，[\.ZCAF=9Q0，

AF=y]CF2-AC2=A/82-42=4G，

則AE的最大值為AF+=4百+4J5，

故答案為：4A/3+4>/2.

8

C

試卷第14頁，總33頁

【點睛】

本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、點

與圓的位置關(guān)系、余弦三角函數(shù)等知識點，通過作輔助線，構(gòu)造等腰直角三角形和相似

三角形是解題關(guān)鍵.

三、解答題(本大題共9小題，共72分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

17.(本題4分)(2019?廣州市白云區(qū)華師附中新世界學校九年級月考)解方程：(1)

x2-x-6=0

(2)3x2+5(2%+1)=0

r/去1(1\1__5+V10—5—V10

【答案】(1)xi=3,X2=-2(2)xi=--------，X2=--------

33

【分析】

(1)先分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可；

(2)整理后求出b「4ac的值，再求根公式即可求解.

【詳解】

(1)x2-x-6=0,

(x-3)(x+2)=0,

x-3=0,x+2=0,

xi=3?X2=-2；

(2)3x2+5(2x+1)=0,

3x2+10x+5=0,

b2-4ac=102-4x3x5=40,

-10±如

x=

2x3

-5+V10-5-Vio

X|=X2=----------

3

【點睛】

本題考查了解一元二次方程，能選擇適當?shù)姆椒ń夥匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵.

18.（本題4分）（2020?廣東廣州市?九年級其他模擬）如圖，在口ABC中，AB=BC,

點E為AC的中點，且□DCA=1ACB,DE的延長線交AB于點F.求證：ED=EF.

【答案】證明見解析.

【分析】

由AB=BC知nA=E!ACB,結(jié)合口DCA=UACB得：2A=E!DCA,利用“ASA”證

OAEFDCCED,從而得出答案.

【詳解】

AB=BC,

□□A=uACB,

IJUDCA=ACB,

□OA=DDCA,

□點E是AC中點,

OAE=CE,

在匚AEF和：CED中,

-ZA=ZDCA

?AE=CE,

NAEF=NCED

試卷第16頁，總33頁

AEFCED(ASA),

□ED=EF.

【點睛】

本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等邊對等角的性質(zhì)和全等

三角形的判定與性質(zhì).

VIV_1

19.(本題6分)(2020?廣東廣州市?九年級月考)已知A=(^―----廣3~-)

x-2xx-4x+4

x—4

-2-----.

X

(1)化簡A；

(2)已知X2=4X+5,求A的值.

11

【答案】⑴注可；⑵5

【分析】

(1)根據(jù)分式的減法和除法可以化簡A；

(2)根據(jù)X2=4X+5,然后整體代入化簡后A的式子，即可得到A的值.

【詳解】

.?、x+2x—1x—4

解：⑴A=(―---------------)+-----

x-2xx—4x+4x

x+2x-11x

=[r--------------yj*----

x(x-2)(九一2)2x-4

(x+2)(x-2)-x(x-1)x

x(x—2)~x—4

x~-4—4-X1

(x-2)2x-4

x—41

(x-2)2'7^4

1

-U-2)2：

(2)x2=4x+5,

1

=-^—:---;

x—4x+4

1

4x+5-4x+4

-91

【點睛】

本題考查了分式的化簡求值，及代數(shù)式的整體代入計算，熟知分式化簡求值的步驟，準

確進行整體代入是解題的關(guān)鍵.

20.(本題6分)(2020?廣東省廣州市天河區(qū)同仁學校九年級月考)如圖，某農(nóng)場要建一

個長方形的養(yǎng)雞場，雞場的一邊靠墻，墻長25m,另外三邊木欄圍著，木欄長40m.

/////////////////

(1)若養(yǎng)雞場面積為200m2,求雞場靠墻的一邊長.

(2)養(yǎng)雞場面積能達到250m2嗎？如果能，請給出設(shè)計方案，如果不能，請說明理由

【答案】(1)20m.(2)不能達到250m2,理由見解析.

【分析】

(1)設(shè)雞場垂直于墻的一邊長為xm,則雞場平行于墻的一邊長為(40-2x)m,根據(jù)

試卷第18頁，總33頁

矩形的面積公式結(jié)合養(yǎng)雞場面積為200m2,即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可

求出x值，將其代入40-2x中可求出雞場平行于墻的一邊長；

(2)假設(shè)能，設(shè)雞場垂直于墻的一邊長為ym,則雞場平行于墻的一邊長為(40-2y)

m,根據(jù)矩形的面積公式結(jié)合養(yǎng)雞場面積為200m2,即可得出關(guān)于x的一元二次方程，

由根的判別式i=T00<0即可得出假設(shè)不等式，即養(yǎng)雞場面積不能達到250m2.

【詳解】

解：(1)設(shè)雞場垂直于墻的一邊長為xm,則雞場平行于墻的一邊長為(40-2x)m,

根據(jù)題意得:x(40-2x)=200,

解得：Xl=X2=10,

□40-2X=20.

