福建省漳州市高三畢業(yè)班第二次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

準(zhǔn)考證號(hào)______姓名______（在此試卷上答題無(wú)效）漳州市2024屆高三畢業(yè)班第二次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題本試題卷共4頁(yè)，22題。全卷滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。考生注意：1.答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名?？忌J(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，用0.5mm黑色簽字筆將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回。一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，若，且，則集合可以為（）A. B. C. D.2.若，為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.3.已知向量，向量，向量，若與共線，，則（）A. B.C. D.4.公元656年，唐代李淳風(fēng)注《九章》時(shí)提到祖暅的“開立圓術(shù)”.祖暅在求球的體積時(shí)，使用一個(gè)原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”.“冪”是截面積，“勢(shì)”是立體的高，意思是兩個(gè)同高的立體，如在等高處的截面積相等，則體積相等.更詳細(xì)點(diǎn)說(shuō)就是，界于兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)立體，被任一平行于這兩個(gè)平面的平面所截，如果兩個(gè)截面的面積相等，則這兩個(gè)立體的體積相等.上述原理在中國(guó)被稱為“祖暅原理”.打印技術(shù)發(fā)展至今，已經(jīng)能夠滿足少量個(gè)性化的打印需求，現(xiàn)在用打印技術(shù)打印了一個(gè)“睡美人城堡”.如圖，其在高度為的水平截面的面積可以近似用函數(shù)，擬合，則該“睡美人城堡”的體積約為（）A. B. C. D.5.甲、乙兩名大學(xué)生利用假期時(shí)間參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，可以從，，，四個(gè)社區(qū)中隨機(jī)選擇一個(gè)社區(qū)，設(shè)事件為“甲和乙至少一人選擇了社區(qū)”，事件為“甲和乙選擇的社區(qū)不相同”，則（）A. B. C. D.6.若銳角滿足，則（）A. B. C. D.7.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的公比與的公差均為2，且滿足，，則使得成立的的最大值為（）A.6 B.7 C.8 D.98.已知函數(shù)則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.3 B.5 C.6 D.8二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與交于，兩點(diǎn)，以線段為直徑的與的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)，則（）A.直線的方程為 B.點(diǎn)的坐標(biāo)為C.的周長(zhǎng)為 D.直線與相切10.關(guān)于函數(shù)的圖象與性質(zhì)，下列說(shuō)法正確的是（）A.是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸B.是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心C.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得到函數(shù)的圖象D.當(dāng)時(shí)，11.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且對(duì)，都有，則（）A.是等比數(shù)列 B.C. D.12.在正四棱柱中，，，分別為棱，的中點(diǎn)，過(guò)，，三點(diǎn)作該正四棱柱的截面，則下列判斷正確的是（）A.異面直線與直線所成角的正切值為B.截面為六邊形C.若，截面的周長(zhǎng)為D.若，截面的面積為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知橢圓，，則的離心率為______.（寫出一個(gè)符合題目要求的即可）14.在二項(xiàng)式的展開式中，第三項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為，所有項(xiàng)的系數(shù)和為，則______.15.已知復(fù)數(shù)，滿足，，則的最大值為______.16.已知是定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)，曲線關(guān)于對(duì)稱，且滿足，則______；______.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.（10分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，且為，的等比中項(xiàng).（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：.18.（12分）如圖，在四邊形中，，，且的外接圓半徑為4.（I）若，，求的面積；（II）若，求的最大值.19.（12分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面底面，側(cè)棱和側(cè)棱與底面所成的角均為，，為中點(diǎn)，為側(cè)棱上一點(diǎn)，且平面.（I）請(qǐng)確定點(diǎn)的位置；（II）求平面與平面所成夾角的余弦值.20.（12分）2023年12月11日至12日中央經(jīng)濟(jì)工作會(huì)議在北京舉行，會(huì)議再次強(qiáng)調(diào)要提振新能源汽車消費(fèi).發(fā)展新能源汽車是我國(guó)從“汽車大國(guó)”邁向“汽車強(qiáng)國(guó)”的必由之路.我國(guó)某地一座新能源汽車工廠對(duì)線下的成品車要經(jīng)過(guò)多項(xiàng)檢測(cè)，檢測(cè)合格后方可銷售，其中關(guān)鍵的兩項(xiàng)測(cè)試分別為碰撞測(cè)試和續(xù)航測(cè)試，測(cè)試的結(jié)果只有三種等次：優(yōu)秀、良好、合格，優(yōu)秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，該型號(hào)新能源汽車在碰撞測(cè)試中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為，良好的概率為；在續(xù)航測(cè)試中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為，良好的概率為，兩項(xiàng)測(cè)試相互獨(dú)立，互不影響，該型號(hào)新能源汽車兩項(xiàng)測(cè)試得分之和記為.（I）求該型號(hào)新能源汽車參加兩項(xiàng)測(cè)試僅有一次為合格的概率；（II）求離散型隨機(jī)變量的分布列與期望.21.（12分）已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，.（I）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（II）證明：.22.