靜力學課程知識點梳理匯總

靜力學第一章靜力學基本概念與物體受力分析1.1基本要求掌握剛體、平衡、力和力系等靜力學基本概念；熟悉工程中常見的幾類典型約束及約束力的特征；熟練進行物體或物體系統(tǒng)的受力分析，并正確繪制物體或物體系統(tǒng)的受力圖。1.2內(nèi)容概要1.2.1剛體剛體是指在力的作用下不變形的物體，即剛體內(nèi)部任意兩點之間的距離保持不變。這是一個理想化的模型。在實際問題中，任何物體在力的作用下或多或少都會發(fā)生變形。當物體變形不大或變形對所研究的問題沒有實質影響，則可將物體抽象為剛體。在靜力學中主要以剛體為研究對象，因此靜力學也稱為剛體靜力學。1.2.2平衡平衡是指物體相對于慣性參考系靜止或作勻速直線運動。在工程技術問題中，常將固連于地球上的參考系看作慣性參考系。1.2.3力和力系圖1-1力是物體間相互的機械作用。力對物體的作用產(chǎn)生兩種效應：一是使物體的機械運動狀態(tài)發(fā)生改變，例如改變物體運動速度的大小或方向，這種效應稱為力的外效應（或稱為力的運動效應）；另一是使物體的幾何形狀發(fā)生改變，例如使彈簧伸長或縮短，這種效應稱為力的內(nèi)效應（或稱為力的變形效應）。圖1-1力對物體的作用效應取決于力的三要素：力的大小、力的方向和力的作用點。力是一個矢量，用一帶箭頭的線段表示，如圖1-1所示。線段的長度AB按一定比例表示力的大小，線段的方位和箭頭的指向（由A指向B）表示力的方向，線段的始端A表示力的作用點。在國際單位制（SI制）中，以“牛頓”作為力的單位，用N表示。力系是作用在物體上的一群力。一個作用于物體并使其保持平衡的力系稱為平衡力系。如果兩個力系分別作用在同一物體上并產(chǎn)生相同的作用效應，則這兩個力系稱為等效力系。如果一個力和一個力系等效，則稱這個力是該力系的合力，而力系中的各個力稱為合力的分力。用一個簡單力系等效代替一個較為復雜的力系的過程稱為力系的簡化。按照力系中各個力的作用線在空間的分布情況，可將力系進行分類。即空間匯交力系空間平行力系空間任意力系空間匯交力系空間平行力系空間任意力系空間力系平面匯交力系平面平行力系平面任意力系平面力系空間力系：力系中各個力的作用線不在同一平面內(nèi)，則該力系稱為空間力系。平面力系：力系中各個力的作用線在同一平面內(nèi)，則該力系稱為平面力系。平行力系：力系中各個力的作用線相互平行，則該力系為平行力系。匯交力系：力系中各個力的作用線匯交于一點，則稱為匯交力系。任意力系：力系中各個力的作用線任意分布，則該力系為任意力系。1.2.4約束和約束力在空間可以自由運動，其位移不受到任何限制的物體稱為自由體，如空中飛行的飛機、火箭等。工程中的大多數(shù)物體，其在某些方向的位移往往受到限制作用，這樣的物體稱為非自由體，如在鋼軌上行駛的火車、安裝在軸承中的轉軸等，都是非自由體。對非自由體的某些方向的位移起限制作用的周圍物體稱為約束，如鋼軌是火車的約束，軸承是轉軸的約束。約束對被約束體的作用實質上是一種力，這種力稱為約束反力或約束力。約束力的方向總是與該約束所限制的非自由體的位移方向相反。約束力以外的其他力稱為主動力，如重力等。約束力的大小通常不能事先確定，需要根據(jù)平衡條件或其他物理規(guī)律確定，而主動力的大小一般都是已知的。工程中常見的幾種典型約束及其約束力如下：1、柔索由繩索、鏈條、皮帶、鋼絲繩等所構成的約束稱為柔索。柔索只能限制物體沿柔索伸長方向上的位移。所以柔索的約束力作用在柔索與物體的接觸點，作用線沿著柔索，指向背離物體，即為拉力。如圖1-2所示。圖1-2圖1-22、光滑支承面物體和約束的接觸面比較光滑，摩擦可以忽略不計時，可稱之為光滑支承面。這類約束不能阻止物體沿接觸處切面任何方向的位移，而只限制物體沿接觸點處的公法線而指向約束方向的位移。光滑支承面的約束力必然通過接觸點，方向沿接觸面在該點的公法線，指向被約束體。如圖1-3所示。圖1-3圖1-33、光滑圓柱鉸鏈物體與固定在地基或機架上的支座有相同直徑的孔，用一圓柱銷釘聯(lián)結起來，這種構造稱為固定鉸鏈支座，簡稱為固定鉸支，約束簡圖如圖1-4（a）所示。固定鉸支只限制物體垂直銷釘軸方向的任何位移，其約束力作用線必然通過銷釘中心并垂直銷釘?shù)妮S線，用一對相互垂直的分力和表示。圖1-4圖1-4如果兩個有孔物體用銷釘聯(lián)結，這種約束稱為連接鉸鏈（中間鉸），約束簡圖如圖1-4（b）所示。在這種情況下，其中一個物體是另一個物體的約束，連接鉸鏈（中間鉸）約束對所研究物體的約束力也是用一對相互垂直的分力和表示。圖1-5工程中常見到各種類型的軸承，它們是轉軸的約束，如滑動軸承或徑向軸承等。這些軸承只允許轉軸轉動，限制與軸承垂直方向的位移，約束簡圖如圖1-4（c）所示。軸承約束力的特點與光滑圓柱鉸鏈相同，約束力仍用一對相互垂直的分力和表示。圖1-54、活動鉸鏈支座在固定鉸鏈支座和光滑支承面之間安裝一排滾輪，這種約束稱為活動鉸鏈支座，約束簡圖如圖1-5所示?；顒鱼q鏈支座只限制沿支承面法線方向的位移，約束力的作用線沿支承面的法線，通過鉸鏈中心指向或背離物體。5、光滑球鉸鏈圖1-6物體的一端為球形，能在固定的球窩內(nèi)轉動，這種空間類型的約束稱為光滑球鉸鏈，簡稱球鉸，約束簡圖如圖1-6所示。球鉸限制物體任何方向的位移，其約束力的作用線通過球心并可指向任意方向，通常用過球心的三個互相垂直的分力、和表示。圖1-6圖1-7圖1-7止推軸承也是工程中常見的一種約束，其約束簡圖如圖1-7所示。止推軸承不僅限制轉軸在垂直軸線方向（徑向）的位移，還限制軸向的位移。其約束反力也用三個互相垂直的分力、和表示。6、二力構件二力構件指在兩端用鉸鏈聯(lián)結的剛性支承，如圖1-8（a）中的AB桿，1-9圖（a）中的CD桿。當構件自重忽略時，構件僅在鉸鏈處受到兩個力作用而處于平衡，這類構件稱為二力構件，簡稱為二力桿。作用在二力構件兩端的約束力的作用線必定通過兩鉸鏈的中心，如1-8（b）圖中的和的作用線通過A，B兩點，其方向可以指向物體，也可以背離物體。圖1-9（a）中的CD桿雖然是曲桿，但作用在物體上的約束力的作用線仍然通過兩鉸鏈中心。圖1-8圖1-8圖1-9圖1-91.2.5受力分析和受力圖確定物體或物體系統(tǒng)受到哪些力，每個力的作用線位置和作用方向，稱為受力分析。將所需研究的物體或物體系統(tǒng)從周圍的物體中分離出來，單獨畫出它的簡圖，這個步驟稱為取分離體或取研究對象。在研究對象上畫出它所受到的全部作用力（包括主動力和約束反力），這樣的圖形稱為研究對象的受力圖。對研究對象進行受力分析和繪制受力圖是本章的重點和難點。正確地對研究對象進行受力分析和繪制受力圖，是分析和解決力學問題的前提和關鍵，而根據(jù)約束性質正確畫出約束反力的方向是畫好受力圖的關鍵。繪制受力圖的一般步驟為：（1）根據(jù)所研究的問題確定研究對象，取分離體?？梢匀蝹€物體作為研究對象，也可以取由多個物體組成的系統(tǒng)為研究對象；（2）在研究對象上畫出全部的主動力（一般為已知力）；（3）根據(jù)約束的類型，在解除約束的地方正確畫出約束反力。1.3自學要點1、靜力學的研究對象是在力的作用下處于平衡的剛體或剛體系統(tǒng)，因此學習時要掌握剛體、平衡、力等基本概念。