專題06平面向量的概念與線性運算（知識梳理精講）

專題06平面向量的概念與線性運算知識點一平面向量的有關(guān)概念（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度（或模）．（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的長度，記作．（3）特殊向量：①零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．②單位向量：長度等于1個單位的向量．③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規(guī)定：與任一向量平行．④相等向量：長度相等且方向相同的向量．⑤相反向量：長度相等且方向相反的向量．題型1：平面向量的基本概念例1．（1）、（2023下·山東菏澤·高一山東省鄄城縣第一中學?？茧A段練習）下列說法錯誤的是（

）A．任一非零向量都可以平行移動 B．是單位向量，則C． D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)題意，由向量的定義以及相關(guān)概念對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】因為非零向量是自由向量，可以自由平移移動，故A正確；由單位向量對于可知，，故B正確；因為，所以，故C正確；因為兩個向量不能比較大小，故D錯誤；故選：D（2）、（2021上·高二課時練習）下列關(guān)于空間向量的命題中，真命題的個數(shù)是（

）①任一向量與它的相反向量不相等；②長度相等、方向相同的兩個向量是相等向量；③若，則；④兩個向量相等，則它們的起點與終點相同.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】利用零向量、相等向量與向量的模的定義逐一判斷即可.【詳解】對于①，因為零向量與它的相反向量相等，所以①不是真命題；對于②，根據(jù)向量的定義，知長度相等、方向相同的兩個向量是相等向量，所以②是真命題；對于③，當時，滿足，但，所以③不是真命題；對于④，只要模相等，方向相同，兩個向量就是相等向量，與向量的起點與終點無關(guān)，所以④不是真命題.綜上，只有②是真命題，即真命題的個數(shù)是.故選：B.（3）、（2023下·四川眉山·高一?？计谥校ǘ噙x題）給出下列命題，其中假命題為（

）A．兩個具有共同終點的向量，一定是共線向量；B．若是不共線的四點，則是四邊形為平行四邊形的充要條件；C．若與同向，且，則；D．為實數(shù)，若，則與共線.【答案】ACD【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念，向量共線及向量相等，逐個分析判斷即可【詳解】對于A，兩個具有共同終點的向量，由于起點不一定相同，它們的方向不一定相同，所以它們不一定是共線向量，所以A錯誤，對于B，當是不共線的四點，若，則四邊形是平行四邊形，若四邊形是平行四邊形，則，所以是四邊形為平行四邊形的充要條件，所以B正確，對于C，當與同向，且時，因為兩個向量不能比較大小，所以C錯誤，對于D，為實數(shù)，若，則與不一定共線，如時，與是任意的，所以D錯誤，故選：ACD1．（2023下·上海浦東新·高一統(tǒng)考期末）下列說法正確的是（

）A．若，則與的長度相等且方向相同或相反；B．若，且與的方向相同，則C．平面上所有單位向量，其終點在同一個圓上；D．若，則與方向相同或相反【答案】B【分析】對于A，利用向量的模的定義即可判斷；對于B，利用向量相等的定義判斷即可；對于C，考慮向量的起點位置判斷即可；對于D，考慮特殊向量即可判斷.【詳解】對于A，由只能判斷兩向量長度相等，不能確定它們的方向關(guān)系，故A錯誤；對于B，因為，且與同向，由兩向量相等的條件，可得=，故B正確；對于C，只有平面上所有單位向量的起點移到同一個點時，其終點才會在同一個圓上，故C錯誤；對于D，依據(jù)規(guī)定：與任意向量平行，故當時，與的方向不一定相同或相反，故D錯誤.故選：B.2．（2023上·福建廈門·高三福建省廈門第二中學校考開學考試）下列命題不正確的是（

）A．零向量是唯一沒有方向的向量B．零向量的長度等于0C．若，都為非零向量，則使成立的條件是與反向共線D．若，，則【答案】A【分析】AB選項，由零向量的定義進行判斷；C選項，根據(jù)共線向量，單位向量和零向量的定義得到C正確；D選項，根據(jù)向量的性質(zhì)得到D正確.【詳解】A選項，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯誤；B選項，由零向量的定義知，零向量的長度為0，故B正確；C選項，因為與都是單位向量，所以只有當與是相反向量，即與是反向共線時才成立，故C正確；D選項，由向量相等的定義知D正確.故選：A3．（2023上·遼寧沈陽·高一東北育才學校校考期末）（多選題）下列命題中正確的是（

