結(jié)構(gòu)動力學(xué)第I篇-碩士

結(jié)構(gòu)動力學(xué)主講：韓建平教授、博導(dǎo)Email：jphan@,jphan1970@163.com電話2973781（辦）辦公室：本部綜合試驗(yàn)樓B-420室、8號樓211室TA:劉宗成結(jié)構(gòu)動力學(xué)的主要內(nèi)容？結(jié)構(gòu)動力學(xué)知識如何體現(xiàn)、反映在結(jié)構(gòu)分析與設(shè)計(jì)中？為什么要學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)動力學(xué)？

結(jié)構(gòu)動力學(xué)：研究結(jié)構(gòu)在動力荷載作用下的動力反應(yīng)。例如：地震荷載風(fēng)荷載沖擊荷載等2008“5.12”汶川地震，MW7.9、MS8.0

2010Haitiearthquake，MW7.9

2010Chileearthquake，MW8.8

2010青海玉樹地震，MW6.9、MS7.1

2010NewZealand

earthquake，MW7.1

2011NewZealand

earthquake，MW6.3

2011年日本東北部地震及海嘯，MW9.0

2013年7月22日，甘肅岷縣漳縣地震，MW5.9，MS6.6：

95人死亡，災(zāi)害損失300多億引言The2010Haitiearthquakewasacatastrophicmagnitude7.0Mwearthquake.ItsepicentrewasnearthetownofLéogane,approximately25

km(16miles)westofPort-au-Prince,Haiti'scapital.Theearthquakeoccurredat16:53localtime(21:53UTC)onTuesday,12January2010.By24January,atleast52aftershocksmeasuring4.5orgreaterhadbeenrecorded.AsofFeb.12,anestimatedthreemillionpeoplewereaffectedbythequake;theHaitianGovernmentreportsthatbetween217,000and230,000peoplehadbeenidentifiedasdead,anestimated300,000injured,andanestimated1,000,000homeless.

Thedeathtollisexpectedtorise.Theyalsoestimatedthat250,000residencesand30,000commercialbuildingshadcollapsedorwereseverelydamaged.——FromWikipediaThe2010ChileearthquakeoccurredoffthecoastoftheMauleRegionofChileonFebruary27,2010,at03:34localtime(06:34UTC),ratingamagnitudeof8.8onthemomentmagnitudescaleandlastingforaboutthreeminutes.Thecitiesexperiencingthestrongestshaking—VIII(Destructive)ontheMercalliintensityscale—wereTalcahuano,Arauco,Lota,Chiguayante,Ca?ete,andSanAntonio.TheearthquakewasfeltinthecapitalSantiagoatMercalliintensityscaleVII(VeryStrong).TremorswerefeltinmanyArgentinecities,includingBuenosAires,Córdoba,MendozaandLaRioja.TremorswerefeltasfarnorthasthecityofIcainsouthernPeru.Tsunamiwarningswereissuedin53countries,andatsunamiwasrecorded,withamplitudeofupto2.6m(8

ft6in)high,intheseaatValparaíso,Chile.PresidentMichelleBacheletdeclareda"stateofcatastrophe".Shealsoconfirmedthedeathsofatleast708people.Manymorehavebeenreportedmissing.——FromWikipediaThe2010Canterburyearthquake(alsoknownastheChristchurchearthquakeorDarfieldearthquake)wasa7.1magnitudeearthquake,whichstrucktheSouthIslandofNewZealandat4:35

amon4September2010localtime(16:353SeptemberUTC).Thequakecausedwidespreaddamageandseveralpoweroutages,particularlyinthecityofChristchurch,NewZealand'ssecondlargestcity.Tworesidentswereseriouslyinjured,onebyacollapsingchimneyandasecondbyflyingglass.Onepersondiedofaheartattacksufferedduringthequake,althoughthiscouldnotbedirectlylinkedtotheearthquake.Massfatalitieswereavoidedpartlyduetotherebeingfewhousesofunreinforcedconstruction,althoughthiswasalsoaidedbythequakeoccurringduringthenightwhenmostpeoplewereoffthestreet.Theearthquake'sepicentrewas40

kilometres(25mi)westofChristchurch,nearthetownofDarfield.Thehypocentrewasatashallowdepthof10

km.——FromWikipediaThe2011Christchurchearthquakewasa6.3-magnitudeearthquakethatstrucktheCanterburyregioninNewZealand'sSouthIslandat12:51

pmon22February2011localtime(23:5121FebruaryUTC),causingwidespreaddamageandmultiplefatalities.Theearthquakewascentred2

kilometres(1mi)westofthetownofLytteltonand10

kilometres(6mi)south-eastofChristchurch,NewZealand'ssecond-mostpopulouscity.Itfollowsnearlysixmonthsafterthe7.1magnitude2010Canterburyearthquake,whichhadcausedsignificantdamagetotheregionbutnofatalities.Atleast146peoplehavebeenconfirmeddeadandmorethan200peoplehavebeenreportedasmissingasof11:41amlocaltime,27February,makingtheearthquakeoneofthedeadliestnaturaldisastersinNewZealand'srecordedhistory.PrimeMinisterJohnKeystatedthat22February"maywellbeNewZealand'sdarkestday".Nationalsfrommorethan20countriesareamongthosemissing.——FromWikipediaChristChurchCathedral,afterthe2011earthquakecollapseditsspireEmergencyservicesworkersgathernearcollapsingbuildings.Photo:JohnKirk-Anderson

BeforeandafterphotosofthePyneGouldCorporationbuildinginChristchurch.Photo:ChelseaWinter/stuff.co.nz

RescuecrewslookforstaffinthedamagedPyneGouldGuinnessbuildingincentralChristchurch.Photo:SIMONBAKER/Reuters