2、熟悉工程中常見約束的特點、約束簡圖的畫法以及各種約束的約束反力的特征及表示方法。這是本章的一個重點。3、對物體或物體系統(tǒng)進行受力分析和繪制受力圖是本章的一個難點。在畫受力圖時，研究對象上的力都是其它物體作用在其上的，關鍵在于正確分析約束反力，在畫約束力時應嚴格按照約束的結構和特點來表示。在畫受力圖時，要注意以下幾點：（1）不要漏畫力除重力、電磁力外，物體之間只有通過接觸才有相互機械作用力，要分清研究對象（受力體）都與周圍哪些物體（施力體）相接觸，接觸處必有約束力，力的方向由約束類型而定。（2）不要多畫力力是物體之間的相互機械作用，因此對于研究對象所受的每一個力，都應能明確地指出是由哪個施力體施加的。（3）不要畫錯力約束反力的方向必須嚴格地按照約束的類型來畫，不能單憑直觀或根據(jù)主動力的方向來簡單推想。在分析兩物體之間的作用力和反作用力時，要注意，作用力的方向一旦確定，反作用力的方向一定要與之相反，不要把箭頭方向畫錯。（4）在對物體系統(tǒng)進行受力分析時，要分清內(nèi)力和外力。內(nèi)力是指物體系統(tǒng)內(nèi)物體間的相互作用力；外力是指物體系統(tǒng)外的其它物體作用在物體系統(tǒng)內(nèi)的物體上的力。在受力圖上只畫外力，不畫內(nèi)力。（5）要正確判斷二力桿。（6）同一系統(tǒng)中各個研究對象的受力圖應保證整體和局部的一致性。對于某處約束力的符號、方向一旦確定，在整體、局部或單個物體的受力圖上都要與之保持一致。第二章匯交力系2.1基本要求掌握匯交力系的合成方法；熟悉匯交力系的平衡條件和平衡方程；熟練應用匯交力系的平衡方程求解剛體和剛體系的平衡問題。2.2內(nèi)容概要2.2.1二力平衡原理剛體在二力作用下保持平衡的充分必要條件是：這兩個力的大小相等，方向相反，且作用在同一直線上。2.2.2增減平衡力系原理在剛體上增加或減去一組平衡力系，不會改變原力系對剛體的作用效應。圖2-12.2.3力的可傳性圖2-1作用在剛體上某點的力，可以沿著它的作用線移到剛體內(nèi)任意一點，并不會改變該力對剛體的作用效應。如圖2-1所示。因此，作用在剛體上的力的三要素是力的大小、方向和作用線。作用在剛體上的力是滑動矢量。2.2.4力的平行四邊形法則和力的三角形法則圖2-2（a）（b）作用在物體上同一點上的兩個力，可以合成為一個合力。合力的作用點也在該點，合力的大小和方向，由這兩個力為邊構成的平行四邊形的對角線確定?；蛘哒f，合力矢等于這兩個分力矢的矢量和。如圖2-2（a）所示。也可直接從匯交點A出發(fā)，如圖2-2（b）所示，先作矢量，再由的箭尾B作矢量，則由A點到C點的矢量即為力和的合力矢。其中三角形ABC稱為力三角形，應用力三角形求合力的方法稱為力的三角形法則。圖2-2（a）（b）2.2.5力的投影1、力在軸上的投影圖2-3力在軸上的投影是一個代數(shù)量。其大小等于力的始端和末端在該軸上的垂足間的線段長度；當從力的始端垂足到末端垂足的指向與該軸的正方向一致時，投影為正；反之為負。如圖2-3所示。圖（a）中力在x軸的投影為正，圖（b）中力在x軸的投影為負。則投影可寫為圖2-3（2-1）其中，為力的大小，恒取正值；為力與x軸正向夾角。當力與x軸的正向夾角為圖2-4銳角時，投影為正；為鈍角時，投影為負；為直角時，投影等于零。圖2-42、力在平面上的投影力在平面上的投影是一個矢量，它是由力的始端和末端在平面上的垂足所構成的矢量表示，如圖2-4所示。的大小為：圖2-5圖2-53、力在直角坐標軸上的投影（1）直接投影法力在直角坐標的各軸上的投影分別用符號，和表示。若力與各軸正向的夾角分別為，如圖2-5所示。則有（2-2）圖2-6（2）間接投影法（二次投影法）圖2-6若力與坐標軸軸的夾角為，如圖2-6所示。則力在平面上的投影為，其大小為再將投影矢量分別投影到軸和軸上，有而力在軸上的投影為2.2.6匯交力系合成的幾何法設剛體上作用一空間匯交力系（，，…，），各力作用線匯交于A點，則可將力系中各力沿其作用線移至匯交點A，成為具有共同作用點的共點力系，如圖2-7所示。圖2-8圖2-7圖2-8圖2-7利用力的平行四邊形法則，逐步兩兩合成各力，最終求得一個通過匯交點A的合力。還可用更簡便的方法求此合力的大小和方向。任取一點a將各個力的矢量依次首尾相連，由此組成一個不封閉的力多邊形abcd，如圖2-8（b）所示。此圖中的虛線矢（）為力和的合力矢，在作力多邊形時不必畫出。這樣由不封閉的多邊形始點指向終點的封閉邊即為合力矢，如圖2-8（c）所示。合力的作用點仍在力系的公共作用點上。2.2.7匯交力系合成的解析法圖2-91、力的解析表達式圖2-9力沿直角坐標的軸可進行正交分解，得到三個分力，和，如圖2-9所示，即。其中三個分力，和和力在軸上的投影有如下關系，，式中為軸的單位矢量。因此力可表示為（2-3）2、匯交力系合成的解析法合矢量投影定理：合矢量在某一軸上的投影等于各分矢量在同一軸上投影的代數(shù)和。（1）空間匯交力系合成空間匯交力系合成為一個合力，合力等于各分力的矢量和，合力的作用線通過匯交點。合力矢為（2-4）或（2-5）其中（2-6），，為合力沿軸的投影。因此合力的大小和方向余弦分別為（2-7）（2）平面匯交力系的合成當平面匯交力系位于平面內(nèi)，則合力的大小和合力與軸夾角的余弦分別為（2-8）2.2.8匯交力系的平衡條件1、三力平衡匯交定理當剛體在同一平面內(nèi)作用線互不平行的三個力作用下處于平衡時，這三個力的作用線必匯交于一點。圖2-102、匯交力系平衡的充要條件圖2-10匯交力系平衡的必要充分條件是力系的合力等于零。3、匯交力系平衡的幾何條件匯交力系平衡的幾何條件是力多邊形自行封閉。如圖2-10所示，剛體在四個力（，，，）作用下處于平衡，則由這四個力組成的力多邊形自行封閉。4、匯交力系平衡的解析條件匯交力系平衡的解析條件是力系中各力在三個坐標軸上投影的代數(shù)和分別等于零。即（2-9）式（2-9）稱為空間匯交力系的平衡方程。三個方程是獨立的，可以求解三個未知量。對于平面匯交力系，若取平面為力系所在平面，則其平衡方程為（2-10）式（2-10）稱為平面匯交力系的平衡方程。兩個方程是獨立的，可以求解兩個未知量。2.3自學要點1、熟悉二力平衡原理、增減平衡力系原理、力的平行四邊形法則及三力平衡匯交定理。強調地是力的可傳性僅適用于剛體，也就是說力只有在剛體內(nèi)才能夠沿著作用線移動。2、熟練計算力在坐標軸上的投影，重點討論平面力在軸上的投影計算。力在軸上的投影是一個代數(shù)量，一定要正確判斷其正負號。3、匯交力系的合成結果為一個合力矢，合力矢等于力系中各分力矢的矢量和，合力的作用線通過力系的匯交點。匯交力系的合成方法分為幾何法和解析法，了解幾何法的基本理論和方法即可，重點掌握匯交力系合成的解析法。4、能夠靈活運用匯交力系的平衡方程求解剛體的平衡問題。對于空間匯交力系的平衡問題來說，提供的獨立平衡方程有三個，即式（2-9），可求解三個未知量。重點討論平面匯交力系的平衡問題，要注意的是平面匯交力系的獨立平衡方程有兩個，即式（2-10），可求解兩個未知量。