）A．單位向量的模都相等B．長度不等且方向相反的兩個向量不一定是共線向量C．方向相同的兩個向量，向量的模越大，則向量越大D．兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同【答案】AD【分析】利用向量的基本概念，判斷各個選項是否正確，從而得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)單位向量的概念可知，單位向量的模都相等且為1，故A正確；根據(jù)共線向量的概念可知，長度不等且方向相反的兩個向量是共線向量，故B錯誤；向量不能夠比較大小，故C錯誤；根據(jù)相等的向量的概念可知，兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同，故D正確.故選：AD.知識點二平面向量的線性運算（1）向量的線性運算運算定義法則（或幾何意義）運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則①交換律②結(jié)合律減法求與的相反向量的和的運算叫做與的差三角形法則數(shù)乘求實數(shù)與向量的積的運算（1）（2）當時，與的方向相同；當時，與的方向相同；當時，（2）共線向量基本定理如果，則；反之，如果且，則一定存在唯一的實數(shù)，使．（口訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘）．題型2：平面向量的線性表示例2．（1）、（2023上·黑龍江·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）如圖，在平行四邊形中，（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則分析求解.【詳解】因為為平行四邊形，所以.故選：B.（2）、（2023上·遼寧沈陽·高二學業(yè)考試）已知四邊形為平行四邊形，與相交于，設，則等于（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的運算法則可得結(jié)果.【詳解】,故選：B.（3）、（2023下·河南省直轄縣級單位·高一河南省濟源第一中學?？茧A段練習）如圖，在中，，P是線段BD上一點，若，則實數(shù)m的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量線性運算得，再利用三點共線的結(jié)論即可得到值.【詳解】∵，∴，又，∴，∵B，P，D三點共線，∴，∴.故選：A.1．（2011上·陜西·高一統(tǒng)考期末）如圖，在正六邊形中，點為其中點，則下列判斷錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)逐項判斷后可得正確的選項.【詳解】對于A，由正六邊形的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形，故，故A正確.對于B，因為，故，故B正確.對于C，由正六邊形的性質(zhì)可得，故，故C正確.對于D，因為交于，故不成立，故D錯誤，故選：D.2．（2023上·重慶·高三重慶八中?？茧A段練習）在中，為邊上的中線，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)，以及向量加減法、數(shù)乘運算的幾何意義，即可得出答案.【詳解】因為，所以由已知可得，，所以，，所以，.故選：A.3．（2023上·河北唐山·高三開灤第一中學?？茧A段練習）已知△ABC中，M為BC邊上一個動點，若，則的最小值為．【答案】16【分析】根據(jù)已知結(jié)合圖形可得出，進而根據(jù)“1”的代換，結(jié)合基本不等式，即可得出答案.【詳解】

由已知可得，共線，所以，，使得，所以有，整理可得，.又，不共線，所以有，則有.顯然，所以，，當且僅當，即時等號成立.所以，的最小值為16.故答案為：16.題型3：平面向量共線的應用例3．（1）、（2023·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習）在中，為上一點，為線段上任一點（不含端點），若，則的最小值是（

