福建省福州市平潭第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月月考數(shù)學(xué)試題

平潭第一中學(xué)20232024學(xué)年（上）高一1月月考數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題（每小題4分，共40分）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡集合即得解.【詳解】由題得，所以.故選：B2.已知點在第三象限，則角的終邊位置在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】由所在的象限有，即可判斷所在的象限.【詳解】因為點在第三象限，所以，由，可得角的終邊在第二、四象限，由，可得角的終邊在第二、三象限或軸非正半軸上，所以角終邊位置在第二象限，故選：B.3.已知（且，且），則函數(shù)與的圖像可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由對數(shù)的運算性質(zhì)可得ab＝1，討論a，b的范圍，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖像的單調(diào)性，即可得到答案．【詳解】，即為，即有ab＝1；當(dāng)a＞1時，0＜b＜1，函數(shù)與均為減函數(shù)，四個圖像均不滿足，當(dāng)0＜a＜1時，b＞1，函數(shù)數(shù)與均為增函數(shù)，排除ACD，在同一坐標(biāo)系中的圖像只能是B，故選：B．4.已知，則等于（）A. B.2 C.0 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)齊次式問題分析求解.【詳解】因為，所以.故選：D.5.某工廠設(shè)計了一款純凈水提煉裝置，該裝置可去除自來水中的雜質(zhì)并提煉出可直接飲用的純凈水，假設(shè)該裝置每次提煉能夠減少水中50%的雜質(zhì)，要使水中的雜質(zhì)不超過原來的4%，則至少需要提煉的次數(shù)為（）（參考數(shù)據(jù)：?。〢.5 B.6 C.7 D.8【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意列出相應(yīng)的不等式，利用對數(shù)值計算可得答案.【詳解】設(shè)經(jīng)過次提煉后，水中的雜質(zhì)不超過原來的4%，由題意得，得，所以至少需要5次提煉，故選：A.6.若“，使成立”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先將條件轉(zhuǎn)化為，使成立，再參變分離構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值問題，求導(dǎo)確定最值即可求解.【詳解】若“，使成立”是假命題，則“，使成立”是真命題，即，；令，則，則在上單增，，則.故選：C.7.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出函數(shù)的定義域，由單調(diào)性求出a的范圍，再由函數(shù)在上有意義，列式計算作答.【詳解】函數(shù)，因為在上遞增，則在上遞減，所以得，解得，由，有意義得：，解得，因此，，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：C.8.已知為R上的奇函數(shù)，滿足，且當(dāng)時，，則（）.A.4 B.－3 C.－4 D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)得到的周期，然后結(jié)合奇偶性求函數(shù)值即可.【詳解】由，得，所以8是一個周期，又為奇函數(shù)，所以.故選：C.二、多選題（每小題5分，共20分）9.下列大小關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小.【詳解】A選項：由指數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，可得成立，所以選項正確；B選項：由冪函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，可得成立，所以B選項正確；C選項：由對數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，則，所以C選項不正確；D選項：由函數(shù)與均為單調(diào)遞增函數(shù)，則，而，所以D選項正確.故選：ABD.10.下列說法中正確的有（）A.函數(shù)的圖象過定點B.函數(shù)與函數(shù)表示同一個函數(shù)C.若，則D.