單元檢測(十一)

單元檢測(十一)概率與統(tǒng)計一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．某超市計劃按月訂購一種冷飲，根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位：℃)有關．如果最高氣溫不低于25℃，需求量為600瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25)(單位：℃)內，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20℃，需求量為100瓶．為了確定6月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年6月份各天的最高氣溫數據，得到下面的頻數分布表：最高氣溫[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)天數36253818將最高氣溫位于各區(qū)間的頻率視為最高氣溫位于該區(qū)間的概率，若6月份這種冷飲一天的需求量不超過x瓶的概率估計值為0.1，則x＝()A．100B．300C．400D．6002．[2023·廣東省高三聯(lián)考]一批學生分別來自于一班與二班，一班、二班中女生的占比分別為40%，50%.將這兩個班的學生合編成一個大班，從大班中隨機抽取1名學生，已知抽取到女生的概率為44%，然后從大班中隨機抽取1名學生，若抽取到的是女生，則她來自一班的概率為()A．eq\f(6,11)B．eq\f(3,5)C．eq\f(2,5)D．eq\f(22,75)3．某電子商務平臺每年都會舉行“年貨節(jié)”商業(yè)促銷狂歡活動，現統(tǒng)計了該平臺從2013年到2021年共9年“年貨節(jié)”期間的銷售額(單位：億元)并作出散點圖，將銷售額y看成年份序號x(2013年作為第1年)的函數．運用Excel軟件，分別選擇回歸直線和三次函數回歸曲線進行擬合，效果如下圖，則下列說法中正確的個數為()①銷售額y與年份序號x呈正相關關系；②銷售額y與年份序號x線性相關不顯著；③三次函數回歸曲線的效果好于回歸直線的擬合效果；④根據三次函數回歸曲線可以預測2022年“年貨節(jié)”期間的銷售額約為8454億元．A．1B．2C．3D．44．某同學寒假期間對其30位親屬的飲食習慣進行了一次調查，列出了如下2×2列聯(lián)表：偏愛蔬菜偏愛肉類合計50歲以下481250歲以上16218合計201030則可以說其親屬的飲食習慣與年齡有關的把握為()附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828A.90%B．95%C．99%D．99.9%5．[2023·廣東省廣州市高三月考]設A，B為兩個事件，已知P(B)＝0.4，P(A)＝0.5，P(B|A)＝0.3，則P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))＝()A．0.3B．0.4C．0.5D．0.66．[2023·四川廣元高三模擬]設隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(3，4)，若P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，則a的值為()A．eq\f(7,3)B．eq\f(4,3)C．3D．57．[2023·江蘇省徐州市高三試題]若(2－ax)(1＋x)4展開式中x3的系數為2，則a＝()A．1B．－1C．－eq\f(1,3)D．28.[2023·河南省頂級名校月考]已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3.如果向該矩形內隨機投一點P，那么使得△ABP與△ADP的面積都不小于2的概率為()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,3)C．eq\f(4,7)D．eq\f(4,9)9．[2023·山東泰安模擬]設離散型隨機變量X的分布列為X01234Pp0.40.10.20.2若離散型隨機變量Y滿足Y＝2X＋1，則D(Y)＝()A．0.1B．1.8C．3.6D．7.210．[2023·貴州貴陽考試]為應對新冠肺炎疫情，許多企業(yè)在非常時期轉產抗疫急需物資．某工廠為了監(jiān)控轉產產品的質量，測得某批n件產品的正品率為98%，現從中任意有放回地抽取3件產品進行檢驗，則至多抽到1件次品的概率為()A．0.998816B．0.9996C．0.057624D．0.00118411．[2023·黑龍江哈爾濱檢測]某電視臺的夏日水上闖關節(jié)目中的前四關的過關率分別為eq\f(5,6)，eq\f(4,5)，eq\f(3,5)，eq\f(1,2)，只有通過前一關才能進入下一關，其中，第三關有兩次闖關機會，且每關通過與否相互獨立．一選手參加該節(jié)目，則該選手能進入第四關的概率為()A．eq\f(7,25)B．eq\f(2,5)C．eq\f(12,25)D．eq\f(14,25)12．[2023·山東臨沂檢測]某市有A，B，C，D四個景點，一位游客來該市游覽，已知該游客游覽景點A的概率為eq\f(2,3)，游覽景點B、景點C和景點D的概率都是eq\f(1,2)，且該游客是否游覽這四個景點相互獨立．用隨機變量X表示該游客游覽的景點的個數，則下列結論中不正確的是()A．P(X≤1)＝eq\f(1,4)B．P(X＝2)＝eq\f(3,8)C．P(X＝4)＝eq\f(1,24)D．E(X)＝eq\f(13,6)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．[2023·陜西西安五校聯(lián)考]已知樣本7，8，9，x，y的平均數是8，方差是4，則xy＝________．14．[2023·上海市實驗學校開學考]由一組樣本點(1，1)、(2，1.2)、(3，2.1)、(4，2.7)、(5，3)，根據最小二乘法求得的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.55x＋eq\o(a,\s\up6(^))，則eq\o(a,\s\up6(^))＝________．15．