）A．8 B．10 C．13 D．16【答案】D【解析】由題意，如下示意圖知：，且，又，所以，故且，故，僅當，即時等號成立.所以的最小值是16.故選：D（2）、（2022上·陜西渭南·高三校考期末）如圖所示，中為重心，過點，，，則．【答案】3【分析】根據(jù)題意，由向量的線性運算可得的表達式，又由向量共線的性質(zhì)設，即，變形整理可得結(jié)論；【詳解】設根據(jù)題意，；，，，三點共線，則存在，使得，即，即，，整理得，所以；故答案為：31．（2023·山西·高三校聯(lián)考階段練習）如圖，在中，D是BC邊中點，CP的延長線與AB交于AN，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設，則，因為N，P，C三點共線，所以，解得，所以，所以.故選：B.2．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預測）在中，是邊上一點，且是上一點，若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得出，由得，因為三點共線，所以，解得.故選：D.知識點三平面向量的基本定理和性質(zhì)（1）平面向量基本定理如果和是同一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于該平面內(nèi)的任一向量，都存在唯一的一對實數(shù)，使得，我們把不共線向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為，叫做向量關(guān)于基底的分解式．注意：由平面向量基本定理可知：只要向量與不共線，平面內(nèi)的任一向量都可以分解成形如的形式，并且這樣的分解是唯一的．叫做，的一個線性組合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量的坐標表示的基礎．推論1：若，則．推論2：若，則．（2）三點共線定理平面內(nèi)三點A，B，C共線的充要條件是：存在實數(shù)，使，其中，為平面內(nèi)一點．此定理在向量問題中經(jīng)常用到，應熟練掌握．A、B、C三點共線存在唯一的實數(shù)，使得；存在唯一的實數(shù)，使得；存在唯一的實數(shù)，使得；存在，使得．題型4：平面向量基本定理及應用例4．（1）、（2023下·河南省直轄縣級單位·高一?？茧A段練習）已知，是不共線的非零向量，則以下向量可以作為基底的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】由零向量與任意向量共線判斷A，根據(jù)判斷B，設，建立方程，根據(jù)方程解的情況判斷C，根據(jù)判斷D.【詳解】對于A：零向量與任意向量均共線，所以此兩個向量不可以作為基底；對于B：因為，，所以，所以此兩個向量不可以作為基底；對于C：設，即，則，所以無解，所以此兩個向量不共線，可以作為一組基底；對于D：設，，所以，所以此兩個向量不可以作為基底；故選：C.（2）、（2023上·江西·高一統(tǒng)考期中）已知，為平面內(nèi)向量的一組基底，，，若，則.【答案】【分析】根據(jù)向量平行的定義，列出關(guān)于的方程，最后求解方程得出答案.【詳解】由得，，解得.故答案為：.（3）、（2023上·黑龍江·高三校聯(lián)考階段練習）設，都是非零向量，下列四個條件中，能使一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)非零向量的方向是否相同分別判斷各個選項即可.【詳解】因為，故同向.對于A:，方向相反,A選項錯誤；對于B:，得出,不能得出方向，B選項錯誤；對于C:,方向向相同,則成立，C選項正確；對于D:,不能確定的方向，D選項錯誤.故選：C．1．（2023·上海·高三專題練習）設是兩個不平行的向量，則下列四組向量中，不能組成平面向量的一個基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【解析】依題意，不共線，A選項，不存在使，所以和可以組成基底.B選項，不存在使，所以和可以組成基底.C選項，，所以和不能構(gòu)成基底.D選項，不存在使，所以和可以組成基底.故選：C2．（2023上·內(nèi)蒙古通遼·高三?？茧A段練習）已知向量不共線，，，，則（

）A．A，B，C三點共線 B．A，C，D三點共線C．A，B，D三點共線 D．B，C，D三點共線【答案】C【分析】根據(jù)向量共線定理進行判斷即可.【詳解】因為不共線，，，，易得互不共線，所以A，B，C三點不共線，B，C，D三點不共線，故AD錯誤；又，易得不共線，則A，C，D三點不共線，故B錯誤；而，所以A，B，D三點共線，故C正確.故選：C.3．（2023·全國·高三專題練習）已知是兩個非零向量，且｜＋｜＝｜｜＋｜｜，則下列說法正確的是

（）A．＋＝ B．＝C．與共線反向 D．存在正實數(shù)λ，使＝λ【答案】D【分析】根據(jù)共線向量的性質(zhì)判斷即可得解.【詳解】因為是兩個非零向量，且｜＋｜＝｜｜＋｜｜，則與共線同向，故D正確.故選：D題型5：平面向量的綜合應用例5．（2023下·四川眉山·高一?？计谥校┮阎还簿€．(1)若，求證：三點共線；(2)若向量與共線，求實數(shù)的值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明，可得三點共線；（2）利用向量共線的條件，設，列方程組求實數(shù)的值．【詳解】（1）證明：，，則有，可得且為公共點，所以三點共線.（2）向量與共線，則存在唯一實數(shù)，使得，可得，即，解得.例6．（2022·高一課前預習）如圖，設O是?ABCD對角線的交點，則(1)與的模相等的向量有多少個？(2)與的模相等，方向相反的向量有哪些？(3)寫出與共線的向量．【答案】(1)三個(2)，(3)，，【分析】（1）（2）（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、共線向量、向量的模的定義判斷即可；【詳解】（1）解：在平行四邊形中，為對角線的交點，所以，且，所以與的模相等的向量有，，三個向量．（2）解：與的模相等且方向相反的向量為，.（3）解：與共線的向量有，，.1．（2022下·陜西西安·高一統(tǒng)考期中）設是不共線的兩個向量．(1)若，求證：三點共線；(2)若與共線，求實數(shù)的值．【答案】(1)證明見解析(2).【分析】（1）要證明三點共線，即證明三點組成的兩個向量共線即可.（2）由共線性質(zhì)求出參數(shù)即可.【詳解】（1）證明:因為，而所以，所以與共線，且有公共點，所以三點共線（2）