DebrisoutsidetheChristchurchCatholicCathedral.Photo:DavidWethey/AP/NZPA

AcollapsedbuildinginChristchurch.Photo:DonScott/ThePress

SoilliquefactionThequakewasa"strike-slipeventwithobliquemotion"-mostlyhorizontalmovementwithsomeverticalmovement.However,theverticalaccelerationwasfargreaterthanthehorizontalacceleration.TheintensityfeltinChristchurchwasMMVIII.Thepeakgroundacceleration(PGA)intheChristchurchareaexceeded1.8g(i.e.1.8timestheaccelerationofgravity),withthehighestrecording2.2g,atHeathcoteValleyPrimarySchool,ashakingintensityequivalenttoMMX+.ThisisthehighestPGAeverrecordedinNewZealand;thehighestreadingduringtheSeptember2010eventwas1.26g,recordednearDarfield.ThePGAisalsooneoftheworsteverrecordedintheworld,andwasunusuallyhighfora6.3quake.Bycomparison,the7.0Mw2010HaitiearthquakehadanestimatedPGAof0.5g.Theaccelerationoccurredmainlyinaverticaldirection.Theforceofthequakewas"statisticallyunlikely"tooccurmorethanoncein1000years,accordingtooneseismicengineer,withaPGAgreaterthanmanymodernbuildingsweredesignedtowithstand.Bycomparison,the2010quake-inwhichdamagewaspredominatelytopre-1970sbuildings-exerted65%ofthedesignloadingonbuildings.——FromWikipediaAlthoughsmallerinmagnitudethanthe2010quake,theearthquakewasmoredamaginganddeadlyforanumberofreasons.TheepicentrewasclosertoChristchurch,andshallowerat

5

kilometres(3mi)underground,whereastheSeptemberquakewasmeasuredat10

kilometres(6mi)deep.TheFebruaryearthquakealsooccurredduringlunchtimeonaweekday,whentheCBDwasbusy,andmanybuildingswerealreadyweakenedfromthepreviousquakes.Liquefactionwas3–5timesgreaterthanthatofthe2010quake,with100,000-150,000tonnesofsandlikelytoberemovedfromaffectedsites.Theincreasedliquefactioncausedsignificantgroundmovementandunderminingmanyfoundationsanddestroyinginfrastructure.The2011earthquakeofthePacificcoastofTōh(huán)okuTōh(huán)oku-chihōTaiheiyōOkiJishin),alsoknownasthe2011Tohokuearthquake,ortheGreatEastJapanEarthquake,wasamagnitude9.0(Mw)underseamegathrustearthquakeoffthecoastofJapanthatoccurredat14:46JST(05:46UTC)onFriday,11March2011,withtheepicenterapproximately70kilometres(43

mi)eastoftheOshikaPeninsulaofTōh(huán)okuandthehypocenteratanunderwaterdepthofapproximately32

km(20

mi).ItwasthemostpowerfulknownearthquakeevertohavehitJapan,andoneofthefivemostpowerfulearthquakesintheworldsincemodernrecord-keepingbeganin1900.Theearthquaketriggeredpowerfultsunamiwavesthatreachedheightsofupto40.5metres(133

ft)inMiyakoinTōh(huán)oku'sIwatePrefecture,andwhich,intheSendaiarea,travelledupto10

km(6

mi)inland.TheearthquakemovedHonshu2.4

m(8

ft)eastandshiftedtheEarthonitsaxisbyestimatesofbetween10

cm(4

in)and25

cm(10

in).2011Tōh(huán)okuearthquakeandtsunami

MapoftheTōh(huán)okuearthquakeandaftershockson11–14March

AnaerialviewofdamageintheSendairegionwithblacksmokecomingfromtheNipponOilSendaioilrefinery

2011Tōh(huán)okuearthquakeandtsunami2011年日本東北部地震及海嘯仙臺一倒塌的鋼筋混凝土建筑（來源：?merAYDAN等）2011年日本東北地震及海嘯仙臺一嚴(yán)重受損的鋼筋混凝土建筑（來源：?merAYDAN等）The2018OaxacaearthquakeoccurredonFebruary16,2018at17:39localtime(23:39UTC)intheSierraMadredelSurinOaxacastateinSouthernMexico.Ithadamagnitudeof7.2onthemomentmagnitudescaleandamaximumfeltintensityofVII(verystrong)ontheMercalliintensityscale.Thehypocenterwaslocatedatadepthof24.6kmandapproximately37kmnortheastofPinotepadeDonLuis.Historically,severalsignificantearthquakeshaveoccurredalongthesoutherncoastofMexico.In1932,aM8.4thrustearthquakestruckintheregionofJalisco,severalhundredkilometerstothenorthwestoftheOaxacaevent.OnOctober9,1995,aM8.0earthquakestruckintheColima-Jaliscoregion,resultinginatleast49fatalitiesandleaving1,000peoplehomeless.ThedeadliestnearbyearthquakeoccurredonSeptember19,1985,intheMichoacanregion500

kmtothenorthwestoftheFebruary16thevent.ThisM8.0earthquakeresultedinatleast9,500fatalities,injuredabout30,000people,andleft100,000peoplehomeless.In2003,aM7.6earthquakeinColima,Mexico,resultedin29fatalities,destroyedmorethan2,000homesandleftmorethan10,000peoplehomeless.InMarch2012,aM7.4earthquake60

kmtothenorthwestoftheFebruary16,2018eventkilled2andinjured11intheOaxacaregion.ThehypocenteroftheM8.2earthquakeofftheshoreofChiapasinSeptember2017waslocated440

kmsouthwestofthisearthquake.TheChiapaseventcausedatleast78fatalitiesand250injuriesinOaxaca,andafurther16deathsinChiapas.Elevendayslater,aM7.1earthquakestruckclosertoMexicoCity,230

