正余弦定理妙解三角形問題和最值問題 （11大核心考點）（講義）（原卷版）-2024年高考數(shù)學二輪復習講練測（新教材新高考）

專題12正余弦定理妙解三角形問題和最值問題【目錄】 2 3 3 4 6考點一：倍長定比分線模型 6考點二：倍角定理 7考點三：角平分線模型 8考點四：隱圓問題 10考點五：正切比值與和差問題 11考點六：四邊形定值和最值 12考點七：邊角特殊，構建坐標系 14考點八：利用正、余弦定理求解與三角形的周長、面積有關的問題 14考點九：利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范圍 15考點十：三角形中的幾何計算 17考點十一：三角形的形狀判定 19解三角形是每年高考?？純?nèi)容，在選擇、填空題中考查較多，有時會出現(xiàn)在選擇題、填空題的壓軸小題位置，綜合考查以解答題為主，中等難度．考點要求考題統(tǒng)計考情分析正弦定理2023年北京卷第7題，4分2023年乙卷第4題，5分2022年II卷第18題，12分【命題預測】預測2024年高考仍將重點考查已知三角形邊角關系利用正弦定理解三角形及利用正余弦定理解平面圖形的邊、角與面積，題型既有選擇也有填空更多是解答題，若考解答題，主要放在前兩題位置，為中檔題，若為選題可以為基礎題，多為中檔題，也可為壓軸題．余弦定理2022年乙卷第17題，12分2021年乙卷第15題，5分2021年浙江卷第14題，6分三角形的幾何計算2023年甲卷第16題，5分2023年II卷第17題，10分2022年天津卷第16題，15分2021年乙卷第9題，5分范圍與最值問題2022年上海卷第19題，14分2022年甲卷第16題，5分2022年I卷第18題，12分1、正弦定理和余弦定理的主要作用，是將三角形中已知條件的邊、角關系轉(zhuǎn)化為角的關系或邊的關系，基本思想是方程思想，即根據(jù)正弦定理、余弦定理列出關于未知元素的方程，通過解方程求得未知元素．2、與三角形面積或周長有關的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理，進行邊和角的轉(zhuǎn)化．要適當選用公式，對于面積公式，一般是已知哪一個角就使用哪個公式．3、對于利用正、余弦定理解三角形中的最值與范圍問題，主要有兩種解決方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是將所求式轉(zhuǎn)化為只含有三角形某一個角的三角函數(shù)形式，結合角的范圍，確定所求式的范圍．4、利用正、余弦定理解三角形，要注意靈活運用面積公式，三角形內(nèi)角和、基本不等式、二次函數(shù)等知識．5、正弦定理和余弦定理是求解三角形周長或面積最值問題的殺手锏，要牢牢掌握并靈活運用．利用三角公式化簡三角恒等式，并結合正弦定理和余弦定理實現(xiàn)邊角互化，再結合角的范圍、輔助角公式、基本不等式等求其最值．6、三角形中的一些最值問題，可以通過構建目標函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，再利用單調(diào)性求解．7、“坐標法”是求解與解三角形相關最值問題的一條重要途徑．充分利用題設條件中所提供的特殊邊角關系，建立恰當?shù)闹苯亲鴺讼担x取合理的參數(shù)，正確求出關鍵點的坐標，準確表示出所求的目標，再結合三角形、不等式、函數(shù)等知識求其最值．1．（2023?北京）在中，，則A． B． C． D．2．（2023?乙卷）在中，內(nèi)角，，的對邊分別是，，，若，且，則A． B． C． D．3．（2021?乙卷）魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關于測量的數(shù)學著作，其中第一題是測量海島的高．如圖，點，，在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”，則海島的高A．表高 B．表高 C．表距 D．表距4．（2022?上海）已知在中，，，，則的外接圓半徑為．5．（2023?上海）已知中，角，，所對的邊，，，則．6．（2021?乙卷）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，面積為，，，則．7．（2021?浙江）在中，，，是的中點，，則；．8．（2022?甲卷）已知中，點在邊上，，，．當取得最小值時，．9．（2022?新高考Ⅱ）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，分別以，，為邊長的三個正三角形的面積依次為，，．已知，．（1）求的面積；（2）若，求．10．（2022?乙卷）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知．（1）證明：；（2）若，，求的周長．11．（2022?天津）在中，角，，所對的邊分別為，，．已知，，．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．考點一：倍長定比分線模型如圖，若在邊上，且滿足，，則延長至，使，連接，易知∥，且，．．例1．（2023·河南安陽·高三統(tǒng)考期末）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，且AB邊上的中線，則面積的最大值為（

