微積分多元函數(shù)微分習(xí)題講解

微積分多元函數(shù)微分習(xí)題講解2024-01-25多元函數(shù)基本概念與性質(zhì)多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分應(yīng)用典型例題解析與技巧總結(jié)練習(xí)題與答案解析目錄01多元函數(shù)基本概念與性質(zhì)定義域多元函數(shù)的定義域是指使得函數(shù)有意義的自變量取值范圍。對于二元函數(shù)$z=f(x,y)$，其定義域通常是$x$和$y$的取值范圍構(gòu)成的平面區(qū)域。值域多元函數(shù)的值域是指函數(shù)所有可能取到的函數(shù)值的集合。對于二元函數(shù)$z=f(x,y)$，其值域是$z$的取值范圍。多元函數(shù)定義域與值域連續(xù)性的定義多元函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，意味著當(dāng)自變量的變化量趨于零時，函數(shù)值的變化量也趨于零。即$lim_{Deltaxto0,Deltayto0}[f(x+Deltax,y+Deltay)-f(x,y)]=0$。連續(xù)性的性質(zhì)連續(xù)函數(shù)具有一些重要的性質(zhì)，如局部有界性、局部保號性、四則運(yùn)算性質(zhì)等。多元函數(shù)連續(xù)性偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)反映了多元函數(shù)在某一點(diǎn)沿某一坐標(biāo)軸方向的變化率。例如，二元函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$處對$x$的偏導(dǎo)數(shù)記作$f_x(x_0,y_0)$，表示當(dāng)$y$固定在$y_0$時，$z$隨$x$的變化率。要點(diǎn)一要點(diǎn)二全微分全微分描述了多元函數(shù)在某一點(diǎn)附近的全局變化率。如果二元函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$處可微，則存在唯一的線性函數(shù)$dz=ADeltax+BDeltay$，使得當(dāng)$(Deltax,Deltay)to(0,0)$時，$Deltaz-dzto0$。其中$A=f_x(x_0,y_0)$，$B=f_y(x_0,y_0)$。偏導(dǎo)數(shù)與全微分概念高階偏導(dǎo)數(shù)及混合偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)是指對多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)再次求偏導(dǎo)數(shù)。例如，二元函數(shù)$z=f(x,y)$的二階偏導(dǎo)數(shù)有$f_{xx}(x,y)$、$f_{xy}(x,y)$、$f_{yx}(x,y)$和$f_{yy}(x,y)$。高階偏導(dǎo)數(shù)混合偏導(dǎo)數(shù)是指對多元函數(shù)的兩個或兩個以上自變量交替求偏導(dǎo)數(shù)。例如，二元函數(shù)$z=f(x,y)$的混合偏導(dǎo)數(shù)有$f_{xy}(x,y)$和$f_{yx}(x,y)$。在一定條件下，混合偏導(dǎo)數(shù)是相等的，即$f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)$?；旌掀珜?dǎo)數(shù)02多元函數(shù)微分法高階鏈?zhǔn)椒▌t對于多次復(fù)合的函數(shù)，需要反復(fù)應(yīng)用鏈?zhǔn)椒▌t，直到求出最終導(dǎo)數(shù)。多元復(fù)合函數(shù)對于包含多個自變量的復(fù)合函數(shù)，需要分別對每個自變量求偏導(dǎo)數(shù)，再運(yùn)用鏈?zhǔn)椒▌t。鏈?zhǔn)椒▌t對于復(fù)合函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)可以通過鏈?zhǔn)椒▌t進(jìn)行計算，即先對內(nèi)部函數(shù)求導(dǎo)，再與外部函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相乘。復(fù)合函數(shù)微分法隱函數(shù)定義隱函數(shù)是指不能直接解出因變量的函數(shù)關(guān)系，需要通過方程來表示。隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)通過對方程兩邊同時求導(dǎo)，可以求出隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)。多元隱函數(shù)對于包含多個自變量的隱函數(shù)，需要分別對每個自變量求偏導(dǎo)數(shù)，再聯(lián)立求解。隱函數(shù)微分法參數(shù)方程定義參數(shù)方程是指通過引入一個或多個參數(shù)來表示因變量與自變量之間關(guān)系的方程。參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)通過對參數(shù)方程中的每個式子分別求導(dǎo)，可以求出參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)。多元參數(shù)方程對于包含多個自變量的參數(shù)方程，需要分別對每個自變量求偏導(dǎo)數(shù)，再聯(lián)立求解。參數(shù)方程表示函數(shù)微分法方向?qū)?shù)定義方向?qū)?shù)是指函數(shù)在某一點(diǎn)沿某一方向的變化率。方向?qū)?shù)的計算通過計算函數(shù)在該點(diǎn)的梯度向量與給定方向向量的點(diǎn)積，可以得到方向?qū)?shù)的值。梯度的計算梯度是一個向量，其每個分量是函數(shù)在該點(diǎn)對每個自變量的偏導(dǎo)數(shù)。通過求解偏導(dǎo)數(shù)并組合成向量形式，可以得到梯度向量。方向?qū)?shù)與梯度計算03多元函數(shù)微分應(yīng)用通過參數(shù)方程或一般方程，利用導(dǎo)數(shù)求解切線斜率，進(jìn)而得到切線方程。求解空間曲線在某點(diǎn)的切線方程根據(jù)切線斜率求得法線斜率，再利用點(diǎn)法式求得法平面方程。