[2023·安徽省高三摸底]已知某次考試的數學成績X服從正態(tài)分布N(100，σ2)(σ>0)，且P(80<X<120)＝eq\f(2,3)，現從這次考試隨機抽取3位同學的數學成績，則這3位同學的數學成績都在(100，120)內的概率為__________．16．[2023·廣東深圳統(tǒng)測]很多網站利用驗證碼來防止惡意登錄，以提升網絡安全性．某馬拉松賽事報名網站的登錄驗證碼由0，1，2，…，9中的四個數字隨機組成，將從左往右數字依次增大的驗證碼稱為“遞增型驗證碼”(如0123).已知某人收到了一個“遞增型驗證碼”，則該驗證碼的首位數字是1的概率為________．三、解答題(共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)[2023·重慶市第八中學校月考]多年來，清華大學電子工程系黃翔東教授團隊致力于光譜成像芯片的研究，2022年6月研制出國際首款實時超光譜成像芯片，相比已有光譜檢測技術，實現了從單點光譜儀到超光譜成像芯片的跨越，為制定下一年的研發(fā)投入計劃，該研發(fā)團隊需要了解年研發(fā)資金投入量x(單位：億元)對年銷售額y(單位：億元)的影響，結合近12年的年研發(fā)資金投入量xi和年銷售額yi的數據(i＝1，2，…，12)，該團隊建立了兩個函數模型：①y＝α＋βx2；②y＝eλx＋t，其中α，β，λ，t均為常數，e為自然對數的底數，經對歷史數據的初步處理，得到散點圖如圖，令ui＝xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))，vi＝lnyi(i＝1，2，…，12)計算得如下數據：eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))eq\i\su(i＝1,12,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2eq\i\su(i＝1,12,)(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2eq\i\su(i＝1,12,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(vi－eq\o(v,\s\up6(－)))206677020014eq\o(u,\s\up6(－))eq\o(v,\s\up6(－))eq\i\su(i＝1,12,)(ui－eq\o(u,\s\up6(－)))2eq\i\su(i＝1,12,)(vi－eq\o(v,\s\up6(－)))2eq\i\su(i＝1,12,)(ui－eq\o(u,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))4604.2031250000.30821500(1)設{ui}和{yi}的相關系數為r1，{xi}和{vi}的相關系數為r2，請從相關系數的角度，選擇一個擬合程度更好的模型；(2)(ⅰ)根據(1)的選擇及表中數據，建立y關于x的回歸方程(系數精確到0.01)；(ⅱ)若下一年銷售額y需達到80億元，預測下一年的研發(fā)資金投入量x是多少億元？附：①相關系數r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2\i\su(i＝1,n,)（yi－\o(y,\s\up6(－))）2))，回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝a＋bx中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))；②參考數據：308＝77×4，eq\r(80)≈8.9443，e4.3820≈80.18．(本小題滿分12分)[2023·江蘇海安中學測試]有9個外觀相同的同規(guī)格砝碼，其中1個由于生產瑕疵導致質量略有減少，小明想通過托盤天平稱量出這個有瑕疵的砝碼，設計了如下兩種方案：方案一：每次從待稱量的砝碼中隨機選2個，按個數平分后分別放在天平的左、右托盤上，若天平平衡，則選出的2個砝碼是沒有瑕疵的；否則，有瑕疵砝的砝碼在下降一側．按此方法，直到找出有瑕疵的砝碼為止．方案二：從待稱量的砝碼中隨機選8個，按個數平分后分別放在天平的左、右托盤上，若天平平衡，則未被選出的那個砝碼是有瑕疵的；否則，有瑕疵的砝碼在下降一側，每次再將該側砝碼按個數平分，分別放在天平的左、右托盤上，…，直到找出有瑕疵的砝碼為止．(1)記方案一的稱量次數為隨機變量X，求X的概率分布；(2)上述兩種方案中，小明應選擇何種方案可使稱量次數的期望較小？并說明理由．19.(本小題滿分12分)[2023·高三試題]2021年11月7日，在《英雄聯(lián)盟》S11的總決賽中，中國電子競技俱樂部EDG完成逆轉，斬獲冠軍，掀起了新一波電子競技在中國的熱潮．為了調查A地25歲以下的年輕人的性別與對電子競技的愛好程度是否具有相關性，研究人員隨機抽取了500人作出調查，所得數據統(tǒng)計如下表所示：熱愛電子競技對電子競技無感男性20050女性100(1)判斷是否有99.9%的把握認為A地25歲以下的年輕人的性別與對電子競技的愛好程度有關？(2)若按照性別進行分層抽樣的方法，從被調查的熱愛電子競技的年輕人中隨機抽取15人，再從這15人中任取3人，記抽到的男性人數為X，求X的分布列以及數學期望E(X).附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.82820．(本小題滿分12分)[2023·河南省焦作市高三考試]在“校園安全”知識競賽中有兩道多選題，每道題給出的四個選項中有多個正確選項，全部選對的得10分，選對但不全的得5分，有選錯或未作答的得0分．小明參加了這次競賽，由于準備不充分，他對這兩道多選題涉及的知識完全不了解．(1)若小明選擇每個選項的概率均為eq\f(1,2)且互不影響，求他這兩道題得分之和為20分的概率；(2)若這兩道題中一題有2個正確選項，一題有3個正確選項，小明每道題隨機選擇兩個選項，求小明這兩題得分之和X的分布列和數學期望．21.(本小題滿分12分)[2023·福建省福州高三訓練]某學校在寒假期間安排了“垃圾分類知識普及實踐活動”．為了解學生的學習成果，該校從全校學生中隨機抽取了100名學生作為樣本進行測試，記錄他們的成績，測試卷滿分100分，并將得分分成以下6組：[40，50)，[50，60)，[60，70)，…，[90，100]，統(tǒng)計結果如