5、用解析法求解匯交力系平衡問題的解題步驟：（1）選取研究對象；（2）對研究對象進行受力分析，并繪制受力圖。按照二力平衡原理、三力平衡匯交原理和力的可傳性將所有力匯交于匯交點處。未知約束力的指向根據(jù)約束性質確定，特別注意的是對于柔索約束、光滑支承面約束來說，約束力的方向是唯一的；而對于固定鉸支、活動鉸支、中間鉸、二力構件等約束的約束力方向可事先假定。（3）選取適當?shù)耐队拜S，建立平衡方程。為使計算簡化，坐標軸應盡可能與某個未知力垂直，使每一個平衡方程中只出現(xiàn)一個未知量，避免解聯(lián)立方程。（4）在列寫平衡方程時，要正確計算各力在軸上的投影，特別要注意其正負號。求解平衡方程后，若有負值出現(xiàn)，則表示所假定的力的方向和實際方向相反；若為正值，則表示假定的力的方向和實際方向相同。第三章力偶系3.1基本要求掌握力偶的概念及其對剛體的作用效應；熟悉力偶系的合成；熟練應用力偶系的平衡條件及平衡方程求解力偶系的平衡問題。3.2內(nèi)容概要3.2.1力偶和力偶系的概念圖3-1作用在剛體上大小相等、方向相反且作用線相互平行的一對力所組成的簡單、基本力系稱為力偶。力偶不是平衡力系，力偶對剛體只產(chǎn)生轉動效應。如圖3-1所示，力偶的兩個力和所在的平面稱為力偶作用面，二力的作用線之間的距離稱為力偶臂。圖3-1力偶系是指作用在剛體上的一群力偶。3.2.2力對點之矩矢1、平面中力對點之矩圖3-2平面力對平面內(nèi)一點（稱為矩心）之矩是度量剛體繞點的轉動效應，是一個代數(shù)量。它的絕對值等于力的大小與力臂（點到力的作用線的距離稱為力臂）的乘積，它的正負可按下法確定：力使剛體繞矩心逆時針轉動為正，反之為負。如圖3-2所示。圖3-2（3-1）圖3-32、力對點之矩矢圖3-3在空間情況下，力對點之矩是一個矢量，稱為力對點之矩矢。力對剛體產(chǎn)生的繞點的轉動效應用力對點之矩矢來描述，其矢積表達式為（3-2）圖3-4其中為從矩心到力的作用點的矢徑，如圖3-3所示。圖3-4若以矩心為原點，建立空間直角坐標系，如圖3-4所示。設力的作用點的坐標為（），力在三個坐標軸的投影為，坐標軸的單位矢量分別為。則，。于是力對點之矩矢的解析表達式為（3-3）3、合力矩定理合力對任一點之矩矢等于各分力對同一點之矩矢的矢量和。即（3-4）對于平面力系（，，…，）來說，合力矩定理可描述為：合力對平面內(nèi)任一點之矩等于各分力對同一點之矩的代數(shù)和。即（3-5）3.2.3力對軸之矩1、力對軸之矩力對軸之矩是力使剛體繞該軸轉動效應的度量，是一個代數(shù)量。其絕對值等于該力在垂直于該軸的平面上的投影對這個平面與該軸的交點的矩，正負號按右手螺旋法則確定，即拇指指向與軸的正方向一致為正，反之為負。當力的作用線通過該軸或與它平行時，此力對該軸之矩等于零。力對空間直角坐標系的坐標軸之矩的解析表達式為（3-6）其中（）為力的作用點在空間坐標系上的坐標，（）為力在三個坐標軸的投影。2、力對點之矩和力對軸之矩的關系力對點之矩在通過該點之軸上的投影，等于力對該軸之矩。（3-7）3.2.4力偶矩矢圖3-5力偶對剛體只產(chǎn)生轉動效應，用力偶矩矢來描述，如圖3-5所示。力偶矩矢是力偶對剛體繞任一點轉動效應的度量，與點的位置無關。力偶矩矢是一個自由矢量。表示為圖3-5（3-8）其中是力偶矩矢在空間直角坐標系的三個坐標軸上的投影。平面力偶對剛體的轉動效應用力偶矩來度量，力偶矩是一個代數(shù)量。當力偶使剛體在作用面內(nèi)逆時針轉動時，力偶矩取正值，反之取負值。即（3-9）3.2.5力偶的等效條件和性質兩個力偶的等效條件是它們的力偶矩矢相等。力偶的性質：（1）力偶不能與一個力等效，也不能與一個力平衡；（2）力偶可以在其作用面內(nèi)任意移轉，或移到另一個平行平面內(nèi)，而不改變對剛體的作用效應；（3）保持力偶轉向和力偶矩的大?。戳土ε急鄣某朔e）不變，力偶中的力和力偶臂的大小可以改變，而不會改變對剛體的作用效應。3.2.6力偶系的合成力偶系合成的結果得到一個合力偶，合力偶的力偶矩矢等于力偶系中各力偶的力偶矩矢的矢量和，即（3-10）平面力偶系合成為一個合力偶，合力偶矩等于力偶系中各力偶矩的代數(shù)和，即（3-11）3.2.7力偶系的平衡條件力偶系作用下剛體平衡的必要充分條件是合力偶矩矢等于零，即力偶系中各力偶的力偶矩矢的矢量和等于零。表示為（3-12）解析表達式為（3-13）式（3-13）稱為力偶系作用下剛體的平衡方程。這組方程是相互獨立的，可求解三個未知量。平面力偶系作用下剛體平衡的必要充分條件是合力偶矩等于零，即力偶系中各力偶的力偶矩的代數(shù)和等于零。表示為（3-14）式（3-14）為平面力偶系作用下剛體的平衡方程，該方程只能求解一個未知量。3.3自學要點1、熟悉力偶的定義及力偶的性質。注意力偶是一個不能再簡化的基本力系，力偶對剛體只有轉動效應?？臻g力偶用力偶矩矢來度量，力偶矩矢是一個自由矢量。而平面力偶用力偶矩來度量，是一個代數(shù)量。另外，需要強調的是力偶只能和力偶平衡這一性質。2、了解空間力對點之矩矢和空間力對軸之矩的計算，熟練計算平面力對點之矩。平面力對點之矩是一個代數(shù)量，在計算時要正確確定其正負號。3、了解空間力偶系的合成結果，掌握平面力偶系的合成結果。特別要注意地是平面力偶系的合成是各力偶的力偶矩的代數(shù)和。4、了解空間力偶系的平衡方程，熟練應用平面力偶系的平衡方程求解平面力偶系的平衡問題。平面力偶系的平衡方程只有一個，只能求解一個未知量。5、力偶系的平衡問題解題要點（1）根據(jù)題意選取適當研究對象；（2）對研究對象進行受力分析，并畫出受力圖。如果研究對象上的力系屬于純力偶系時，在畫未知約束力方向時，不僅要根據(jù)約束性質，還要正確利用力偶只能和力偶相平衡的性質來確定約束力的方向。（3）列平衡方程，求解未知量。對于空間力偶系的平衡問題，可建立三個投影方程（即式（3-13）），可求解三個未知量。在求解平面力偶系的平衡問題時，只能列寫一個平衡方程（即式（3-14）），僅能求解一個未知量。此外，在建立平衡方程時，除了要正確計算各力偶的大小外，還應正確確定各力偶矩的轉向，特別是空間力偶矩矢必須嚴格按右手定則來確定它的方位和指向。第四章平面任意力系4.1基本要求掌握力的平移定理；掌握平面任意力系向一點簡化的方法及簡化結果；明確主矢和主矩的概念；掌握平面任意力系和平面平行力系的平衡條件與平衡方程；熟練地應用平衡條件求解剛體或剛體系統(tǒng)的平衡問題。4.2內(nèi)容概要4.2.1力的平移定理圖4-1力的平移定理：作用于剛體上點的力可平行移到剛體上任一點，但必須同時附加一個力偶，這個附加力偶的矩等于原來的力對新作用點的矩。如圖4-1所示，有圖4-1（4-1）4.2.2平面任意力系向一點簡化平面任意力系向作用面內(nèi)任意一點（稱為簡化中心）簡化，一般可得一個力和一個力偶。這個力的作用線通過簡化中心，其力矢稱為力系的主矢，它等于力系各力的矢量和。即（4-2）這個力偶作用于原平面，其力偶矩稱為力系對簡化中心的主矩，它等于力系中各力對簡化中心之矩的代數(shù)和。即（4-3）力系的主矢與簡化中心的選擇無關，而主矩通常與簡化中心有關。