答：雞場平行于墻的一邊長為20m.

(2)假設(shè)能，設(shè)雞場垂直于墻的一邊長為ym,則雞場平行于墻的一邊長為(40-2y)

m,

根據(jù)題意得：y(40-2y)=250,

整理得：y2-20y+125=0.

□□=(-20)2-4xlxl25=-100<0,

該方程無解，

假設(shè)不成立，即養(yǎng)雞場面積不能達到250m2.

【點睛】

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及根的判別式，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方

程是解題的關(guān)鍵.

21.體題8分)(2020?廣東廣州市?九年級一模)如圖，已知ABC的面積為4,D為

AB的中點.

(1)尺規(guī)作圖：作邊AC的中點E,并連接DE；(保留作圖痕跡，不要求寫作法)

（2）在（1）的條件下，求nADE的面積.

【答案】（1）見解析；（2）1

【分析】

（1）作線段AC的垂直平分線MN交AC于E,則點E即為邊AC的中點；

（2）依據(jù)DE是HABC的中位線，即可得到DE「BC,DE=1BC,再根據(jù)UADEU」ABC,

2

即可得到〔ADE的面積.

【詳解】

解：（1）作線段AC的垂直平分線MN交AC于E,則點E即為所求；

(2)AD=DB,AE=CE,

DE是ABC的中位線,

DEBC,DE=-fiC,

2

ADEABC,

S遜=(均2

s戰(zhàn)BC，

即也皿=_L,

44

ADE的面積為1.

試卷第20頁，總33頁

【點睛】

本題考查的是線段的垂直平分線的作圖，三角形中位線的性質(zhì)，三角形相似的判定與性

質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

22.(本題10分)(2021?廣東廣州市?九年級一模)如圖，四邊形Z5CO是平行四邊形,

AO=2,AB=6,點/在第一象限，點C在x軸的負半軸上，將平行四邊形Z8C0繞點

/逆時針旋轉(zhuǎn)得到平行四邊形“0ER點O在反比例函數(shù))，=人的圖象上，且經(jīng)過

X

點O,點/恰好落在X軸的正半軸上.

(1)求點Z的坐標；

(2)求A的值.

【答案】(1)A(1,6)；(2)k=4yf3.

【分析】

(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得4O=AF,IB4gJOAF,由四邊形/8CO是平行四邊形，

得LBAO=BCO=\AOF,^\AAOF=\2AFO,WBAO=OAF=/FO,利用兩直線平行，

同旁內(nèi)角互補，得OAF=60°,得到三角形04廠是等邊三角形，過點/作/Gx軸，

垂足為G,計算OG,AG的長度即可得到點A的坐標；

(2)過點。作DMx軸，垂足為M,計算OM,DM的長度即可得到點D的坐標，根

據(jù)"的意義求解即可.

【詳解】

(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，GAO=AF,UBAO=UOAF,

四邊形力8co是平行四邊形,

□UBAO=UBCO=UAOF,

UAO=AFt

^A0F=\AFO,

□V1BAO=UOAF=^AFO,

口四邊形45co是平行四邊形，

UABUCF,

□□切。+LiOAF+UAF0=180°,

04b=60。，

□三角形04產(chǎn)是等邊三角形，

過點力作/GZLr軸，垂足為G,

□4G=30。，

□482,

OG=1,4G=JAO2_(9c2=&_12=6,

□點4在第一象限，

A(1,73)；

(2)如圖，過點。作。用「X軸，垂足為例，

口4D=AB=6,04=2,QOAF=60°f

.00=4,LDOM=6009MDO=30°,

0M=2,DM=4DCf-OM2=V42-22=2V3，

點。的坐標(-2,-2百),

試卷第22頁，總33頁

A=-2x(-2-y/3)=45/3.

【點睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)

定理，反比例函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)造輔助線，確定相應(yīng)線段的長是解題的關(guān)犍.

23.(本題10分)(2021?中山大學附屬中學九年級一模)在圖1至圖3中，的直徑

5c=30,NC切口。于點C,AC=40,連接N5交口。于點。，連接CD,尸是線段CD

上一點，連接P3.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,當點P,。的距離最小時，求PZ)的長;

(2)如圖2,若射線ZP過圓心O,交一。于點E,F,求tan尸的值;

(3)如圖3,作O//UP5于點“，連接C7Z,求C”的最小值.

【答案】(1)12；(2)乒一3；⑶3773-9.

8

【分析】

(1)連接。尸，點尸，。的距離最小時即OPCD時，由勾股定理求得48的長，由面

積法求得8的長，則由垂徑定理可得PO的長；

(2)連接CE,利用有兩個角相等的三角形相似，可證ZCEAFC,從而可得比例式，

按照正切函數(shù)的定義可得指"尸的值；

(3)以8。為直徑作"G,則G為8。的中點，則由點〃總在G上可知當點C,H,

G在一條直線上時，C”最小，則由勾股定理求得CG的長，再減去G”的長，可得答

案.