kmnortheastoftoday’searthquake,resultinginover300fatalitiesandsignificantdamageinMexicoCityandthesurroundingregion.2018OaxacaearthquakeOn25February2018,at17:44UTC,anearthquakeof7.5momentmagnitudestruckontheboundaryofHelaandSouthernHighlandsProvinces,14kilometres(10

mi)southwestofKomo.核心設(shè)備為三維地震模擬振動臺,臺面面積20m×15m、厚度5.5m、重770t;X向和Y向加振器各5套,Z向加振器14套,加振系統(tǒng)為MTS驅(qū)動設(shè)備、現(xiàn)代先進(jìn)液壓伺服控制,最大承載力1200t,最大水平和豎向加速度分別超過900cm/s2、1500cm/s2,最大水平和豎向速度分別為200cm/s、70cm/s,最大水平和豎向位移分別為±100cm、±70cm,最大水平和豎向轉(zhuǎn)矩分別為150MN·m、40MN·m,水平和豎向運(yùn)行頻率為0.1Hz～50Hz,能夠模擬阪神地震極震區(qū)的主震,并實(shí)施原型結(jié)構(gòu)的強(qiáng)震反應(yīng)、破壞、倒塌試驗(yàn)。E-DefenseHyogoEarthquakeengineeringResearchCenter,NationalResearchInstituteforEarthScienceandDisasterPrevention試驗(yàn)概況:6層RC住宅,2×3跨,跨度5m、層高2.5m,二樓和五樓配有原型家具,試驗(yàn)體總高16.2m、上臺重約1000t,輸入：JMAKobe波。FilmofTacomaNarrowsBridgeCollapseTheoriginalTacomaNarrowsBridgetwistedandvibratedviolentlyunder40-mile-per-hour(64

km/h)windsthedayofthecollapse.教材及參考文獻(xiàn)結(jié)構(gòu)動力學(xué)(第2版修訂版)，R.克拉夫、J.彭津，王光遠(yuǎn)等譯校，

高等教育出版社，2006.11結(jié)構(gòu)動力學(xué):理論及其在地震工程中的應(yīng)用(第2版)，AnilK.Chopra著，謝禮立、呂大剛等譯，高等教育出版社，2007.1DynamicsofStructures(3rdEdition)，RayW.CloughandJosephPenzien,Computers&Structures,Inc.,Berkeley,USADynamicsofStructures:TheoryandApplicationstoEarthquakeEngineering(3rdEdition),AnilK.Chopra結(jié)構(gòu)力學(xué)教程（Ⅱ），龍馭球、包世華等，高等教育出版社DynamicsofStructures(3rdEdition)學(xué)習(xí)要求Clarifythepurposesandrequirements.Takethenotes.Studyactively.Relatetoengineeringproblemsifpossible.…結(jié)構(gòu)動力學(xué)第一篇單自由度體系第二篇多自由度體系第三篇具有分布參數(shù)的體系第四篇隨機(jī)振動第五篇結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析Theprimarypurposeofthisbookistopresentmethodsforanalyzingthestressesanddeflectionsdevelopedinanygiventypeofstructurewhenitissubjectedtoanarbitrarydynamicloading.Inonesense,thisobjectivemaybeconsideredtobeanextensionofstandardmethodsofstructuralanalysis,whichgenerallyareconcernedwithstaticloadingonly,topermitconsiderationofdynamicloadingaswell.Inthiscontext,thestatic-loadingconditionmaybelookeduponmerelyasaspecialformofdynamicloading.However,intheanalysisofalinearstructureitisconvenienttodistinguishbetweenthestaticandthedynamiccomponentsoftheappliedloading,toevaluatetheresponsetoeachtypeofloadingseparately,andthentosuperposethetworesponsecomponentstoobtaintheirtotaleffect.Whentreatedthusly,thestaticanddynamicmethodsofanalysisarefundamentallydifferentincharacter.Chapter1Overviewofstructuraldynamics雙語實(shí)踐1第一章結(jié)構(gòu)動力學(xué)概述

結(jié)構(gòu)動力學(xué)是結(jié)構(gòu)力學(xué)的一個(gè)分支，著重研究結(jié)構(gòu)對于動荷載的響應(yīng)（如位移、應(yīng)力等的時(shí)間歷程），以便確定結(jié)構(gòu)的承載能力和動力學(xué)特性，或?yàn)楦纳平Y(jié)構(gòu)的性能提供依據(jù)。動荷載的特性結(jié)構(gòu)的動力特性結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析§1-1概述輸入（動力荷載）結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）輸出（動力反應(yīng)）第一類問題：反應(yīng)分析（結(jié)構(gòu)動力計(jì)算）第二類問題：參數(shù)（或稱系統(tǒng)）識別輸入（動力荷載）結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）輸出（動力反應(yīng)）第三類問題：荷載識別輸入（動力荷載）結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）輸出（動力反應(yīng)）第四類問題：控制問題輸入（動力荷載）結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）輸出（動力反應(yīng)）控制系統(tǒng)（裝置、能量）-----控制問題輸入（動力荷載）結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）輸出（動力反應(yīng)）第一類問題：反應(yīng)分析（結(jié)構(gòu)動力計(jì)算）第二類問題：參數(shù)（或稱系統(tǒng)）識別輸入（動力荷載）結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）輸出（動力反應(yīng)）第三類問題：荷載識別。輸入（動力荷載）結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）輸出（動力反應(yīng)）-----正問題-----反問題-----反問題剛度、約束桿件尺寸截面特性動位移加速度速度動應(yīng)力動力系數(shù)隨時(shí)間變化質(zhì)量、剛度阻尼、約束頻率、振型輸入Input輸出Output結(jié)構(gòu)體系靜力響應(yīng)靜荷載位移內(nèi)力應(yīng)力大小方向作用點(diǎn)數(shù)值結(jié)構(gòu)體系動力響應(yīng)輸入Input輸出Output動荷載大小方向作用點(diǎn)時(shí)間變化時(shí)間函數(shù)結(jié)構(gòu)動力體系§1-2動荷載的定義和分類荷載：荷載三要素：荷載分類：作用在結(jié)構(gòu)上的主動力大小、方向和作用點(diǎn)作用時(shí)間：作用位置：對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的動力效應(yīng)：恒載活載固定荷載移動荷載靜荷載動荷載