（12分）已知，我們稱雙曲線與橢圓互為“伴隨曲線”，點(diǎn)為雙曲線和橢圓的下頂點(diǎn).（I）若為橢圓的上頂點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，證明：直線，的交點(diǎn)在雙曲線上；（II）過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的弦長(zhǎng)為，雙曲線的一條漸近線方程為，若為雙曲線的上焦點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)且與雙曲線上支交于，兩點(diǎn)，記的面積為，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），的面積為.（i）求雙曲線的方程；（ii）證明：.漳州市2024屆高三畢業(yè)班第二次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)答案詳解123456789101112BDCDBABBACABCBDAD1.B【命題意圖】本題考查指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式、分式不等式及函數(shù)的定義域與值域、集合的交集運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).【解題思路】因?yàn)椋?，所以集?對(duì)于A選項(xiàng)，，則，所以A選項(xiàng)不合題意；對(duì)于B選項(xiàng)，，則，所以B選項(xiàng)符合題意；對(duì)于C選項(xiàng)，，則，所以C選項(xiàng)不合題意；對(duì)于D選項(xiàng)，不等式等價(jià)于解得，則，所以D選項(xiàng)不合題意，故選B.2.D【命題意圖】本題考查存在量詞命題、命題的真假、三角函數(shù)的值域，考查運(yùn)算求解能力，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).【解題思路】若，為真命題，則.因?yàn)樵谏系淖钚≈禐?，所以，故選D.3.C【命題意圖】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、共線向量、垂直向量，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).【解題思路】因?yàn)榕c共線，所以，解得.又，所以，解得，所以，所以，故選C.4.D【命題意圖】本題考查數(shù)學(xué)文化、空間幾何體的體積，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).【解題思路】根據(jù)祖暅原理，知該“睡美人城堡”的體積與一個(gè)底面圓半徑為9，高為9的圓錐的體積近似相等，所以該“睡美人城堡”的體積約為，故選D.5.B【命題意圖】本題考查古典概型、條件概率，考查運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).【解題思路】甲、乙兩名大學(xué)生從四個(gè)社區(qū)中隨機(jī)選擇一個(gè)社區(qū)的情況共有（種），事件發(fā)生的情況共有（種），事件和事件同時(shí)發(fā)生的情況共有6種，所以，故選B.6.A【命題意圖】本題考查三角恒等變換，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).【解題思路】因?yàn)?，所以，即，解得?又為銳角，所以，則，即，解得，所以，故選A.7.B【命題意圖】本題考查等差、等比數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式與等差數(shù)列的求和公式，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).【解題思路】由題意得，.又，，所以，解得，所以，所以，，所以.若，則.又，則的最大值為7，故選B.8.B【命題意圖】本題考查分段函數(shù)、函數(shù)的零點(diǎn)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).【解題思路】依題意，函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即為方程解的個(gè)數(shù)，作函數(shù)的大致圖象如圖所示，令，則，當(dāng)時(shí)，.令，，易知在上單調(diào)遞增.又，，所以存在，使得；當(dāng)時(shí)，，解得或，又，則，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)的圖象可知，方程有兩個(gè)解；當(dāng)時(shí)，，根據(jù)的圖象可知，方程有兩個(gè)解；當(dāng)，時(shí)，，根據(jù)的圖象可知，方程有一個(gè)解.綜上所述，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5，故選B.9.AC【命題意圖】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).【解題思路】依題意，拋物線的準(zhǔn)線方程為，即，所以，即拋物線的方程為，則拋物線的焦點(diǎn)為.設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立消去整理得恒成立，則則又因?yàn)榫€段為的直徑，與的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)，所以，整理得，即，即，解得，所以直線的方程為，所以A選項(xiàng)正確；因?yàn)榇怪庇跍?zhǔn)線，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，代入直線的方程，可得點(diǎn)，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；根據(jù)拋物線的定義可得，所以的半徑為，所以的周長(zhǎng)為，所以C選項(xiàng)正確；圓心到直線的距離為，所以直線與相交，不相切，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選AC.10.ABC【命題意圖】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).【解題思路】，令，，則，，當(dāng)時(shí)，，所以是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸（另解：因?yàn)?，即?dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，所以是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸），所以A選項(xiàng)正確；令，，則，，當(dāng)時(shí)，，所以是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心（另解：因?yàn)?，所以是函?shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心），所以B選項(xiàng)正確；因?yàn)?，所以將函?shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得到函數(shù)的圖象，即為函數(shù)的圖象，所以C選項(xiàng)正確；，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)?，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選ABC.11.BD【命題意圖】本題考查等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理核心素養(yǎng).