因此提到主矩時，必須注明是對哪一點的主矩。4.2.4平面任意力系簡化的最后結果平面任意力系向作用面內(nèi)一點簡化的結果，如表4-1所示。表4-1平面任意力系向一點簡化的結果主矢主矩最終簡化結果說明合力合力作用線離簡化中心的距離。合力合力作用線通過簡化中心。合力偶此力偶為原力系的合力偶，在這種情況下，主矩與簡化中心的位置無關。平衡4.2.5平面固定端約束圖4-2平面固定端約束不僅限制被約束物體在水平方向和鉛垂方向上的移動，還限制物體在平面內(nèi)的轉動。因此，平面固定端的約束反力通常用一對相互垂直的未知分力和一個力偶來表示。如圖4-2所示。圖4-24.2.6平面任意力系的平衡條件平面任意力系平衡的必要充分條件是力系的主矢和力系對任一點的主矩。1、平面任意力系的平衡方程形式（1）基本形式（4-4）平面任意力系平衡的必要充分條件是力系各力在平面上兩個正交軸上投影的代數(shù)和分別等于零，力系各力對平面內(nèi)任一點之矩的代數(shù)和等于零。（2）二矩式（4-5）其中A、B兩點連線與x軸不得垂直。（3）三矩式（4-6）其中A、B、C三點不能共線。平面任意力系平衡方程的三種形式是完全等價的，可根據(jù)具體問題選用其中任意一種。但是，不論選用何種形式的平衡方程，獨立的方程只有三個，只能求解三個未知量。圖4-32、平面平行力系的平衡方程圖4-3平面平行力系指各力的作用線位于同一平面且相互平行的力系。如圖4-3所示。（1）基本形式（4-7）其中投影軸Oy與各力作用線不能垂直。（2）二矩式（4-8）其中A、B連線與各力作用線不能平行。平面平行力系平衡時提供兩個獨立的平衡方程，只能求解兩個未知量。4.2.4剛體系的平衡問題剛體系是指若干剛體用約束聯(lián)結起來的系統(tǒng)，實際工程中許多機構或結構都是由若干剛體組成的剛體系。1、剛化原理變形體在已知力系作用下處于平衡，若將變形后的變形體換成剛體（剛化），則平衡狀態(tài)保持不變。剛化原理表明滿足變形體的平衡條件必滿足剛體的平衡條件，但是，滿足剛體的平衡條件則不一定滿足變形體的平衡條件。因此，剛體和變形體平衡條件之間的關系是：剛體的平衡條件是變形體平衡的必要條件，而不是充分條件。2、剛體系的平衡剛體系平衡時，剛體系中的每一個剛體都處于平衡。因此在求解剛體系的平衡問題時，既可以取每一個剛體作為研究對象，列寫相應的平衡方程，也可取剛體系整體或局部為研究對象，寫出相應的平衡方程，這是與單個剛體平衡問題的不同之處。在求解剛體系的平衡問題時，研究對象的選擇存在多樣性和靈活性，問題的解法也往往不止一種。4.3自學要點1、掌握平面任意力系向平面內(nèi)一點的簡化方法和結果。通常得到一個力和一個力偶，但這并不是力系簡化的最終結果，還需要進一步討論。平面任意力系向一點簡化的最終結果為：力、力偶或平衡。2、熟悉平面任意力系平衡方程的不同形式，注意每一種形式使用的附加條件。當平面任意力系平衡時，則力系中各力之間的關系由三個獨立平衡方程確定。對于平面平行力系，力系中各力之間的關系由二個獨立的平衡方程確定。3、熟練應用平面任意力系的平衡方程求解單個剛體和剛體系的平衡問題。求解的基本步驟與前面章節(jié)所講的方法基本相同，仍是選取研究對象、進行受力分析和繪制受力圖、列寫平衡方程求解。但需要注意以下幾個問題：（1）根據(jù)題意靈活選取研究對象。一般可先取整體后取局部；有時可先取局部后取整體作為研究對象。在選取研究對象時，盡可能以受力簡單而且又與待求量有關的物體或物體系統(tǒng)為研究對象。（2）正確繪制研究對象的受力圖。搞清楚被解除的約束性質，按照約束性質確定約束反力；在繪制兩個物體以上組成系統(tǒng)的受力圖時，只畫外力，不畫內(nèi)力；在受力圖中還需注意作用與反作用力的畫法。（3）選擇合適的平衡方程形式，投影軸及矩心的位置。根據(jù)研究對象的受力特點、結構形式，靈活選擇平衡方程的形式（投影方程或矩方程）。在寫投影方程時，投影軸應與盡量多的未知力相垂直，以減少方程中的未知量，簡化計算；在寫矩方程時，一般將矩心選在多個未知力作用線的交點上?？傊?，盡可能使每個平衡方程只含一個未知量，避免解聯(lián)立方程。（4）寫平衡方程之前，應明確研究對象所受力系及提供的獨立平衡方程個數(shù)。在列寫平衡方程時，應包括研究對象上的所有主動力和約束力，切勿遺漏。在計算力的投影或力矩時，注意其正負號；若力系中有力偶，應注意力偶在任意投影軸上的投影值等于零，對任意點的矩等于力偶矩。（5）校核。在求解出所需未知量后，可以用多余方程或未用到的平衡方程進行校核，驗證計算結果的正確性。第五章空間任意力系5.1基本要求掌握作用在剛體上的空間任意力系的簡化；明確主矢和主矩的概念；熟悉空間任意力系和空間平行力系的平衡條件和平衡方程，并能應用平衡方程求解空間任意力系的平衡問題。5.2內(nèi)容概要5.2.1空間任意力系的簡化空間任意力系向任一點簡化可得一個力和一個力偶，這個力通過簡化中心，其力矢稱為力系的主矢，它等于力系中各力的矢量和，并與簡化中心的選擇無關；這個力偶的力偶矩矢稱為力系對簡化中心的主矩，它等于力系中各力對簡化中心之矩矢的矢量和，一般與簡化中心的選擇有關。設剛體上作用有空間任意力系（，，…，），向簡化中心點簡化，則力系的主矢為（5-1）在以簡化中心為原點的坐標系下，主矢在三個坐標軸上的投影分別為（5-2）主矢在坐標系的各軸上的投影等于力系中各力在相應軸上投影的代數(shù)和。主矢與簡化中心的位置無關。主矢的大小為主矢的方向通過它與三個坐標軸的方向余弦表示，即力系向簡化中心的主矩為（5-3）主矩在坐標系的三個坐標軸上的投影為（5-4）主矩在坐標系的各軸上的投影等于力系中各力對相應軸之矩的代數(shù)和。主矩一般與簡化中心的位置有關。主矩的大小為主矩的方向通過它與三個坐標軸的方向余弦表示，即5.2.2空間任意力系的平衡條件空間任意力系作用下剛體平衡的必要充分條件是力系的主矢和力系向任一點的主矩等于零。即，（5-5）或（5-6）式（5-6）稱為空間任意力系作用下剛體的平衡方程，即空間任意力系作用下剛體平衡的必要充分條件是，力系中各力在三個正交坐標軸上投影的代數(shù)和分別等于零和力系中各力對三個坐標軸之矩的代數(shù)和分別等于零。空間任意力系作用下的剛體平衡時，有六個獨立的平衡方程，可解六個未知量。5.3自學要點1、空間任意力系的簡化了解空間任意力系的簡化方法和簡化結果，注意空間任意力系簡化和平面任意力系簡化的異同?？臻g任意力系的簡化方法和平面任意力系的簡化方法都是基于力的平移定理進行的，而簡化結果都是一個力和一個力偶，力通過簡化中心，力矢等于力系的主矢，力偶矩等于力系對簡化中心的主矩。區(qū)別在于力系主矢和主矩的計算。（1）力系主矢的計算平面任意力系中每個力用其在坐標系的兩個坐標軸上的分力表示，即空間任意力系中每個力都是空間力，用力在坐標系的三個坐標軸上的分力表示，即因此在計算力系主矢時，平面任意力系的主矢是一個位于平面的量，用一對正交分力表示，即而空間任意力系的主矢是一個空間力，用三個相互正交的分力表示，即（2）力系主矩的計算平面任意力系中每個力對簡化中心之矩是一個代數(shù)量，因此力系的主矩等于力系中每個力對簡化中心之矩的代數(shù)和，即空間任意力系中每個力對簡化中心之矩是一個矢量，因此力系的主矩等于力系中每個力對簡化中心之矩的矢量和，即2、了解空間任意力系平衡的必要充分條件和平衡方程，特別要強調地是空間任意力系平衡時，提供六個獨立的平衡方程（式5-6），可求解六個未知量。