大小、方向和作用點(diǎn)不隨時(shí)間變化或變化很緩慢的荷載。靜荷載：動荷載：

大小、方向或作用點(diǎn)隨時(shí)間變化很快的荷載。是否會使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生顯著的加速度快慢標(biāo)準(zhǔn)：質(zhì)量運(yùn)動加速度所引起的慣性力與其它外荷載相比是否可以忽略顯著標(biāo)準(zhǔn)：動荷載的定義荷載在大小、方向或作用點(diǎn)方面隨時(shí)間變化，使得質(zhì)量運(yùn)動加速度所引起的慣性力與荷載相比大到不可忽略時(shí)，則把這種荷載稱為動荷載。問題：你知道有哪些動荷載？LoadinghistoriesTypicalexamplesFIGURE1-1Characteristicsandsourcesoftypicaldynamicloadings:(a)simpleharmonic;(b)complex;(c)impulsive;(d)long-duration.LoadinghistoriesTypicalexamples2024/2/26蘭州理工大學(xué)土木工程學(xué)院韓建平45Twobasicallydifferentapproachesareavailableforevaluatingstructuralresponsetodynamicloads:deterministicandnondeterministic.Thechoiceofmethodtobeusedinanygivencasedependsuponhowtheloadingisdefined.Ifthetimevariationofloadingisfullyknown,eventhoughitmaybehighlyoscillatoryorirregularincharacter,itwillbereferredtohereinasaprescribeddynamicloading;andtheanalysisoftheresponseofanyspecifiedstructuralsystemtoaprescribeddynamicloadingisdefinedasadeterministicanalysis.雙語實(shí)踐2Ingeneral,structuralresponsetoanydynamicloadingisexpressedbasicallyintermsofthedisplacementsofthestructure.Thus,adeterministicanalysisleadsdirectlytodisplacementtime--historiescorrespondingtotheprescribedloadinghistory;otherrelatedresponsequantities,suchasstresses,strains,internalforces,etc.,areusuallyobtainedasasecondaryphaseoftheanalysis.Ontheotherhand,anondeterministicanalysisprovidesonlystatisticalinformationaboutthedisplacementsresultingfromthestatisticallydefinedloading;correspondinginformationontherelatedresponsequantitiesarethengeneratedusingindependentnondeterministicanalysisprocedures.雙語實(shí)踐3動荷載的分類：概念：動荷載是時(shí)間的函數(shù)！分類：動荷載確定性荷載非確定性荷載周期性荷載非周期性荷載prescribeddynamicloadingrandomdynamicloading突加荷載沖擊荷載確定性荷載：例如：簡諧荷載荷載的變化是時(shí)間的確定性函數(shù)。例如：風(fēng)荷載地震作用平均風(fēng)脈動風(fēng)非確定性荷載：荷載隨時(shí)間的變化是不確定的或不確知的，又稱為隨機(jī)荷載。結(jié)構(gòu)在確定性荷載作用下的響應(yīng)分析通常稱為結(jié)構(gòu)振動分析。結(jié)構(gòu)在隨機(jī)荷載作用下的響應(yīng)分析，被稱為結(jié)構(gòu)的隨機(jī)振動分析。本課程主要學(xué)習(xí)確定性荷載作用下的結(jié)構(gòu)振動分析。與結(jié)構(gòu)靜力學(xué)相比，動力學(xué)的復(fù)雜性表現(xiàn)在：§1-3動力問題的基本特性動力問題具有隨時(shí)間而變化的性質(zhì)；數(shù)學(xué)解答不是單一的數(shù)值，而是時(shí)間的函數(shù)；慣性力是結(jié)構(gòu)內(nèi)部彈性力所平衡的全部荷載的一個(gè)重要部分！引入慣性力后涉及到二階微分方程的求解；需考慮結(jié)構(gòu)本身的動力特性：剛度分布、質(zhì)量分布、阻尼特性分布的影響；(a)(b)FIGURE1-2Basicdifferencebetweenstaticanddynamicloads:(a)staticloading;(b)dynamicloading.Astructural--dynamicproblemdiffersfromitsstatic--loadingcounterpartintwoimportantrespects.Thefirstdifferencetobenoted,bydefinition,isthetime--varyingnatureofthedynamicproblem.Becausebothloadingandresponsevarywithtime,itisevidentthatadynamicproblemdoesnothaveasinglesolution,asastaticproblemdoes;insteadtheanalystmustestablishasuccessionofsolutionscorrespondingtoalltimesofinterestintheresponsehistory.Thusadynamicanalysisisclearlymorecomplexandtime--consumingthanastaticanalysis.Thesecondandmorefundamentaldistinctionbetweenstaticanddynamicprob-lemsisillustratedinFig.1.-2.雙語實(shí)踐Inertialforceswhichresistaccelerationsofthestructureinthiswayarethemostimportantdistinguishingcharacteristicofastructural--dynamicsproblem.Ingeneral,iftheinertialforcesrepresentasignificantportionofthetotalloadequilibratedbytheinternalelasticforcesofthestructure,thenthedynamiccharacteroftheproblemmustbeaccountedforinitssolution.Ontheotherhand,ifthemotionsaresoslowthattheinertialforcesarenegligiblysmall,theanalysisofresponseforanydesiredinstantoftimemaybemadebystaticstructural--analysisprocedureseventhoughtheloadandresponsemaybetime--varying.雙語實(shí)踐§1-4離散化方法1.集中質(zhì)量法把結(jié)構(gòu)的分布質(zhì)量按一定的規(guī)則集中到結(jié)構(gòu)的某個(gè)或某些位置上，成為一系列離散的質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)量塊。適用于大部分質(zhì)量集中在若干離散點(diǎn)上的結(jié)構(gòu)。例如：房屋結(jié)構(gòu)一般簡化為層間剪切模型。Lumped-MassProcedure

