《不等式與不等式組》教案3：了解絕對值不等式的性質(zhì)及應(yīng)用

初中數(shù)學中，不等式與不等式組是非常重要的章節(jié)。不僅重要性質(zhì)多種多樣，而且在實際生活中也經(jīng)常用到，比如我們購物時常見的打折優(yōu)惠活動就是在不同的不等式組中進行的。今天，我們來學習一下不等式的另一種形式——絕對值不等式，學習它的性質(zhì)及應(yīng)用。一、絕對值的定義及簡介讓我們來復(fù)習一下絕對值的定義及其基礎(chǔ)知識。在數(shù)學中，絕對值其實并不是一個具體的數(shù)學運算，而更像是一個數(shù)的“取正數(shù)”的機制。簡單來說，絕對值是一個數(shù)到原點的距離。一般寫作“|a|”，表示a的絕對值。如|2|=2，|-3|=3。此外，我們還應(yīng)了解絕對值的基本性質(zhì)：非負性：對于任意的實數(shù)a，有|a|≥0；正（負）性：若a≠0，則|a|>0，而當a=0時，|a|=0；對稱性：對于任意實數(shù)a和b，有|a|=|b|，當且僅當a=b或a=-b。我們需要牢記絕對值的這些性質(zhì)，這對后面學習絕對值不等式的性質(zhì)及應(yīng)用非常重要。二、絕對值不等式的定義及性質(zhì)接下來，我們要研究的是絕對值不等式的定義及其性質(zhì)。絕對值不等式指的是在不等式中出現(xiàn)絕對值符號，并且符號左右兩側(cè)的式子之間有大小的關(guān)系，一般來說被分為單層絕對值不等式與雙層絕對值不等式兩種。單層絕對值不等式的定義與性質(zhì)單層絕對值不等式的一般形式是|ax+b|<c，其中a、b、c為非負實數(shù)，且a≠0。單層絕對值不等式的求解分為以下四種情況：①當b=0時，不等式為|ax|<c，即|x|<c/|a|，解集為(-c/|a|,c/|a|)。②當c=0時，不等式為|ax+b|<0，此時無解。③當b≠0，且c≠0時，不等式|x+k|<p（其中k,b/p皆為實數(shù)）必須通過配方法轉(zhuǎn)換，如：④當c=0時，不等式為|ax+b|≤0，此時解集為{x|-b/a}。根據(jù)上述定義，我們可以發(fā)現(xiàn)單層絕對值不等式有以下性質(zhì)：（1）當a>0時，|ax+b|<c相當于-c<ax+b<c，即ax+b在（-c，c）之間。（2）當a<0時，|ax+b|<c相當于-c<ax+b<c，即ax+b在（-∞，-c）和（c，+∞）之間。（3）當a=0時，|ax+b|<c等價于|b|<c。雙層絕對值不等式的定義與性質(zhì)雙層絕對值不等式是在單層絕對值不等式的基礎(chǔ)上演化而來的，它的一般形式是||ax+b|-c|<d，其中a、b、c、d皆為非負實數(shù)，且a≠0。雙層絕對值不等式和單層絕對值不等式不同，其本質(zhì)是將兩個單層絕對值不等式組合起來進行求解。具體求解方法如下：①當|ax+b|≤c+d時，替換掉整個||ax+b|-c|，得到-d<|ax+b|-c，|ax+b|-c<d；②當|ax+b|>c+d時，替換掉整個||ax+b|-c|，得到-c-d<ax+b<c+d，從而進一步分解。這時要分類討論，將ax+b拆成兩部分。對于雙層絕對值不等式，我們主要需要熟記以下性質(zhì)：（1）|ax+b|<c等價于一個一次不等式；|ax+b|-c<d等價于兩個一次不等式，并進行分類討論。（2）在雙層絕對值不等式|x|-|y|<a(a≥0)時，可以去掉一層絕對值，直接轉(zhuǎn)化為x-y<a或y-x<a的近似不等式。（3）在雙層絕對值不等式中，不同絕對值符號之間的大小關(guān)系一定要判斷清楚，否則容易出錯。三、絕對值不等式的應(yīng)用除了以上的理論知識，絕對值不等式還有諸多實際應(yīng)用。這里我們著重介紹以下三種：解決含絕對值的方程比如|x-3|=4，可以將其拆分為兩個方程x-3=±4，即得x=7或-1。同樣地，我們可以用絕對值不等式解決形如|ax+b|=c的方程。求解實際問題對于實際生活中的問題，不等式常常能夠給我們帶來方便。比如我們購物時的打折優(yōu)惠活動，在現(xiàn)實生活中常常存在于形如“原價乘積大于等于一定數(shù)目時，打一定折扣”的優(yōu)惠政策中。對于這種情況，我們可以將原價乘積作為一個不等式的組成部分，根據(jù)不等式理論求解出合規(guī)的價格區(qū)間。判斷解集特征絕對值不等式的一個便利之處在于，我們不僅可以用其來求解方程或?qū)嶋H問題，還可以很方便地從解的表達式中判斷解集的特征。比如我們在解雙層絕對值不等式時所得到的分類討論式，就表明了不同解集之間的位置關(guān)系。在進行同類