）A． B． C．3 D．例2．（2023·湖南長沙·高三寧鄉(xiāng)一中?？计谥校┰Oa，b，c分別為的內(nèi)角A，B，C的對邊，AD為BC邊上的中線，c＝1，，．(1)求AD的長度；(2)若E為AB上靠近B的四等分點，G為的重心，連接EG并延長與AC交于點F，求AF的長度．例3．（2023·遼寧·校聯(lián)考二模）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，(1)求角B的大??；(2)若，D為邊AB上一點，且，求的值．考點二：倍角定理，這樣的三角形稱為“倍角三角形”．推論1：推論2：例4．（2023·江蘇連云港·高三統(tǒng)考期中）在中，AB＝4，AC＝3．(1)若，求的面積；(2)若A＝2B，求BC的長．例5．（2023·廣西欽州·高三?？茧A段練習）在銳角中，角所對的邊為，且.(1)證明:(2)若，求的取值范圍.例6．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考一模）在銳角中，角，，所對的邊為，，，且．(1)證明：；(2)求的取值范圍．例7．（2023·遼寧鞍山·鞍山一中?？家荒＃┮阎猘，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，S為的面積，．（1）證明：；（2）若，且為銳角三角形，求S的取值范圍．考點三：角平分線模型角平分線張角定理：如圖，為平分線，（參考一輪復習）斯庫頓定理：如圖，是的角平分線，則，可記憶：中方=上積一下積．例8．（2023·貴州貴陽·高三貴陽一中?？茧A段練習）在中，內(nèi)角的對邊分別為，且.(1)求角的大小；(2)邊上存在點，使為的角平分線，若，求的周長.例9．（2023·浙江·高三浙江省長興中學校聯(lián)考期中）已知在中，角，，的對邊分別為，，，.(1)求角的大??；(2)若，，的角平分線交于，求的值.例10．（2023·福建福州·高三校聯(lián)考期中）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設.(1)求A；(2)若AD為∠BAC的角平分線，且，求的最小值.例11．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習）的內(nèi)角，，的對邊分別記為，，，若，，從下面條件①②③中任選一個作為已知條件，完成以下問題：①；②；③．(1)求的面積；(2)若的角平分線與邊交于點，延長至點使得，求．考點四：隱圓問題若三角形中出現(xiàn)，且為定值，則點C位于阿波羅尼斯圓上．例12．（2023·全國·高三專題練習）若滿足條件，，則面積的最大值為.例13．（2023·湖南長沙·高三雅禮中學?？茧A段練習）在中，，則的面積最大值為．例14．（2023·福建·高三統(tǒng)考階段練習）波羅尼斯（古希臘數(shù)學家，約公元前262-190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)k（且）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有，，則當?shù)拿娣e最大時，AC邊上的高為.例15．（2023·安徽馬鞍山·高三和縣第二中學?？茧A段練習）阿波羅尼斯是古希臘數(shù)學家，他與阿基米德、歐幾里得被稱為亞歷山大時期的“數(shù)學三巨匠”，以他名字命名的阿波羅尼斯圓是指平面內(nèi)到兩定點距離之比為定值（）的動點的軌跡.已知在中，角的對邊分別為，則面積的最大值為．例16．（2023·四川眉山·統(tǒng)考三模）阿波羅尼奧斯是與阿基米德、歐幾里得齊名的古希臘數(shù)學家，以他姓名命名的阿氏圓是指平面內(nèi)到兩定點的距離的比值為常數(shù)的動點的軌跡．已知在中，角、、所對的邊分別為、、，且，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．考點五：正切比值與和差問題定理1：定理2：定理3：（正切恒等式）中，．例17．（2023·山東日照·高三校聯(lián)考期末）已知的三個內(nèi)角A，B，C滿足，則（