例如：討論：動力自由度Thenumberofdisplacementcomponentswhichmustbeconsideredinordertorepresenttheeffectsofallsignicantinertialforcesofastructuremaybetermedthenumberofdynamicdegreesoffreedomofthestructure.結(jié)構(gòu)的動力自由度：描述體系在運(yùn)動過程中任意時(shí)刻全部質(zhì)量的位置所需要的獨(dú)立幾何參數(shù)的數(shù)目。FIGURE1-3Lumped-massidealizationofasimplebeam.Forexample,ifthethreemassesinthesystemofFig.1--3arefullyconcentratedandareconstrainedsothatthecorrespondingmasspointstranslateonlyinaverticaldirection,thiswouldbecalledathree--degree--of--freedom(3DOF)system.Ontheotherhand,ifthesemassesarenotfullyconcentratedsothattheypossessfiniterotationalinertia,therotationaldisplacementsofthethreepointswillalsohavetobeconsidered,inwhichcasethesystemhas6DOF.Ifaxialdistortionsofthebeamaresignificant,translationdisplacementsparallelwiththebeamaxiswillalsoresultgivingthesystem9DOF.Moregenerally,ifthestructurecandeforminthree--dimensionalspace,eachmasswillhave6DOF;thenthesystemwillhave18DOF.However,ifthemassesarefullyconcentratedsothatnorotationalinertiaispresent,thethree--dimensionalsystemwillthenhave9DOF.Onthebasisoftheseconsiderations,itisclearthatasystemwithcontinuouslydistributedmass,asinFig.1--2b,hasaninfinitenumberofdegreesoffreedom.Thelumped--massidealizationdescribedaboveprovidesasimplemeansoflimitingthenumberofdegreesoffreedomthatmustbeconsideredinconductingadynamicanalysisofanarbitrarystructuralsystem.Thelumpingprocedureismosteffectiveintreatingsystemsinwhichalargeproportionofthetotalmassactuallyisconcentratedatafewdiscretepoints.Thenthemassofthestructurewhichsupportstheseconcentrationscanbeincludedinthelumps,allowingthestructureitselftobeconsideredweightless.雙語實(shí)踐適用于質(zhì)量分布比較均勻，形狀規(guī)則且邊界條件易于處理的結(jié)構(gòu)。例如：右圖簡支梁的變形可以用三角函數(shù)的線性組合來表示。2.廣義坐標(biāo)法假定具有分布質(zhì)量的結(jié)構(gòu)在振動時(shí)的位移曲線可用一系列規(guī)定的位移曲線的和來表示：GeneralizedDisplacements則組合系數(shù)Ak(t)稱為體系的廣義坐標(biāo)。定義假定具有分布質(zhì)量的結(jié)構(gòu)在振動時(shí)的位移曲線為y(x,t)，可用一系列位移函數(shù)的線性組合來表示：廣義坐標(biāo)位移函數(shù)或形函數(shù)廣義坐標(biāo)表示相應(yīng)位移函數(shù)的幅值，是隨時(shí)間變化的函數(shù)。廣義坐標(biāo)確定后，可由給定的位移函數(shù)確定結(jié)構(gòu)振動的位移曲線。以廣義坐標(biāo)作為自由度，將無限自由度體系轉(zhuǎn)化為有限個(gè)自由度。所采用的廣義坐標(biāo)數(shù)代表了所考慮的自由度數(shù)。3.有限單元法先把結(jié)構(gòu)劃分成適當(dāng)（任意）數(shù)量的單元；對每個(gè)單元施行廣義坐標(biāo)法，通常取單元的節(jié)點(diǎn)位移作為廣義坐標(biāo)；對每個(gè)廣義坐標(biāo)取相應(yīng)的位移函數(shù)（插值函數(shù)）；由此提供了一種有效的、標(biāo)準(zhǔn)化的、用一系列離散坐標(biāo)表示無限自由度的結(jié)構(gòu)體系。要點(diǎn)：——將有限元法的思想用于解決結(jié)構(gòu)的動力計(jì)算問題。對分布質(zhì)量的實(shí)際結(jié)構(gòu)，體系的自由度數(shù)為單元節(jié)點(diǎn)可發(fā)生的獨(dú)立位移未知量的總個(gè)數(shù)。綜合了集中質(zhì)量法和廣義坐標(biāo)法的某些特點(diǎn)，是最靈活有效的離散化方法，它提供了既方便又可靠的理想化模型，并特別適合于用電子計(jì)算機(jī)進(jìn)行分析，是目前最為流行的方法。已有不少專用的或通用的程序（如SAP、ANSYS、ABAQUS等）供結(jié)構(gòu)分析之用。包括靜力、動力和穩(wěn)定分析。Athirdmethodofexpressingthedisplacementsofanygivenstructureintermsofafinitenumberofdiscretedisplacementcoordinates,whichcombinescertainfeaturesofboththelumped--massandthegeneralized--coordinateprocedures,hasnowbecomepopular.Thisapproach,whichisthebasisofthefinite--elementmethodofanalysisofstructuralcontinua,providesaconvenientandreliableidealizationofthesystemandisparticularlyeffectiveindigital--computeranalyses.