求解空間曲線在某點(diǎn)的法平面方程空間曲線切線與法平面方程求解求解空間曲面在某點(diǎn)的切平面方程通過曲面方程求偏導(dǎo)數(shù)得到切平面的法向量，再利用點(diǎn)法式求得切平面方程。求解空間曲面在某點(diǎn)的法線方程根據(jù)切平面的法向量，直接得到法線方程?？臻g曲面切平面與法線方程求解VS通過偏導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值存在的條件。多元函數(shù)極值的求解利用偏導(dǎo)數(shù)等于零求得駐點(diǎn)，再通過二階偏導(dǎo)數(shù)判斷駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)。多元函數(shù)極值存在的條件多元函數(shù)極值問題探討條件極值及拉格朗日乘數(shù)法應(yīng)用條件極值問題的提出在給定約束條件下，求目標(biāo)函數(shù)的極值問題。拉格朗日乘數(shù)法的應(yīng)用構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，將條件極值問題轉(zhuǎn)化為無條件極值問題，再通過求解拉格朗日函數(shù)的駐點(diǎn)得到條件極值點(diǎn)。04典型例題解析與技巧總結(jié)求函數(shù)$z=x^2+y^2$在點(diǎn)$(1,1)$處的偏導(dǎo)數(shù)。根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義，有例1解析典型例題解析（一）典型例題解析（一）$frac{partialz}{partialx}Big|_{(1,1)}=2,quadfrac{partialz}{partialy}Big|_{(1,1)}=2$例2：求函數(shù)$u=xy+yz+zx$在點(diǎn)$(1,2,3)$處沿方向$vec{l}=(1,1,1)$的方向?qū)?shù)。解析：首先求$u$的梯度$frac{partialu}{partialvec{l}}=nablaucdotfrac{vec{l}}{|vec{l}|}=frac{1}{sqrt{3}}(y+z,x+z,y+x)cdot(1,1,1)$代入點(diǎn)$(1,2,3)$，得$frac{partialu}{partialvec{l}}Big|_{(1,2,3)}=frac{1}{sqrt{3}}(2+3+1+3+2+1)=frac{12}{sqrt{3}}$$nablau=(y+z,x+z,y+x)$然后計算方向?qū)?shù)典型例題解析（一）求函數(shù)$f(x,y)=x^2y+xy^2$的極值。例3首先求一階偏導(dǎo)數(shù)解析典型例題解析（二）典型例題解析（二）例4求函數(shù)$z=xe^{-x^2-y^2}$的極值和最值。解析首先求一階偏導(dǎo)數(shù)典型例題解析（二）例5：求曲線$x^2+y^2+z^2=a^2$與平面$x+y+z=0$的交線的方程。解析：聯(lián)立兩個方程消去$z$，得$x^2+y^2+(x+y)^2=a^2impliesx^2+xy+y^2=frac{a^2}{2}$此即為交線在$xy$平面上的投影方程。原方程可化為參數(shù)方程形式求解。例6：求曲面$z=x^2+y^2$與平面$x+y+z=1$的交線的方程。解析：聯(lián)立兩個方程消去$z$，得$x^2+y^2=1-x-yimpliesx^2+x+y^2+y=1$此即為交線在$xy$平面上的投影典型例題解析（三）05練習(xí)題與答案解析求函數(shù)$z=x^2+y^2$在點(diǎn)$(1,1)$處的偏導(dǎo)數(shù)。練習(xí)題1求函數(shù)$u=x^2y+y^2z+z^2x$在點(diǎn)$(1,2,3)$處的全微分。練習(xí)題2求函數(shù)$f(x,y)=sin(xy)$在點(diǎn)$(0,0)$處的可微性。練習(xí)題3求函數(shù)$z=xe^y+ycosx$在點(diǎn)$(0,0)$處的偏導(dǎo)數(shù)，并判斷該函數(shù)在點(diǎn)$(0,0)$處是否可微。練習(xí)題4練習(xí)題選編答案及詳細(xì)解析01練習(xí)題1解析021.首先求出函數(shù)$z=x^2+y^2$對$x$的偏導(dǎo)數(shù)$frac{partialz}{partialx}=2x$。2.然后求出函數(shù)$z=x^2+y^2$對$y$的偏導(dǎo)數(shù)$frac{partialz}{partialy}=2y$。03答案及詳細(xì)解析將點(diǎn)$(1,1)$代入偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)式，得到$\frac{\partialz}{\partialx}|{(1,1)}=2\times1=2$，$\frac{\partialz}{\partialy}|{(1,1)}=2\times1=2$。練習(xí)題2解析2.分別求出$frac{partialu}{partialx}=2xy+z^2$，$frac{partialu}{partialy}=x^2+2yz$，$frac{partialu}{partialz}=y^2+2xz$。1.求出函數(shù)$u=x^2y+y^2z+z^2x$的全微分表達(dá)式$du=frac{partialu}{partialx}dx+frac{partialu}{partialy}dy+frac{partialu}{partialz}dz$。答案及詳細(xì)解析將點(diǎn)$(1,2,3)$代入全微分表達(dá)式，得到$du|_{(1,2,3)}=(2\times1\times2+3^2)dx+(1^2+2\times2\times3)dy+(2^2+2\times1\times3)dz=(13dx+13dy+10dz)$。答案及詳細(xì)解析練習(xí)題3解析1.求出函數(shù)$f(x,y)=sin(xy)$在點(diǎn)$(0,0)$處的偏導(dǎo)數(shù)$frac{partialf}{partialx}|_{(0,0)}=ycos(xy)|_{(0,0)}=0$，$frac{partialf}{partialy}|_{(0,0)}=xcos(xy)|_{(0,0)}=0$。答案及詳細(xì)解析由于偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，根據(jù)可微的充分條件，函數(shù)在點(diǎn)$(0,0)$處可微。答案及詳細(xì)解析答案及詳細(xì)解析010203