“”是“關(guān)于的方程有一正一負(fù)根”的充要條件【答案】ACD【解析】【分析】對于A：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析求解；對于B：根據(jù)函數(shù)相等分析判斷；對于C：根據(jù)與之間的平方關(guān)系分析求解；對于D：根據(jù)二次方程根的分布結(jié)合充要條件分析判斷.【詳解】對于選項A：令，即時，，故圖象過定點，故A正確；對于選項B：的定義域為，的定義域為，兩函數(shù)定義域不同，故不是同一函數(shù)，故B錯誤；對于選項C：因為，則，可知，由，所以，故C正確；對于選項：若關(guān)于的方程有一正一負(fù)根，等價于，等價于，所以“”是“關(guān)于的方程有一正一負(fù)根”的充要條件，故D正確.故選：ACD.11.給出下列四個結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（）A.如果是第一象限的角，且，則B.若圓心角為的扇形的弦長為，則該扇形弧長為C若，則D.若，則【答案】CD【解析】【分析】對于A：舉例說明即可；對于B：根據(jù)扇形的相關(guān)公式運算求解；對于C：利用誘導(dǎo)公式分析求解；對于D：根據(jù)同角三角關(guān)系分析求解.【詳解】對于選項A：令，顯然是第一象限的角，且，但，故A錯誤；對于選項：設(shè)圓心角為的扇形所在圓半徑為，由題意可得：，扇形弧長，故B錯誤；對于選項C：若，則，故C正確；對于選項D：將，兩邊平方可得，所以或，若，則，此時；若，則，此時，綜上所述：，故D正確.故選：CD.12.已知函數(shù)，方程有4個不同的實數(shù)根，則下列選項正確的為（）A.函數(shù)的零點的個數(shù)為2B.實數(shù)的取值范圍為C.函數(shù)無最值D.函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)圖像可以判斷ABD，而選項C，結(jié)合分段函數(shù)的圖像性質(zhì)，分析得到兩個不等的實根，最后根據(jù)二次方程根的分布求出參數(shù)的取值范圍即可.【詳解】因為函數(shù)，可得函數(shù)圖像如圖：由圖知函數(shù)有2個零點，故A選項正確；函數(shù)沒有最值，故C選項正確；函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故D選項錯誤；由于方程有4個不同的實數(shù)根，令則有4個不同的實數(shù)根，因為恒成立，設(shè)兩個不等實根為，由韋達(dá)定理知：，則異號，由圖可知：，所以，解得，故B選項正確；故選：ABC【點睛】(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．(2)當(dāng)給出函數(shù)值求自變量的值時，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍．三、填空題（每小題5分，共20分）13.函數(shù)的定義域是________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)可得，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象解不等式即可求解.【詳解】由得，作出的圖象和直線，由圖象可知的解集為，故答案為：.14.表示不超過的最大整數(shù)，例如，．已知是方程的根，則_______．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)零點的存在性定理求得的范圍，再根據(jù)的定義即可得出答案.【詳解】解：設(shè)，，因為函數(shù)在都是增函數(shù)，所以函數(shù)單調(diào)遞增，又是方程的根，所以只有一個根，，所以，所以.故答案為：4.15.已知角θ的終邊上有一點P(x,3)(x≠0)，且，則sinθ＋tanθ的值為________．【答案】或【解析】【分析】由余弦函數(shù)的定義求出，再由正弦函數(shù)、正切函數(shù)定義計算結(jié)果.【詳解】因為，，所以，因為，所以，，又y＝3＞0，所以θ是第一或第二象限角．當(dāng)θ為第一象限角時，sinθ＝，tanθ＝3，則sinθ＋tanθ＝.當(dāng)θ為第二象限角時，sinθ＝，tanθ＝－3，則sinθ＋tanθ＝.故答案為：或.【點睛】該題考查三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題目，在已知一個三角函數(shù)值求點的坐標(biāo)是，注意解可能多于一個.16.函數(shù)在上是減函數(shù)，則取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)在上單調(diào)遞減，可得求解.【詳解】根據(jù)在上單調(diào)遞減，則成立，解得，所以，則，又，所以，所以的取值范圍為.