雙語實(shí)踐高層建筑結(jié)構(gòu)的有限元模型——法門寺合十舍利塔效果圖振動臺實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ虯BAQUS有限元模型大型橋梁結(jié)構(gòu)的有限元模型第2次課結(jié)束（2學(xué)時(shí)）§1-5運(yùn)動方程的建立在結(jié)構(gòu)動力分析中，描述體系質(zhì)量運(yùn)動規(guī)律的數(shù)學(xué)方程，稱為體系的運(yùn)動微分方程，簡稱運(yùn)動方程。定義運(yùn)動方程的解揭示了體系在各自由度方向的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律。建立運(yùn)動方程是求解結(jié)構(gòu)振動問題的重要基礎(chǔ)。常用方法：直接平衡法、虛功法、變分法。建立體系運(yùn)動方程的方法直接平衡法，又稱動靜法、慣性力法，將動力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為任一時(shí)刻的靜力學(xué)問題：根據(jù)達(dá)朗貝爾原理（d’Alembert’sprinciple），把慣性力作為附加的虛擬力，并考慮阻尼力、彈性力和作用在結(jié)構(gòu)上的外荷載，使體系處于動力平衡條件，按照靜力學(xué)中建立平衡方程的思路，直接寫出運(yùn)動方程。虛功法:根據(jù)虛功原理，即作用在體系上的全部力在虛位移上所做的虛功總和為零的條件，導(dǎo)出以廣義坐標(biāo)表示的運(yùn)動方程。變分法:通過對表示能量關(guān)系的泛函的變分建立方程。根據(jù)理論力學(xué)中的哈密頓原理或其等價(jià)形式的拉格朗日方程導(dǎo)出以廣義坐標(biāo)表示的運(yùn)動方程。Hamilton原理：在任何時(shí)間區(qū)間t1到t2內(nèi)，動能和勢能的變分加上所考慮的非保守力所作的功的變分必須等于零。優(yōu)點(diǎn)：只和純粹的標(biāo)量——能量有關(guān)。——體系的總動能；——體系的位能，包括應(yīng)變能及任何保守外力的勢能；——作用于體系上的非保守力（包括阻尼力及任意外荷）所作的功；——在指定時(shí)間區(qū)間內(nèi)所取的變分。拉格朗日方程：——拉格朗日函數(shù)，動能與勢能之差：或拉格朗日方程可由Hamilton原理導(dǎo)出！單自由度體系模型質(zhì)量塊m，用來表示結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和慣性特性自由度只有一個(gè)：水平位移y(t)無重彈簧，剛度為k，提供結(jié)構(gòu)的彈性恢復(fù)力無重阻尼器，阻尼系數(shù)c，表示結(jié)構(gòu)的能量耗散，提供結(jié)構(gòu)的阻尼力隨時(shí)間變化的荷載F(t)第二章運(yùn)動方程的建立承受動力荷載的任何線性結(jié)構(gòu)體系的主要物理特性是體系的質(zhì)量、彈性特性（剛度或柔度）、能量耗散機(jī)理或阻尼、以及外部擾力或荷載單自由度體系運(yùn)動方程的建立（直接平衡法）建立計(jì)算模型取質(zhì)點(diǎn)為隔離體畫平衡力系建立平衡方程直接平衡法，又稱動靜法，將動力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為任一時(shí)刻的靜力學(xué)問題：根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，把慣性力作為附加的虛擬力，并考慮阻尼力、彈性力和作用在結(jié)構(gòu)上的外荷載，使體系處于動力平衡條件，按照靜力學(xué)中建立平衡方程的思路，直接寫出運(yùn)動方程。直接平衡法根據(jù)所用平衡方程的不同，直接平衡法又分為剛度法和柔度法。平衡方程：根據(jù)D’Alembert原理：等于彈簧剛度與位移的乘積：阻尼力等于阻尼系數(shù)與速度的乘積：由此得到體系的運(yùn)動方程：（2-3）慣性力：彈性力：阻尼力：剛度法:取每一運(yùn)動質(zhì)量為隔離體，通過分析所受的全部外力，建立質(zhì)量各自由度的瞬時(shí)力平衡方程，得到體系的運(yùn)動方程。平衡方程：剛度法步驟：1.在質(zhì)量上沿位移正向加慣性力；2.求發(fā)生位移y所需之力；3.令該力等于體系外力和慣性力。試用剛度法建立圖示剛架的運(yùn)動方程[解]1）確定自由度數(shù):橫梁剛性，柱子無軸向變形。2）確定自由度的位移參數(shù)。3）質(zhì)量受力分析：取剛梁為隔離體，確定所受的所有外力！4）列動平衡方程：1個(gè)自由度。其中各力的大?。何灰品ǎ褐右欢水a(chǎn)生單位平移時(shí)的桿端剪力等效粘滯阻尼力：柱端發(fā)生平移y

時(shí)產(chǎn)生的梁-柱間剪力：由此得到體系的運(yùn)動方程：慣性力：彈性力Fs=Fs1+Fs2：由此得到體系的運(yùn)動方程：比較：；k為（等效）剛度系數(shù)。令：運(yùn)動方程與(2-3)的形式是一樣的！(2-3)柔度法以結(jié)構(gòu)整體為研究對象，通過分析所受的全部外力，利用結(jié)構(gòu)靜力分析中計(jì)算位移的方法，根據(jù)位移協(xié)調(diào)條件建立體系的運(yùn)動方程。柔度法步驟：1.在質(zhì)量上沿位移正向加慣性力；2.求外力和慣性力引起的位移；3.令該位移等于體系位移。[例]試用柔度法建立圖示簡支梁的運(yùn)動方程[解]1）確定自由度數(shù):集中質(zhì)量，僅豎向位移：2）確定自由度的位移參數(shù)：質(zhì)量m

