四川省彭山一中2020-2021學年高二上學期10月月考數學（理）試卷

彭山一中20202021學年高二上學期10月月考數學試卷（理科）一、選擇題（每題5分，共60分）1.用一個平面去截一個幾何體，得到的截面是三角形面，這個幾何體不可能是()A．棱錐 B．圓錐 C．圓柱 D．正方體2下列說法正確的是()垂直于同一條直線的兩條直線平行 B．垂直于同一條平面的兩條直線平行 C．平行于同一個平面的兩條直線平行 D．平行于同一個直線的兩個平面平行3.已知過點的直線的斜率為,則()A.10 B.180 C. D.4.已知水平放置的按"斜二測畫法"得到如圖所示的直觀圖,其中,那么是一個()A.等邊三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.鈍角三角形5.如圖甲，將一個正三棱柱ABC－DEF截去一個三棱錐A－BCD，得到幾何體BCDEF，如圖乙，則該幾何體的正視圖(主視圖)是()6.在如圖所示的四個正方體中，能得出AB⊥CD的是()7.設是兩條不同的直線,是三個不同的平面,給出下列四個命題:①若,則為異面直線;②若,則;③若,則;④若,則.則上述命題中真命題的序號為()A.①② B.③④ C.②③ D.②④8.直線l經過點A(1,2)，在x軸上的截距的取值范圍是(－3,3)，則其斜率的取值范圍是()A．－1＜k＜eq\f(1,5)B．k＞eq\f(1,2)或k＜－1C．k＞eq\f(1,5)或k＜1 D．k＞1或k＜eq\f(1,2)9.在正三棱柱中,側棱長為,底面三角形的邊長為1,則與側面所成角的大小為()A. B. C. D.10.已知為球的球面上的三個點，圓O1為的外接圓，若圓O1的面積為，，則球的表面積為()A. B. C. D.11.數學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線.已知的頂點，且，則的歐拉線的方程為（）A. B. C. D.12.如圖，在正方體中，點是棱上的一個動點，平面交棱于點．下列說法錯誤的是（）A.存在點，使得平面；B.對于任意的點，平面平面；C.存在點，使得平面；D.對于任意的點，四棱錐的體積均不變．二、填空題（每題5分，共20分）13.已知三點A（2，3）、B（1,2)、C（5，m)共線，則m=________.14已知直線l經過點A.且它的傾斜角是直線的傾斜角的兩倍，則直線l的斜截式方程為．15.如圖所示，扇形的中心角為90°，弦AB將扇形分成兩個部分,這兩部分各以AO為軸旋轉一周，求這兩部分旋轉所得旋轉體體積和之比為__________.16.如圖，矩形中，，為邊的中點，沿將折起，點折至處（平面），若為線段的中點，則在折起過程中，下列說法正確的是。①．始終有平面=2\*GB3②．存在某個位置，使得A1E平面A1DC=3\*GB3③．異面直線與所成角的大小與點A1的位置有關=4\*GB3④．點在某個球面上運動三、解答題.（共70分，寫出必要的解題步驟和文字說明）(10分）如圖，在中，點A（3，0），點C（1，3）．（1）求AB所在直線的方程；（2）過點C做CD⊥AB于點D，求CD所在直線的方程．（12分）如圖,已知圓錐的頂點為,底面圓心為,半輕為.（1）設圓錐的母線長為,求圓錐的體積;（2）設是底面半徑,且,為線段的中點,求異面直線與所成角的余弦值。（12分）已知直線l過點(1,4)，且在x、y軸上的截距依次為a和b,若a與b互為相反數,求直線的l方程;若a>0,b>0,當a+b取得最小值時,求直線l的方程。20.（12分）如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧eq\o\ac(CD,\s\up10(︵))所在平面垂直，M是eq\o\ac(CD,\s\up10(︵))上的點．AB=4，BC=3，∠MDC=30°。①證明：平面AMD⊥平面BMC；②求直線AM與面ABCD所成角的正切值。21.（12分）如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面是邊長為8的正方形，四條側棱長均為2eq\r(17).點G，E，F，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.(1)證明：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四邊形GEFH的面積。（12分）如圖，四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠BAD＝eq\f(π,3)，AB＝1，CD＝3，M為PC上一點，且MC＝2PM.(1)證明：BM∥平面PAD；(2)若AD＝2，PD＝3，求點D到平面PBC的距離。（3）在（2）的條件下，求二面角M—BD—C的正切值。彭山一中高2022屆高二（上）10月月考數學（理科）參考答案一選擇題題號123456789101112答案CBDACACBADBC填空題13.4 14. 15. 16.①④17.(1)y=3x9 (2)x+3y10=018.答案：（1）記圓錐底面半徑為R,聯結,則底面,為圓錐的高,記其長度為h,∴;根據題意,∴在中,;圓錐底面積故圓錐體積