【詳解】

(1)如圖1,連接。尸，

口/C切口。于點C,

ACBC.

OSC=30,AC=40,

AB=50.

8c是直徑，

E:OSZ)C=90°,

由SABC=—AB*CD=z—AC9BC,

22

即LX50XC￡)=1~X40X30,

22

試卷第24頁，總33頁

解得CD=24,

當OPC。時，點P,。的距離最小，此時/Y)=LCD=12.

2

(2)如圖2,連接CE,

□EF為。的直徑，

□□￡CF=90°.

由(1)知，LJC5=90°,

由ZOTC2+OC2,得(JE+15)2=402+152,

解得XE=5j萬-15.

ACB=EC尸=90。，

0QACE-DBCF=DAFC.

又口。￡＞口刈。，

ACEAFC,

CEAE

-------.

FCAC

「CEAE5773155-3

tanF=----=-----=--------------=----------

CFAC40408

(3)C”的最小值為3J萬-9.

解：如圖3,以8。為直徑作UG,則G為8。的中點,

在RtBDC中，BDC=90°,

BDTBC?-CD?=18,

DG=—BD=9,

2

A

圖3

DDHJPB,

□點，總在上，GH=9,

□當點、C,H,G在一條直線上時，C"最小，

此時，CG=^CLf+DG2=）242+92=3歷,=3歷-9,

即C”的最小值為3萬-9.

【點睛】

本題屬于圓的綜合題，考查了勾股定理、圓的相關(guān)性質(zhì)及定理、面積法、相似三角形的

判定與性質(zhì)及銳角三角函數(shù)等知識點，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵.

24.（本題12分）（2020?廣東廣州市?九年級其他模擬）在RFABC中，□ACB=90°>

tanZ3BAC=J.點D在邊AC上（不與A,C重合），連結(jié)BD,F為BD中點.

試卷第26頁，總33頁

圖1備圖

（1）若過點D作DEC1AB于E,連結(jié)CF、EF、CE,如圖1.設(shè)CF=kEF,貝！|k=

（2）若將圖1中的UADE繞點A旋轉(zhuǎn)，使得D、E、B三點共線，點F仍為BD中點,

如圖2.求證：BE-DE=2CF；

（3）若BC=6,點D在邊AC的三等分點處，將線段AD繞點A旋轉(zhuǎn)，點F始終為

BD中點，求線段CF長度的取值范圍.

【答案】（1）1;（2）證明見解析；（3）最大值為4+3石，同理最小值為36-4.

【分析】

（1）根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得。尸=,8￡>,EF=-BD,CF

22

=EF,于是得k=l；

（2）過點C作CE的垂線交BD于點G,設(shè)BD與AC的交點為Q.得變=匹=,，

ACAE2

BeGBI1

BCGACE.所以——=——=一，GB=DE.在R—ECG44,CF=-EG,BE

ACAE22

-DE=EG=2CF；

（3）情況1：當AD=；AC[1寸，取AB的中點M,連結(jié)MF和CM,最大為2+3石，

2

最小值為3百-2.情況2：當AD=1AC時，取AB的中點M,連結(jié)MF和CM,最

大值為4+36，最小值為為3指-4.再綜合情況1與情況2即可.

【詳解】

(1)E1DEEIAB于E,F為BD中點

CF=-BD,EF^-BD

22

□CF=EF

CF=kEF

□k=1；

（2）如圖2,過點C作CE的垂線交BD于點G,設(shè)BD與AC的交點為Q

由題意，tanBAC=—

2

BCDE1

□=-------=一

ACAE2

□D、E、B三點共線

□AEDB

nnBQC=AQD,「ACB=90。

□□QBC=DEAQ

□□ECA+i.ACG=90。，□BCG+LACG=90°

□：ECA=EBCG

□□BCGJDACE

試卷第28頁，總33頁

BCGB1

---=----=—

ACAE2

□GB=DE

F是BD中點

□F是EG中點

在RtECG中，CF=-EG

2

口BE-DE=EG=2CF；

（3）情況1：如圖，當AD=,4C時，取AB的中點M,連結(jié)MF和CM

3

ACB=90°,tanBAC=—,且BC=6,

2

□AC=12

AB=yjAC2+BC2=675

UM為AB中點

CM=375

AD=-AC

3

0AD=4

M為AB中點，F(xiàn)為BD中點

□FM=-AD=2

2

當且僅當M、F、C三點共線且M在線段CF上時CF最大，此時CF=CM+FM=2+3后

同理最小值為36-2

2

情況2：如圖，當AD=—AC時，取AB的中點M,連結(jié)MF和CM

3

類似于情況1,可知CF的最大值為4+3石

綜合情況1與情況2,可知當點D在靠近點C的三等分點時，線段CF的長度取得最大

值為4+3行

同理最小值為36-4.

【點睛】

本