的位移：3）體系受力分析：取梁整體為隔離體，確定所受的所有外力！1個(gè)自由度。4）列位移方程：改寫成：Dp為動荷載q(t)

引起的質(zhì)量沿y方向的位移：其中：d為自由度方向加單位力所引起的位移，即柔度：慣性力：阻尼力：由此得到體系的運(yùn)動方程：位移方程：比較：含義：等效動荷載直接作用在質(zhì)量自由度上產(chǎn)生的動位移與實(shí)際動荷載產(chǎn)生的位移相等！令：FE(t)

定義為體系的等效動荷載或等效干擾力。其通用表達(dá)式（2-3）已經(jīng)知道柔度d和剛度k

之間的關(guān)系為：結(jié)論：任何一個(gè)單自由度體系的運(yùn)動方程都可以抽象成為一質(zhì)量、彈簧、阻尼器體系的運(yùn)動方程，一般形式為：比較：剛架：（2-3）基本質(zhì)量彈簧體系：表達(dá)式成為：簡支梁：[例]：應(yīng)用D’Alembert原理推導(dǎo)圖示質(zhì)量-彈簧-阻尼體系的運(yùn)動方程，假定運(yùn)動方向是豎向的，不計(jì)空氣阻力。重力的影響Thus,theweightforcecanbeeliminatedfromthedifferentialequationofmotionofanSDOFsystemifthedisplacementofthemassismeasuredrelativetoitsstaticequilibriumposition.[例]：應(yīng)用D’Alembert原理推導(dǎo)圖示體系的運(yùn)動方程，按相對于基礎(chǔ)的位移列出運(yùn)動方程表達(dá)式。地基運(yùn)動的影響Thus,basemotionhastheeffectofaddingareversedinertialforcetotheotherappliedforces.Sincerelativemotionmaybemoreimportantthanabsolutemotion,andsincethebaseacceleration,,ismucheasiertomeasurethanthebasevelocityorbasedisplacement,therearemanyapplicationswhereEq.6ismoreusefulthanEq.列運(yùn)動方程例題例3.mEIlEIl1例4.mEIl/2EIl/21層間側(cè)移剛度mEIlEIl1

對于帶剛性橫梁的剛架(剪切型剛架),當(dāng)兩層之間發(fā)生相對單位水平位移時(shí),兩層之間的所有柱子中的剪力之和稱作該層的層間側(cè)移剛度.EIllEIEIEI三、列運(yùn)動方程例題列運(yùn)動方程時(shí)可不考慮重力影響例5.mEIl/2l/2W---P(t)引起的動位移---重力引起的位移質(zhì)點(diǎn)的總位移為加速度為列運(yùn)動方程例題例6.m1EIl/3l/3l/3m2=簡記為位移向量柔度矩陣荷載向量質(zhì)量矩陣加速度向量例7.m1m2=剛度矩陣?yán)?.m1m2=+例7.m1m2例8建立圖示體系的運(yùn)動方程m2mlllkAy(t)2y(t)3y(t)作業(yè)Chopra教材1.1-1.5、1.12-1.16第3次課結(jié)束（2學(xué)時(shí)）第三章

自由振動反應(yīng)表征結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)特性的一些固有量稱為結(jié)構(gòu)的動力特性，又稱自振特性。定義結(jié)構(gòu)的振動反應(yīng)結(jié)構(gòu)的動力特性與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、剛度、阻尼及其分布有關(guān)。定義結(jié)構(gòu)受外部干擾后發(fā)生振動，而在干擾消失后繼續(xù)振動，這種振動稱為結(jié)構(gòu)的自由振動。如果結(jié)構(gòu)在振動過程中不斷地受到外部干擾力作用，這種振動稱為結(jié)構(gòu)的強(qiáng)迫振動，又稱受迫振動。結(jié)構(gòu)的自由振動與受迫振動固有頻率質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動過程中完成一個(gè)完整的循環(huán)所需要的時(shí)間稱為周期，單位時(shí)間內(nèi)完成的循環(huán)次數(shù)稱為頻率。結(jié)構(gòu)在自由振動時(shí)的頻率稱為結(jié)構(gòu)的自振頻率或固有頻率。對大部分工程結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)的自振頻率的個(gè)數(shù)與結(jié)構(gòu)的動力自由度數(shù)相等。結(jié)構(gòu)的自振頻率與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度有關(guān)。阻尼結(jié)構(gòu)在振動過程中的能量耗散作用稱為阻尼。結(jié)構(gòu)的自由振動會因?yàn)樽枘嶙饔枚S時(shí)間衰減并最終停止。由于阻尼而使振動衰減的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)稱為有阻尼系統(tǒng)。阻尼原因復(fù)雜：內(nèi)摩擦、連接摩擦、周圍介質(zhì)阻力等。等效粘滯阻尼：以阻尼器表示結(jié)構(gòu)阻尼作用：c

為阻尼系數(shù)，為質(zhì)量的速度?！?-1運(yùn)動方程的解最簡單的由剛體、彈簧和阻尼器組成的單自由度體系.