（2）取中點N,并連接根據中位線定理,且(),故異面直線與所成角的大小,即為與所成角的大小又N為中點,故ON=1;而故在等腰中算得:、故在中故異面直線PM與OB所成角的余弦值為19.解：（1）若a=0,b=0，則可設，，此時，若，則可設，從而有，此時，綜上，直線。，當且僅當，由20.①證明：由題設知，平面CMD⊥平面ABCD，交線為CD.因為BC⊥CD，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.因為M為eq\o\ac(CD,\s\up10(︵))上異于C，D的點，且DC為直徑，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.而DM?平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.②過點M作ME⊥CD,垂足為E，連接AE，則由平面CMD⊥平面ABCD，交線為CD知ME⊥平面ABCD，從而直線AM與面ABCD所成角為。由題可知，CM=2，ME=。過點E作EF⊥AB于F點，則AE=在RT中，直線AM與面ABCD所成角的正切值為。21.解(1)證明：因為BC∥平面GEFH，BC?平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.同理可證EF∥BC，因此GH∥EF.(2)如圖，連接AC，BD交于點O，BD交EF于點K，連接OP，GK.因為PA＝PC，O是AC的中點，所以PO⊥AC.同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面內，所以PO⊥底面ABCD.又因為平面GEFH⊥平面ABCD，且PO?平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.因為平面PBD∩平面GEFH＝GK，所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD.從而GK⊥EF.所以GK是梯形GEFH的高．由AB＝8，EB＝2，得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4.從而KB＝eq\f(1,4)DB＝eq\f(1,2)OB，即K為OB的中點．再由PO∥GK，得GK＝eq\f(1,2)PO.即G是PB的中點，且GH＝eq\f(1,2)BC＝4.由已知可得OB＝4eq\r(2)，PO＝eq\r(PB2－OB2)＝eq\r(68－32)＝6，所以GK＝3.故四邊形GEFH的面積S＝eq\f(GH＋EF,2)·GK＝eq\f(4＋8,2)×3＝18.22.答案(1)證明：如上圖，過點M作ME∥CD，交PD于點E，連接AE.因為AB∥CD，故AB∥EM.又因為MC＝2PM，CD＝3，且△PEM∽△PDC，故eq\f(EM,DC)＝eq\f(PM,PC)＝eq\f(1,3)，解得EM＝1.由已知AB＝1，得EM綊AB，故四邊形ABME為平行四邊形，因此BM∥AE，又AE?平面PAD，BM?平面PAD，所以BM∥平面PAD.(2)連接BD，由已知AD＝2，AB＝1，∠BAD＝eq\f(π,3)，可得DB2＝AD2＋AB2－2AD·AB·cos∠BAD＝3，即DB＝eq\r(3).因為DB2＋AB2＝AD2，故△ABD為直角三角形，且∠ABD＝eq\f(π,2).因為AB∥CD，故∠BDC＝∠ABD＝eq\f(π,2).因為DC＝3，故BC＝eq\r(DC2＋DB2)＝2eq\r(3).由PD⊥底面ABCD，得PD⊥DB，PD⊥DC，故PB＝eq\r(PD2＋DB2)＝2eq\r(3)，PC＝eq\r(PD2＋DC2)＝3eq\r(2)，則BC＝PB，故△PBC為等腰三角形，其面積為S△PBC＝eq\f(1,2)·PC·eq\r(BC2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)PC))2)＝eq\f(1,2)×3eq\r(2)×eq\r(12－\f(9,2))＝eq\f(3\r(15),2).設點D到平面PBC的距離為h，則三V三棱錐D－PBC＝eq\f(1,3)·S△PBC·h＝eq\f(\r(15),2)h.而直角三角形BDC的面積為S△BDC＝eq\f(1,2)·DC·DB＝eq\f(1,2)×3×eq\r(3)＝eq\f(3\r