【解題思路】因?yàn)?，所以不是等比?shù)列（提示：等比數(shù)列的每一項(xiàng)均不為0），所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；由，得，，，以及，易得，，.又，所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以B選項(xiàng)正確；，當(dāng)時(shí)，，則所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確，故選BD.12.AD【命題意圖】本題考查正四棱柱的結(jié)構(gòu)特征及截面、異面直線所成角，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).【解題思路】不妨設(shè)，則，對(duì)于A選項(xiàng)，如圖1，異面直線與直線所成的角，即為直線與直線所成的角，連接，則即為直線與直線所成的角或其補(bǔ)角.易得，在中，，，所以，所以A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，如圖2，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，，則五邊形即為平面截該四棱柱得到的截面，即截面為五邊形，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，易知，，所以，即.又，所以，所以.又，所以，所以，，所以.在中，.又，所以，，所以，所以截面的周長(zhǎng)為，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以為等腰三角?又，所以，連接，如圖2所示，則，所以.易知，所以，則，同理可得，所以截面的面積為，所以D選項(xiàng)正確，故選AD.圖1 圖213.填，，三者中任何一個(gè)即可【命題意圖】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).【解題思路】當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，可得，解得.又，所以，此時(shí)橢圓的方程為，則橢圓的離心率為；當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，可得，解得.又，所以或，此時(shí)橢圓的方程為或，則橢圓的離心率分別為和，故可以填，，三者中任意一個(gè)即可.14.63【命題意圖】本題考查二項(xiàng)式定理，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).【解題思路】二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)，令，則可得，所以，所以二項(xiàng)式的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和，令，可得所有項(xiàng)的系數(shù)和，則.15.【命題意圖】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算、復(fù)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識(shí)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理核心素養(yǎng).【解題思路】令復(fù)數(shù)，，，則，所以，所以，，即.又因?yàn)椋丛趶?fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓.又點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，所以的最大值為.16.【命題意圖】本題考查抽象函數(shù)的奇偶性、周期性、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).【解題思路】因?yàn)榍€關(guān)于對(duì)稱，所以曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，即函數(shù)為奇函數(shù).又因?yàn)?，所以，，所?因?yàn)?，整理得，令，則函數(shù)為上的可導(dǎo)奇函數(shù)，，且.又，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且12為函數(shù)的一個(gè)周期，所以，則.因?yàn)?，所以，所以，所?又，所以，所以函數(shù)也是以12為周期的周期函數(shù).因?yàn)椋?，所?因?yàn)椋?，即，所?17.【命題意圖】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的性質(zhì)、裂項(xiàng)相消法求和，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).解：（I）因?yàn)?，所以，①?dāng)時(shí)，，②①－②得，化簡(jiǎn)可得，，且當(dāng)時(shí)，滿足上式，由題可得，故，解得，即數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以，.（II）證明：令，所以.又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.18.【命題意圖】本題考查正弦定理及其推廣、三角形面積公式、三角恒等變換，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).解：（I）因?yàn)?，的外接圓半徑為4，所以，解得.在中，，則，解得.又，所以.在中，，，，所以.（II）設(shè)，.又，所以.因?yàn)椋?在中，，由正弦定理得，解得.在中，，由正弦定理得，解得，所以.又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值1，所以的最大值為.19.【命題意圖】本題線面平行的判定定理、平面與平面所成夾角的余弦值，考查推理論證能力、空間想象能力、運(yùn)算求解能力，考查邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).解：（I）取的中點(diǎn)，連接，則，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn).因?yàn)?，且平面，平面，所以平?因?yàn)椋矫?，平面，所以平?又，所以平面平面.又平面，所以平面，所以點(diǎn)的位置為的中點(diǎn).（II）因?yàn)閭?cè)面底面，所以側(cè)棱和側(cè)棱與底面所成的角分別為和，則，所以為等邊三角形，連接，則底面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)椋?，，，，，則，，，.設(shè)平面的法向量為，則即不妨令，則，所以.設(shè)平面的法向量為，則即不妨令，則，所以.設(shè)平面與平面所成夾角為，則，所以平面與平面所成夾角的余弦值為.20.【命題意圖】本題考查互斥事件與相互獨(dú)立事件的概率、離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng).解：（I）記事件為“該型號(hào)新能源汽車參加碰撞測(cè)試的得分為分”，則，，.記事件為“該型號(hào)新能源汽車參加續(xù)航測(cè)試的得分為分”，則，，.記事件為“該型號(hào)新能源汽車參加兩項(xiàng)測(cè)試僅有一次為合格”，則，則該型號(hào)新能源汽車參加兩項(xiàng)測(cè)試僅有一次為合格的概率為.（II）由題知離散型隨機(jī)變量的所有可能取值分別為2，4，6，8，1