3、空間任意力系平衡問題的求解和平面任意力系平衡問題的求解基本步驟是相類似的。選取研究對象，進行受力分析和繪制受力圖，列寫平衡方程和求解。要注意的是在空間力系平衡問題中，確定空間力與各軸之間的幾何關系是非常重要的。第六章靜力學專題6.1基本要求本章研究靜力學的二個專題：桁架和摩擦。掌握平面簡單桁架的桿件內(nèi)力計算方法：節(jié)點法和截面法；了解滑動摩擦、摩擦角和自鎖現(xiàn)象，以及滾動摩擦等基本概念；會求解考慮摩擦時的平衡問題。6.2內(nèi)容概要6.2.1平面簡單桁架桁架是工程中常見的一種由一些細長直桿在兩端彼此連接而成的幾何形狀不變的結構。例如房屋的屋架，橋梁的拱架等。當桿件軸線位于同一平面內(nèi)的桁架，稱為平面桁架，否則稱為空間桁架。各桿軸線的交點稱為節(jié)點。工程中為了簡化計算，對平面桁架作了下面的三點基本假設：（1）各桿件均為直桿，自重不計。（2）節(jié)點為光滑鉸鏈連接。（3）外力（載荷和約束力）都作用在節(jié)點上，并且作用線都在桁架平面內(nèi)。在上述三種基本假設的基礎上可知，桁架中所有桿件均為二力桿。計算桁架桿件內(nèi)力的二種方法：節(jié)點法和截面法1、節(jié)點法以桁架的節(jié)點為研究對象，逐個考察其受力與平衡，從而求得全部桿件內(nèi)力的方法，稱為節(jié)點法。2、截面法用假想截面將桁架截開，考察其中任一部分平衡，應用平衡方程，求出被截桿件的內(nèi)力，這種方法稱為截面法。截面法對于只需要確定部分桿件內(nèi)力的情形是非常簡便的。6.2.2摩擦1、滑動摩擦（1）滑動摩擦力圖6-1兩個相互接觸的物體，當它們之間產(chǎn)生了相對滑動或相對滑動趨勢時，在接觸面之間將會產(chǎn)生阻礙彼此運動的力，這種阻力稱為滑動摩擦力。圖6-1在水平主動力作用下，當相互接觸的物體具有相對滑動的趨勢，但仍處于平衡狀態(tài)時，接觸面間的滑動摩擦力稱為靜滑動摩擦力，簡稱靜摩擦力，記為，如圖6-1所示。隨著的增加，靜摩擦力也隨之增大。當其達到某一值時，物體將不能保持平衡而開始滑動。可見靜摩擦力有一個極限值。這個極限值稱為最大靜摩擦力，記為。當水平主動力繼續(xù)增加，接觸面處的摩擦力超過最大靜摩擦力后，物體間有了相對滑動，這時接觸面間的滑動摩擦力稱為動滑動摩擦力，簡稱動摩擦力，記作。靜摩擦力達到最大靜摩擦力時的物體平衡狀態(tài)，稱為臨界平衡狀態(tài)。（2）庫侖摩擦定律最大靜摩擦力，方向沿接觸面的切向，與相對滑動趨勢的方向相反，大小與接觸面間的正壓力的大小成正比，即（6-1）式（6-1）稱為庫侖摩擦定律，其中為靜摩擦系數(shù)。靜摩擦系數(shù)通常用實驗測定，其參考值在一般的工程手冊上可以查到。動滑動摩擦力，方向沿接觸面的切向，與相對滑動的方向相反。動滑動摩擦力的大小也與接觸面的正壓力成正比，即（6-2）圖6-2式中稱為動摩擦系數(shù)，其值一般小于靜摩擦系數(shù)。為了簡單起見，常取。圖6-22、摩擦角和自鎖現(xiàn)象（1）摩擦角當考慮摩擦時，物體所受到的接觸面的約束力包括法向約束力和靜摩擦力。這兩個力的合力（6-3）稱為接觸面的全約束力。全約束力與接觸面的法線間的夾角為，如圖6-2（a）所示。則（6-4）當物體處于臨界平衡狀態(tài)時，靜摩擦力達到最大靜摩擦力，此時全約束力與接觸面的法線間的夾角達到最大值，稱為摩擦角，如圖6-2（b）所示。顯然有（6-5）該式表明，摩擦角的正切等于摩擦系數(shù)。（2）自鎖現(xiàn)象圖6-3當主動力系的合力的作用線與接觸面法線的夾角不超過摩擦角時，即的作用線位于摩擦角的范圍內(nèi)，無論的大小有多大，物體一定保持平衡。這種力學現(xiàn)象稱為自鎖現(xiàn)象，如圖6-3所示。反之，當主動力系的合力的作用線在摩擦角以外，不論的值有多小，物體一定不能保持平衡。圖6-3摩擦自鎖現(xiàn)象在日常生活和工程技術中都能看到。如千斤頂、螺栓、木楔等。3、滾動摩擦地面或路軌上滾動的輪子，在輪與軌的接觸處除了有滑動摩擦力外，還有阻礙其滾動的約束力偶，此力偶稱為滾動摩擦力偶，為滾動摩擦力偶矩，如圖6-4所示。滾動摩擦力偶矩的大小隨主動力矩的大小而變化，但存在最大值，即圖6-4圖6-4其中與接觸面的正壓力成正比，即式中，稱為滾動摩擦系數(shù)，具有長度量綱，可在工程手冊中查到。滾動摩擦力偶的轉向與滾動的趨勢或滾動的方向相反。6.3自學要點1、平面簡單桁架桿件內(nèi)力的計算平面簡單桁架中的桿件均為二力桿，各桿件的內(nèi)力不是拉力就是壓力。在繪制研究對象的受力圖時，為了方便起見，可以統(tǒng)一假設桿件受到拉伸作用，即將桿件內(nèi)力按背離節(jié)點的方向畫出。這樣從計算結果的正負號，便可判定桿件內(nèi)力的性質。如計算結果為正，桿件受拉，否則為壓。（1）節(jié)點法節(jié)點法是以平面桁架的各個節(jié)點為研究對象，這樣每個節(jié)點都受到平面匯交力系的作用，只能列出兩個獨立的平衡方程，求解兩個未知量。因此應先選取只有兩個未知內(nèi)力的節(jié)點為研究對象。（2）截面法用一假想截面把桁架截開，截面應截過待求內(nèi)力的桿件，選擇外載荷，外約束力均為已知，且受力較簡單的一部分為研究對象，繪出其外約束力，外載荷和所截桿件內(nèi)力的受力圖。由于平面任意力系只有三個獨立的平衡方程，所以截面截開的未知內(nèi)力的桿件不宜超過三根。若在選取截面時，難以滿足此條件，可以通過選擇適當形式的平衡方程，求解某些桿件內(nèi)力。2、滑動摩擦和滾動摩擦（1）滑動摩擦在學習滑動摩擦這一節(jié)內(nèi)容時，要注意滑動摩擦力的概念及分類；根據(jù)研究對象的運動趨勢，正確判斷摩擦力的方向及大小?？紤]摩擦時，物體的運動狀態(tài)可分為三種：非臨界平衡狀態(tài)、臨界平衡狀態(tài)和運動狀態(tài)。一般來說，當物體處于非臨界平衡狀態(tài)時，接觸面處的摩擦力由物體的平衡條件確定，其大小可取零到最大靜摩擦力之間的任意值，即當物體處于臨界平衡狀態(tài)時，靜摩擦力達到最大值，其大小由公式（6-1）確定。這兩種情況的靜摩擦力方向，均沿接觸面的切向，與相對運動趨勢相反。當物體處于運動狀態(tài)時，接觸面處的摩擦力是動摩擦力，由公式（6-2）確定，方向與相對運動方向相反，不能任意假定。（2）滾動摩擦了解滾動摩擦的基本概念即可。3、摩擦角和自鎖現(xiàn)象了解摩擦角的概念，要注意的是摩擦角是指當物體處于臨界平衡狀態(tài)時，全約束力與接觸面法線的夾角。了解自鎖條件。3、考慮滑動摩擦時物體的平衡問題求解考慮摩擦時，求解物體平衡問題的步驟與前面章節(jié)所述大致相同，但有以下幾個特點：（1）在對物體進行受力分析時，除主動力和各類光滑約束的約束力外，必須考慮接觸面間的切向靜摩擦力，通常增加了未知量的數(shù)目。