故答案為：.四、解答題（除第17小題外，每題12分，共70分）17.已知函數(shù)的定義域為.（1）求實數(shù)的取值集合；（2）設(shè)為非空集合，若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題意可知，在上恒成立，再對參數(shù)進(jìn)行分類討論，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出結(jié)果；（2）由命題的關(guān)系與集合間的包含關(guān)系得：是的必要不充分條件，所以，由此列出關(guān)系式，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）可知，在上恒成立，當(dāng)時，，成立；當(dāng)時，，解得；綜上所述，.所以集合（2）因為，是的必要不充分條件.所以，故,解得所以，實數(shù)的取值范圍是.18.已知（1）化簡并求的值；（2）若且，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）直接由誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)表達(dá)式并代入求值即可.（2）由題意首先得到，再結(jié)合平方關(guān)系算出，結(jié)合進(jìn)一步縮小的范圍，再結(jié)合平方關(guān)系即可求出，由平方差公式即可求解.【小問1詳解】因為,所以.【小問2詳解】因為，所以，所以，兩邊平方，得，所以，，即，因為，所以，所以，所以，結(jié)合.19.已知函數(shù)（a>0且a≠1）的圖象過點.（1）求a的值及的定義域；（2）求在上的最小值.【答案】（1），定義域（2）【解析】【小問1詳解】的圖象過點，可得：解得：則有：定義域滿足：解得：故的定義域為【小問2詳解】因為令，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知t在時為遞減函數(shù)，故當(dāng)x=3時，可得：20.學(xué)校鼓勵學(xué)生課余時間積極參加體育鍛煉，每天能用于鍛煉的課余時間有90分鐘，現(xiàn)需要制定一個課余鍛煉考核評分制度，建立一個每天得分與當(dāng)天鍛煉時間（單位：分）的函數(shù)關(guān)系，要求及圖示如下：（1）函數(shù)是區(qū)間上的增函數(shù)；（2）每天運動時間為0分鐘時，當(dāng)天得分為0分；（3）每天運動時間為30分鐘時，當(dāng)天得分為3分；（4）每天最多得分不超過6分.現(xiàn)有三個函數(shù)模型①，②，③供選擇.（1）請你從中選擇一個合適的函數(shù)模型并說明理由，再根據(jù)所給信息求出函數(shù)的解析式；（2）求每天得分不少于4.5分，至少需要鍛煉多少分鐘.（注：，結(jié)果保留整數(shù)）【答案】（1）模型③，理由見解析，（2）55分鐘【解析】【分析】（1）根據(jù)圖像和函數(shù)性質(zhì)選擇模型，再將（0，0），（30，3）代入求解系數(shù)即可.（2）將代入解析式即可.【小問1詳解】第一步：分析題中每個模型的特點對于模型一，當(dāng)時，勻速增長；對于模型二，當(dāng)時，先慢后快增長；對于模型三，當(dāng)時，先快后慢增長.第二步：根據(jù)題中材料和題圖選擇合適的函數(shù)模型從題圖看應(yīng)選擇先快后慢增長的函數(shù)模型，故選.第三步：把題圖中的兩點代入選好的模型中，得到函數(shù)解析式將（0，0），（30，3）代入解析式得到，即，解得，即.第四步：驗證模型是否合適當(dāng)時，，滿足每天得分最高不超過6分的條件.所以函數(shù)的解析式為.【小問2詳解】由，得，得，得，所以每天得分不少于4.5分，至少需要運動55分鐘.21.已知函數(shù)（1）若關(guān)于x的不等式的解集為，求a，的值；（2）已知，當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)不等式的解集得到方程的兩根為，結(jié)合韋達(dá)定理求出答案；（2）令，轉(zhuǎn)化為，根據(jù)單調(diào)性求出的最小值為，得到答案.【小問1詳解】∵不等式的解集為，則方程的根為，且，∴，解得故；【小問2詳解】，故，令，故，則，∵的開口向上，對稱軸為，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在處取得最小值，最小值為，∴，又，解得，故實數(shù)a的取值范圍為.22.我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．已知．（1）利用上述結(jié)論，證明：的圖象關(guān)于成中心對稱圖形；（2）判斷的單調(diào)性（無需證明），并解關(guān)于x的不等式．【答案】（1）證明見解析（2）為單調(diào)遞減函數(shù)，不等式的解