）A．是銳角三角形 B．角的最大值為C．角的最大值為 D．例18．（2023·河南安陽·高三統(tǒng)考階段練習）在中，角所對的邊分別為，若，且，則．例19．（2023·江蘇南通·高三統(tǒng)考期中）在中，點D在邊BC上，且，記.(1)當，，求；(2)若，求的值.例20．（2023·河南焦作·高三統(tǒng)考期中）在銳角中，分別為角所對的邊，，且的面積．(1)若，求；(2)求的最大值．考點六：四邊形定值和最值正常的四邊形我們不去解釋，只需多一次余弦定理即可，我們需要注意一些圓內(nèi)接的四邊形，尤其是擁有對角互補的四邊形，尤其一些四邊形還需要引入托勒密定理．勒密定理：在四邊形中，有，當且僅當四邊形ABCD四點共圓時，等號成立．例21．（2023·全國·高三專題練習）如圖．在平面四邊形中，．設，證明：為定值．例22．（2023·安徽·高三合肥一中校聯(lián)考階段練習）如圖，平面四邊形的對角線分別為，，其中，，．

(1)若，的面積為，求的面積；(2)若，，求的值．例23．（2023·福建漳州·高三漳州三中?？茧A段練習）在四邊形中，，.(1)若，求；(2)若，求.考點七：邊角特殊，構建坐標系利用坐標法求出軌跡方程例24．（2023·全國·河南省實驗中學?？寄M預測）已知三角形中，，角的平分線交于點，若，則三角形面積的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4例25．（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）在中，，點在邊上，且，若，則長度的最大值為（）A．3 B．4 C．5 D．6例26．（2023·全國·高三專題練習）在等邊中，為內(nèi)一動點，，則的最小值是（

）A．1 B． C． D．考點八：利用正、余弦定理求解與三角形的周長、面積有關的問題與三角形面積或周長有關的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理，進行邊和角的轉(zhuǎn)化．要適當選用公式，對于面積公式，一般是已知哪一個角就使用哪個公式．例27．（2023·四川·高三校聯(lián)考階段練習）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求角的大小；(2)若，，求的周長.例28．（2023·湖北宜昌·高三統(tǒng)考期中）在中，內(nèi)角的對邊分別為，且，．(1)求證：是等腰三角形；(2)若，求的周長和面積．例29．（2023·全國·模擬預測）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且．(1)求；(2)若為的中點，且，求的面積．考點九：利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范圍對于利用正、余弦定理解三角形中的最值與范圍問題，主要有兩種解決方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是將所求式轉(zhuǎn)化為只含有三角形某一個角的三角函數(shù)形式，結合角的范圍，確定所求式的范圍．例30．（2023·全國·模擬預測）已知在銳角中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，．(1)求角C的大??；(2)若，求的面積S的取值范圍．例31．（2023·全國·模擬預測）已知中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)若，求c的值以及的面積；(2)若，求的值以及的取值范圍．例32．（2023·重慶·高三重慶市萬州沙河中學校聯(lián)考階段練習）在銳角中，內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)求A;(2)求的取值范圍.例33．（2023·全國·模擬預測）已知為銳角三角形，其內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為，，，.(1)求的取值范圍；(2)若，求周長的取值范圍.例34．（2023·江西·高三臨川一中校聯(lián)考階段練習）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求B；(2)若，，從下面兩個條件中選一個，求的最小值．①點M，N分別是邊，上的動點（不包含端點），且；②點M，N是邊上的動點（不包含端點且），且．注：如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．例35．（2023·全國·河南省實驗中學?？寄M預測）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求；(2)若是上的一點，且，求的最小值．考點十：三角形中的幾何計算解決三角形中幾何計算的方法：方法一：兩次應用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為簡單的問題，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相結合是解三角形問題的常用思路；方法四：構造輔助線作出相似三角形，結合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關系的不錯選擇；方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運算法則可以將其與余弦定理充分結合到一起；方法六：建立平面直角坐標系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問題更加直觀化.例36．（2023·廣東珠?！じ呷y(tǒng)考期末）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)求B；(2)已知，D為邊上的一點，若，，求的長．例37．（2023·江西南昌·高三南昌市八一中學?？?/p>