（2）當物體處于非臨界平衡狀態(tài)時，靜摩擦力由平衡方程求解，通常是處于一個范圍，即，方向可以任意假定；只有當其靜止并處于臨界平衡狀態(tài)時，才可由計算，并且此時的摩擦力方向不能任意假定，必須根據(jù)相對滑動趨勢，正確判定摩擦力的方向。（3）由于物體平衡時摩擦力有一定的范圍（），所以有摩擦的平衡問題的解亦有一定的范圍，而不是一個確定的值。第二篇材料力學第七章緒論7.1基本要求了解材料力學的研究對象和基本假設；掌握內(nèi)力的概念及計算方法；掌握應力、正應力和切應力、正應變和切應變的概念。7.2內(nèi)容概要7.2.1材料力學的研究對象1、材料力學的研究任務研究構件在外力作用下的變形、受力與破壞或失效的規(guī)律，為合理設計構件提供有關強度、剛度和穩(wěn)定性分析的基本理論與方法。強度指構件抵抗破壞的能力。如屋梁不應折斷，儲氣罐不能破裂。剛度指構件抵抗變形的能力。如車床主軸的變形不能過大，否則影響加工精度。穩(wěn)定性指構件保持原有平衡狀態(tài)的能力。如千斤頂?shù)慕z桿要保證不被壓彎。2、材料力學的研究對象材料力學研究的對象是變形固體，即在外力作用下產(chǎn)生變形的固體。主要是針對桿件這類形狀構件，即一個方向的尺寸遠大于其它兩個方向的尺寸的構件。7.2.2材料力學的基本假設1、連續(xù)性假設：假設在構件所占有的空間內(nèi)毫無空隙地充滿了物質，即認為是密實的。2、均勻性假設：假設材料的力學性能（指材料在外力作用下所表現(xiàn)的性能）與其在構件中的位置無關，即認為是均勻的。3、各向同性假設：假設材料沿各個方向的力學性能相同，即認為是各向同性。因此，在材料力學中，一般將實際材料看作是連續(xù)、均勻和各相同性的可變形固體。7.2.3外力和內(nèi)力1、外力外力是指作用在構件上的其它載荷，包括主動力和約束力。根據(jù)外力在構件表面的分布情況，可分為分布力和集中力。連續(xù)分布在構件表面某一范圍的力稱為分布力。如果分布力的作用范圍遠小于構件的表面面積，則可將分布力簡化為作用于一點的力，稱為集中力。2、內(nèi)力材料力學所研究的內(nèi)力，實際上是一種“附加內(nèi)力”。由于外力作用，構件內(nèi)部相連部分之間的相互作用力，稱為內(nèi)力。內(nèi)力分析是解決構件強度、剛度和穩(wěn)定性問題的基礎。圖7-13、內(nèi)力的計算方法－截面法圖7-1截面法是求解內(nèi)力的一般方法。截面法的關鍵步驟是“截開→代替→平衡”?！敖亻_”是指在待求內(nèi)力處用假想的橫截面將構件截開，留下一部分作為研究對象；“代替”是指用內(nèi)力代替去掉部分對留下部分的作用；“平衡”是指對研究對象建立靜力平衡方程求內(nèi)力。用假想截面將構件截開，在切開的截面上作用有連續(xù)分布的內(nèi)力，根據(jù)力系簡化理論，可將分布內(nèi)力向橫截面的形心簡化，得到三個內(nèi)力分量和三個內(nèi)力偶矩分量，統(tǒng)稱為內(nèi)力分量。如圖7-1所示。沿構件軸向的內(nèi)力分量，稱為軸力；作用線位于所切橫截面的內(nèi)力分量和，稱為剪力；力偶矩矢量沿軸線的內(nèi)力偶矩分量，稱為扭矩；力偶矩矢量位于所切橫截面的內(nèi)力偶矩分量和，稱為彎矩。上述六個內(nèi)力分量與作用在切開構件上的外力構成平衡力系，因此，利用靜力平衡方程，，，，建立內(nèi)力和外力的關系，求解各內(nèi)力分量。7.2.4正應力和切應力1、應力的概念圖7-2內(nèi)力在橫截面上是連續(xù)分布的，截面上每一點處都作用有分布內(nèi)力，分布內(nèi)力在某一點處的集度稱為應力。如圖7-2（a）所示，計算截面m-m上任一點k的應力，可圍繞該點取一微面積，若微面積上作用有內(nèi)力，則截面m-m上k點處的總應力為圖7-2（7-1）總應力可分解為沿截面法向的正應力分量和沿截面切向的切應力分量，如圖7-2（b）所示。則有（7-2）應力的單位是（帕斯卡），。常用單位為（兆帕）和（吉帕），有，7.2.5正應變和切應變圖7-3應變描述了構件內(nèi)部各點處的變形程度，分為正應變和切應變。如圖7-3（a）所示，k點處單元體的棱邊ka的原長為，變形后的長度為，則k點沿棱邊ka方向的正應變?yōu)閳D7-3（7-3）微單元體相鄰棱邊所夾直角的改變量，稱為切應變，用表示，單位為弧度（rad）。正應變和切應變均為無量綱量。7.3自學要點1、了解材料力學的任務、研究對象及基本假設。2、注意區(qū)分材料力學的內(nèi)力和理論力學中的內(nèi)力。材料力學中的內(nèi)力是由于外力的作用而在構件內(nèi)部引起的“附加內(nèi)力”；理論力學中的內(nèi)力是指構件之間的相互作用力。3、掌握內(nèi)力的求解方法：截面法。當求解構件某處的內(nèi)力時，首先用假想的橫截面截開構件，取其中的一部分作為研究對象，并用內(nèi)力分量表示去掉部分對研究對象的作用，然后建立靜力平衡方程。在這里要注意的是盡管切開截面上的內(nèi)力分量有六個，如圖7-1所示，但是隨著構件上的外力不同，在切開截面上的內(nèi)力分量不一定包括六個內(nèi)力分量。在大數(shù)情況下，構件橫截面上僅有一種、二種或三種內(nèi)力分量。3、掌握應力、全應力、正應力和切應力的基本概念。值得注意的是：應力是指受力構件某一截面上某一點處的內(nèi)力集度，在討論應力時必須明確該應力描述的是哪個截面的哪個點。由于全應力是矢量，為了分析問題方便起見，將切開橫截面上某點處的全應力分解為正應力和切應力。注意正應力的方向垂直于截面，切應力的方向相切于截面。4、掌握正應變和切應變的定義。正應變是指構件內(nèi)某點處沿某方向的變形情況，在描述正應變時，必須指明是在哪一點處沿哪一個方向的正應變；切應變是指構件某點處微單元體的直角改變量。軸向拉伸與壓縮8.1基本要求掌握軸力的計算與軸力圖的繪制；掌握軸向拉壓桿的應力計算及強度計算；掌握軸向拉壓桿的變形計算；掌握材料在拉伸與壓縮時的力學性能，特別是低碳鋼在拉伸時的應力－應變曲線；了解超靜定問題的概念和基本求解方法。8.2內(nèi)容概要當外力或外力的合力作用線沿著桿件軸線，桿件的主要變形為軸向伸長或縮短。這種以軸向拉壓為主要變形的桿件稱為拉壓桿。8.2.1軸力與軸力圖軸力是軸向拉壓桿在橫截面上的內(nèi)力，軸力的作用線與桿件的軸線重合。軸力的正負號規(guī)定：拉力為正，壓力為負。軸力圖是描述軸力沿桿件橫截面位置的變化情況。根據(jù)軸力圖可確定桿件上最大軸力的數(shù)值及其所在截面的位置。8.2.2拉壓桿的應力1、拉壓桿橫截面上的正應力根據(jù)拉壓桿件在變形前后橫截面仍保持為平面這個“平面假設”可知，內(nèi)力在橫截面上均勻分布，因此，橫截面上各點的正應力相等，即（8-1）式中A為橫截面的面積，為橫截面上的軸力。公式（8-1）適用范圍：（1）適用于軸向拉壓桿；（2）適用于彈性或塑性范圍；（3）對于錐度的變截面直桿；（4）在外力作用點附近或桿件面積發(fā)生突變處，應力分布不均勻，不能應用此公式，稍遠一些的橫截面上方可使用，即“圣維南原理”。