已經(jīng)得到單自由度體系的運(yùn)動方程：（3-1）這個(gè)運(yùn)動方程也適用于可轉(zhuǎn)換為單自由度體系的任何復(fù)雜結(jié)構(gòu)體系的廣義坐標(biāo)反應(yīng)。運(yùn)動方程：等效動荷載為零的情況下的振動稱為自由振動。定義自由振動產(chǎn)生的原因：初始時(shí)刻的干擾！

初始位移；初始速度；初始位移+初始速度結(jié)構(gòu)受外部干擾后發(fā)生振動，而在干擾消失后繼續(xù)振動，這種振動稱為結(jié)構(gòu)的自由振動。去掉外荷載p(t)=0!上式稱為（二階線性常系數(shù)）齊次方程；

齊次方程的求解：可設(shè)齊次方程解的形式為：（3-3）

其特征方程為：或：代入（3-2）可得：（3-4）（3-2）稱為（二階線性常系數(shù)）齊次方程(Homogeneousequation)；式中ω2=k/m，ω是體系振動的圓頻率。根據(jù)阻尼系數(shù)c值的不同，解出的特征參數(shù)s值將具有不同的特性。（3-2）§3-2無阻尼自由振動Ifc=0：

特征方程：自由振動方程：（3-7）

引入Euler方程：

代入(3-2)得：（3-9）A和B是由初始條件決定的常數(shù)。得無阻尼自由振動的位移反應(yīng)：（3-10）（3-2）設(shè)t=0時(shí)：代入：代入：單自由度無阻尼體系運(yùn)動方程的解：（3-11）或?qū)懗桑海?-14）位移反應(yīng)：（3-10）三角關(guān)系：對比(3-11)，顯然有：(3-13)成為：即：（3-14）（3-11）（3-14）物理意義：（3-11）（3-14）物理意義：（3-11）定義對于無阻尼體系，運(yùn)動完全是反復(fù)進(jìn)行的。運(yùn)動的最大位移稱為振幅。運(yùn)動完成一個(gè)完整循環(huán)所需時(shí)間稱為自振周期，由于對應(yīng)每個(gè)角增量

2p

便發(fā)生一個(gè)完整循環(huán)，自振周期就是：

單位時(shí)間內(nèi)的循環(huán)次數(shù)稱為自振頻率：

運(yùn)動的角速度稱為自振圓頻率：§3-3阻尼自由振動對于有阻尼的單自由度體系

特征方程：自由振動方程：∵

則：隨著根號中值的符號的不同，這個(gè)表達(dá)式可以描述臨界阻尼、低阻尼和超阻尼三種體系的運(yùn)動型式。本課程只講臨界阻尼和低阻尼兩種情況。（3-2）1.臨界阻尼當(dāng)根式中的值為零時(shí)，對應(yīng)的阻尼值稱為臨界阻尼，記作cc。顯然，應(yīng)有cc/2m=w，即：

特征方程的根：

這時(shí)，對應(yīng)的s

值為：自由振動方程：臨界阻尼自由振動方程的解為：（3-19）（3-20）（3-2）由初始條件：得到臨界阻尼體系反應(yīng)的最終形式：

臨界阻尼位移解：臨界阻尼體系反應(yīng)不是簡諧振動，體系的位移反應(yīng)從開始時(shí)的，依照指數(shù)規(guī)律衰減，回復(fù)到零點(diǎn)。臨界阻尼的物理意義是：在自由振動反應(yīng)中不出現(xiàn)震蕩所需要的最小阻尼值。速度（3-20）2.低阻尼

特征方程：自由振動方程：如果體系的阻尼比臨界阻尼小，則顯然有

，這時(shí)，特征方程根式中的值必然為負(fù)值，則s值成為：引入符號：（3-2）如果體系的阻尼比臨界阻尼小，則顯然有

，這時(shí)，特征方程根式中的值必然為負(fù)值，則s值成為：其中

表示體系阻尼與臨界阻尼的比值，稱為阻尼比，則：成為：低阻尼自由振動方程：的解為：

引入Euler方程：引入符號：其中wd

稱為有阻尼振動頻率。則（3-25）則利用初始條件：得到低阻尼體系動力反應(yīng)的最終形式：

（3-25）寫成矢量表達(dá)式：運(yùn)動的振幅（矢量的模）和初相位分別為：（3-27）低阻尼體系動力反應(yīng)：

物理意義：低阻尼體系的自由振動具有不變的圓頻率ωd

，并圍繞中心位置振蕩，而其振幅則隨時(shí)間呈指數(shù)e-xωt

衰減。如果反應(yīng)的時(shí)間足夠長，最終會衰減到零。2.超阻尼體系

特征方程：自由振動方程：如果體系的阻尼比臨界阻尼大，則顯然有c/2m>ω

，這時(shí)，特征方程根式中的值為正值，則s值成為：（3-2）（3-38）超阻尼體系反應(yīng)不是震蕩的，體系的位移反應(yīng)從開始時(shí)的，依照雙曲函數(shù)規(guī)律衰減，回復(fù)到零點(diǎn)。返回速度較臨界阻尼時(shí)更快。確定體系阻尼比的一種方法體系的阻尼比可以通過測試體系運(yùn)動的衰減規(guī)律得到：阻尼體系動力反應(yīng)：體系從任一時(shí)刻經(jīng)幾個(gè)周期后的振幅比為：取對數(shù)后：（3-35）阻尼很小時(shí)：體系阻尼的測試：2）計(jì)算阻尼比：確定結(jié)構(gòu)體系阻尼的其它方法。1）實(shí)測體系經(jīng)過n個(gè)周期后的位移幅值比：3）計(jì)算阻尼系數(shù)：（3-36）模態(tài)參數(shù)識別計(jì)算圖示剛架的阻尼系數(shù)已知：

柱子無重、剛性梁；

F=90kN使大梁產(chǎn)生5mm的初位移；擺動1周后的位移4mm；周期為1.4s.[解]確定梁的有效質(zhì)量:計(jì)算阻尼系數(shù)：阻尼特性:確定體系的自振頻率:六周以后振幅：作業(yè)Clough教材：P26:2-1、2-2、2-3Chopra教材2.1、2.4、2.7、2.132-1COMPONENTSOFTHEBASICDYNAMICSYSTEMTheessentialphysicalpropertiesofanylinearlyelasticstructuralormechanicalsystemsubjectedtoanexternalsourceofexcitationordynamicloadingareitsmass,elasticproperties(flexibilityorstiffness),andenergy--lossmechanismordamping.InthesimplestmodelofaSDOFsystem,eachofthesepro