2、拉壓桿斜截面上的應力軸向拉壓桿件在斜截面上既有正應力，又有切應力，即（8-2）（8-3）其中，代表桿件橫截面上的正應力；為從橫截面外法線轉到斜截面外法線的夾角，逆時針為正，反之為負。斜截面上的應力隨著其方位的變化而變化。當時，正應力為最大，其值為；當時，切應力為最大，其值為。8.2.3材料的力學性能材料的力學性能是指在外力作用下，材料所表現(xiàn)出的變形和破壞的特性。作為塑性材料的代表，主要研究低碳鋼在拉伸和壓縮時的力學性能。1、低碳鋼的拉伸力學性能低碳鋼在拉伸時的應力－應變關系曲線具有明顯的四個階段，即線性階段、屈服階段、硬化階段和頸縮階段。與之相對應有四個應力指標，即比例極限、彈性極限、屈服極限和強度極限。其中，屈服極限表示材料出現(xiàn)塑性變形，強度極限表示材料喪失承載能力。因此和是衡量材料強度的兩個重要強度指標。2、低碳鋼的壓縮力學性能低碳鋼在壓縮時的應力－應變關系曲線在屈服之前與拉伸的應力－應變關系曲線基本重合，拉伸與壓縮時的應力指標、、和彈性模量E基本相同。不同之處在于隨著壓力的不斷增加，低碳鋼試件越壓越扁，無法測定其強度極限。3、衡量塑性的兩個指標（1）材料的伸長率（8-4）其中，l為試件試驗段原長，l1為試件拉斷時，試驗段的長度。（2）斷面收縮率（8-5）其中，A為試件試驗段橫截面的原面積，A1為試件斷裂后斷口的橫截面面積。在工程中，通常將的材料稱為塑性材料，的材料稱為脆性材料。低碳鋼的伸長率約為（20~30）％，是很好的塑性材料。4、灰口鑄鐵的力學性能在拉伸實驗時，灰口鑄鐵從開始受力到斷裂，變形非常小，沒有屈服和頸縮階段，是一種脆性材料。衡量材料強度的惟一指標是拉伸強度極限。在壓縮實驗中，灰口鑄鐵的強度極限遠高于拉伸時的強度極限（約為3~4倍）。因此，在工程中宜用作承壓構件。8.2.4應力集中概念當桿件截面尺寸突然變化而引起局部應力急劇增加的現(xiàn)象稱為應力集中。應力集中的程度用應力集中因數(shù)K表示。截面尺寸變化越急劇，角越尖，孔越小，應力集中程度越嚴重，零部件設計中盡量避免或降低這些不利因素的影響。8.2.5拉壓桿件的強度計算為了保證拉壓桿件在工作時不致因強度不夠而破壞，桿內(nèi)的最大工作應力不得超過材料的許用應力，即強度條件為（8-6）其中稱為許用應力，為材料的極限應力，為安全因數(shù)，是大于1的數(shù)。對于塑性材料來說，極限應力取為材料的屈服極限；脆性材料的極限應力取為材料的強度極限。利用強度條件（8-6），一般可以解決三類強度問題：（1）校核強度當已知拉壓桿的截面尺寸、許用應力與所受的外力時，通過比較最大工作應力和許用應力的大小，判斷桿件在該外力作用下是否能夠安全工作。（2）選擇截面尺寸已知拉壓桿所受外力和許用應力，根據(jù)強度條件設計出合理的截面以保證安全工作，式（8-6）可改寫為（8-7）（3）確定承載能力已知拉壓桿的截面尺寸和許用應力，根據(jù)強度條件確定桿件所能承受的最大軸力，式（8-6）可改寫為（8-8）8.2.6拉壓桿的變形1、胡克定律和軸向變形軸向拉壓試驗表明，在比例極限范圍內(nèi)，正應力與正應變成正比，即（8-9）式（8-9）稱為胡克定律。比例系數(shù)E稱為材料的彈性模量，是材料的一個常數(shù)，其值由試驗測定。實際上，材料的應力－應變圖中初始直線的斜率，即等于材料的彈性模量。彈性模量的常用單位為MPa或GPa。當拉壓桿為等截面常軸力桿件時，桿件的軸向變形和軸向正應變分別為（8-10）（8-11）其中為拉壓桿的軸向變形，l為拉壓桿的原長，為截面上的軸力，EA稱為拉壓桿的拉壓剛度，為軸向正應變。對于一給定長度的桿，在一定軸向載荷作用下，拉壓剛度愈大，桿的軸向變形愈小。而且，由式（8-10）可知，軸向變形和軸力具有相同的正負號，即伸長為正，縮短為負。2、橫向變形與泊松比若桿件的原寬度為b，在軸向力作用下，桿件寬度變?yōu)閎1，則桿的橫向變形和橫向正應變分別為（8-12）（8-13）試驗表明，軸向拉伸時，桿沿軸向伸長，其橫向尺寸減?。惠S向壓縮時，桿沿軸向縮短，其橫向尺寸增大，即橫向正應變與軸向正應變恒為異號。在比例極限范圍內(nèi)，橫向正應變與軸向正應變成正比，即（8-14）或（8-15）其中，稱為泊松比。泊松比是材料的一個常數(shù)，由試驗測定。8.2.7簡單拉壓靜不定問題對于某一結構，若由靜力平衡方程不能確定出全部未知力（包括支座反力和桿件內(nèi)力），則該結構稱為靜不定結構，對應的問題稱為靜不定問題。靜不定問題中未知力的數(shù)目與有效的靜力平衡方程數(shù)目之差稱為靜不定結構的靜不定次數(shù)。求解靜不定問題的關鍵在于根據(jù)變形協(xié)調條件建立補充方程。8.2.8連接部分的強度計算拉壓桿與其它構件之間，或一般構件與構件之間，常采用銷釘、螺栓、鍵等相連接。為了保證正常工作，連接件也需滿足一定的強度條件。由于連接件的受力和變形比較復雜，在工程中通常采用“實用計算法”計算連接件各部分的“名義應力”，并進行強度計算。這里主要涉及到連接件的剪切和擠壓強度計算。1、剪切和剪切強度條件當構件受到兩個大小相等，方向相反，力的作用線相互平行且距離很近的兩個力作用時，兩力間的橫截面將發(fā)生相互錯動，這種變形稱為剪切。對于圖8-1（a）中所示的鉚釘，在外力P的作用下，將發(fā)生剪切變形。當力P過大時，鉚釘將沿著橫截面1-1（稱為剪切面）被剪斷，如圖8-1（b）所示。因此，對于鉚釘?shù)仁芗暨B接件，必須考慮其剪切強度問題。圖8-1（c）圖8-1（a）圖8-1（c）圖8-1（a）圖8-1（b）圖8-1（b）在工程計算中，通常假設剪切面上的切應力均勻分布，連接件的切應力與剪切強度條件分別為（8-16）（8-17）其中，為作用線位于剪切面的內(nèi)力，即剪力；為剪切面的面積；為連接件的許用切應力。2、擠壓與擠壓強度條件圖8-1（c）所示鉚釘在外力P作用下，鉚釘與孔直接接觸，在接觸面ab或cd上會產(chǎn)生相互擠壓力。當擠壓力過大，會導致鉚釘或連接鋼板產(chǎn)生明顯塑性變形，這是工程中不允許出現(xiàn)的。這種破壞稱為擠壓破壞。因此，為了保證構件的正常工作，連接件還需滿足擠壓強度條件。連接件的擠壓應力和擠壓強度條件分別為（8-18）（8-19）其中，為擠壓面上的擠壓力；為擠壓面的有效擠壓面積，；為材料的許用擠壓應力。8.3自學要點8.3.1正確計算軸力和繪制軸力圖計算軸力通常用截面法。對于所求截面上的未知軸力，首先假設為拉力，然后利用平衡方程求解。若結果為正，說明假設的方向與實際方向相同，軸力為拉力；若結果為負，說明假設的方向與實際方向相反，軸力為壓力。這種方法稱為“設正法”，是求解內(nèi)力的一般方法。軸力圖表示軸力沿桿軸線的變化情況。作圖時，以平行于桿件軸線的坐標表示橫截面的位置，垂直于軸線的另一坐標表示軸力。在軸力圖上不僅要反映出確定橫截面位置的坐標，還要求明確軸力的大小與正負號。當桿件受到多個軸向外力作用時，要注意在軸向外力作用處的左右（或上下）兩橫截面上的軸力會發(fā)生變化，因此根據(jù)桿件的受力情況，將在兩個相鄰軸向外力之間的桿件作為一段，從而分成若干段，每段內(nèi)的所有橫截面具有相同的軸力，用截面法求解其軸力，繪制出軸力圖。8.3.2拉壓桿的強度計算公式給出了保證拉壓桿安全工作的強度條件。為最大工作應力，即在外力作用下，桿內(nèi)所產(chǎn)生的最大正應力，與之相對應的橫截面稱為危險截面。由此可見，在進行強度計算時，確定危險截面是問題的關鍵，應注意以下兩點：（1）對于等截面直桿，軸力絕對值最大所在截面為危險截面，此時最大工作應力；（2）對于變截面桿，可能位于軸力絕對值最大的截面，也可能位于面積最小的截面。拉壓桿強度計算的基本步驟：（1）根據(jù)題意，確定研究對象，求解支座反力；（2）用截面法分析研究對象的內(nèi)力，確定危險截面及其內(nèi)力；（3）計算危險截面上的應力，并建立強度條件，按要求進行強度計算。8.3.3拉壓桿的變形計算首先注意公式只適用于軸力相同的等截面直桿。對于階梯形截面并受到多個軸向外力作用的直桿，若需計算桿件變形量，不能直接應用公式計算，因為桿件的截面內(nèi)力隨著截面位置的不同而變化，同時截面的面積也在變化。首先根據(jù)外力的作用情況及截面尺寸的變化情況將桿件進行分段，保證每段內(nèi)截面的軸力和橫截面面積相同。然后分別計算各段的變形量，而桿件的總變形量則等于各段變形量之和。計算各段變形量時，要注意軸力和變形的一致。當某段的軸力為拉力時，該段為拉伸變形，變形量為正值；若某段的軸力為壓力，則該段為縮短變形，變形量為負值。因此計算桿件總變形量時，要注意的是它等于各段變形量的代數(shù)和。即（8-20）計算結構節(jié)點位移時，根據(jù)結構中各桿件的內(nèi)力確定桿件的變形，利用“切線代替圓弧”的方法畫出節(jié)點變形圖，根據(jù)變形圖的幾何關系計算節(jié)點位移。此問題的求解關鍵在于正確畫出節(jié)點變形圖，需要強調的是桿件軸力和變形的一致性。8.3.4簡單靜不定問題的求解對于靜不定問題來說，除了列寫靜力平衡方程外，還須研究結構的變形，根據(jù)變形幾何關系寫出變形協(xié)調條件，然后結合胡克定律列出相應的補充方程。也就是說，求解靜不定問題必須考慮以下三個方面：（1）滿足靜力平衡方程；（2）滿足變形協(xié)調條件；（3）符合力和變形的物理關系（在線彈性范圍內(nèi)，即符合胡克定律）。求解靜不定問題的基本步驟：（1）根據(jù)結構的約束情況，正確分析約束力，確定結構的靜不定次數(shù)。（2）列寫獨立的靜力平衡方程。（3）假設未知軸力方向、桿件及結構變形后的位置，列出變形幾何關系，即變形協(xié)調條件。要特別注意的是，桿件的軸力和變形一定要一致，即若假設桿件的軸力為拉力，則桿件發(fā)生伸長變形；若軸力為壓力，則桿件發(fā)生縮短變形。（4）列出變形與軸力間的關系（即物理關系），并代入變形協(xié)調條件得到補充方程。（5）聯(lián)立求解靜力平衡方程和補充方程，求出全部未知力。其余問題和強度計算相同。8.3.5連接部分的強度計算連接部分的強度計算包括剪切強度和擠壓強度計算，難點在于正確確定剪切面和擠壓面。剪切面是指連接件發(fā)生相互錯動的面，而擠壓面是指連接件和被連接件相互接觸的面。在實際計算時，擠壓面面積是根據(jù)接觸情況來確定。當接觸面是平面時，擠壓面面積與接觸面面積相等；當接觸面是圓柱面時，擠壓面面積為實際接觸面在其直徑平面上的投影面積。扭轉9.1基本要求掌握扭力偶矩、扭矩的計算和扭矩圖的繪制；掌握圓軸扭轉時，橫截面上的應力計算和強度計算；掌握圓軸扭轉時的變形計算和剛度計算；理解切應力互等定理和剪切胡克定律。9.2內(nèi)容概要9.2.1圓軸扭轉時的受力和變形特征受力特征：垂直于桿件軸線的平面內(nèi)作用有力偶；變形特征：桿件各橫截面繞軸線作相對轉動，產(chǎn)生扭轉角。9.2.2扭力偶矩和扭矩1、傳動軸的扭力偶矩對于傳動軸等轉動構件，通?？筛鶕?jù)軸的轉速n（單位r/min）和所傳遞的功率P(單位KW)來計算傳動軸所受的扭力偶矩M，即（9-1）2、扭矩和扭矩圖圓軸扭轉時，在橫截面上產(chǎn)生的內(nèi)力稱為扭矩，用T表示。通常規(guī)定：按右手螺旋法則將扭矩用矢量表示，若矢量方向與橫截面的外法線方向一致，則該扭矩為正，反之為負。任一截面處的扭矩用截面法確定，扭矩沿圓軸軸線方向的變化規(guī)律一般用扭矩圖表示。扭矩圖的繪制和軸力圖的繪制方法相同。9.2.3切應力互等定理與剪切胡克定律切應力互等定理：在微單元體的兩個相互垂直截面上，切應力必然成對出現(xiàn)，其大小相等，方向均指向或離開兩截面的交線。如圖9-1所示。圖9-2圖9-2圖9-1圖9-1純剪切：在微單元體的各個面上只有切應力而無正應力，這種應力狀態(tài)稱為純剪切。剪切胡克定律：當切應力不超過材料的剪切比例極限時，切應力和切應變成正比，即（9-2）其中，G為切變模量，是材料的彈性常數(shù)，其值隨材料而異，并由實驗測定。如圖9-2所示。對于各向同性材料，彈性模量E、泊松比和切變模量G之間的關系為（9-3）9.2.4圓軸扭轉橫截面上的切應力分析圓軸扭轉時橫截面上的應力及其分布規(guī)律是一個超靜定問題，必須以實驗為基礎，對變形作出基本假設，從幾何、物理和靜力學三方面進行綜合分析。圓軸扭轉時的平面假設：圓軸扭轉變形前后，橫截面保持為平面，其形狀和大小均無變化，而且半徑仍為直線，相鄰兩橫截面的距離保持不變，僅剛性地繞軸線作相對轉動。變形幾何關系：（9-4）物理關系：（9-5）靜力學平衡關系：（9-6）圓軸扭轉時橫截面上的切應力計算公式（9-7）其中，——橫截面上距離圓心處的切應力，與半徑垂直；T——橫截面上的扭矩；——橫截面對圓心的極慣性矩，，僅與截面的尺寸有關，單位為米的四次方（）。當時，切應力最大，其值為（9-8）其中，稱為抗扭截面系數(shù)，，是一個僅與截面尺寸有關的量，單位為米的三次方（）。9.2.5極慣性矩和抗扭截面系數(shù)1、實心圓截面極慣性矩：（9-9a）抗扭截面系數(shù)：（9-9b）其中，d為圓截面的直徑。2、空心圓截面對于內(nèi)徑為d，外徑為D（，代表內(nèi)、外徑的比值）的空心圓截面來說，極慣性矩：（9-10a）抗扭截面系數(shù)：（9-10b）其中3、薄壁圓截面薄壁圓截面的平均半徑為，壁厚為，則極慣性矩：（9-11a）抗扭截面系數(shù)：（9-11b）9.2.6圓軸扭轉破壞與強度條件圓軸扭轉破壞的形式有兩種：屈服和斷裂。塑性材料受扭軸發(fā)生屈服破壞，屈服時橫截面上的最大切應力稱為扭轉屈服應力；脆性材料受扭軸發(fā)生斷裂破壞，斷裂時橫截面上的最大切應力稱為扭轉強度極限。扭轉屈服應力和扭轉強度極限，通稱為扭轉極限應力，用表示。圓軸扭轉的強度條件：（9-12）其中，——受扭軸橫截面上的最大切應力；——稱為許用切應力，。為材料的扭轉極限應力，n為安全因數(shù)。9.2.7圓軸扭轉變形與剛度條件1、圓軸扭轉變形圓軸的扭轉變形用橫截面間繞軸線的相對角位移，即扭轉角表示。相距l(xiāng)的兩橫截面間的扭轉角為（單位：）（9-13）其中稱為截面的抗扭剛度，越大，扭轉角越小。2、圓軸扭轉剛度條件在工程實際中，通常是限制扭轉角沿軸線的變化率或單位長度內(nèi)的扭轉角，使其不超過某一規(guī)定的許用值，則圓軸扭轉的剛度條件為（9-14）9.3自學要點9.3.1扭矩和扭矩圖橫截面上的扭矩用截