人教A版（2019）必修第二冊 第六章 6.3.1 平面向量基本定理（教學(xué)課件）

第六章

§6.3平面向量基本定理及坐標表示6.3.1平面向量基本定理學(xué)習(xí)目標XUEXIMUBIAO1.理解平面向量基本定理及其意義，了解向量基底的含義.2.掌握平面向量基本定理，會用基底表示平面向量.3.會應(yīng)用平面向量基本定理解決有關(guān)平面向量的綜合問題.內(nèi)容索引知識梳理題型探究隨堂演練課時對點練1知識梳理PARTONE1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個

向量，那么對于這一平面內(nèi)的

向量a，

實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2.基底：若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)

向量的一個基底.知識點平面向量基本定理不共線任一有且只有一對所有思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.平面內(nèi)任意兩個向量都可以作為平面內(nèi)所有向量的一個基底.(

)2.基底中的向量不能為零向量.(

)3.平面向量基本定理中基底的選取是唯一的.(

)4.若e1，e2是同一平面內(nèi)兩個不共線向量，則λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2為實數(shù))可以表示該平面內(nèi)所有向量.(

)√×√×2題型探究PARTTWO例1

(多選)設(shè){e1，e2}是平面內(nèi)所有向量的一個基底，則下列四組向量中，能作為基底的是A.e1＋e2和e1－e2

B.3e1－4e2和6e1－8e2C.e1＋2e2和2e1＋e2

D.e1和e1＋e2一、平面向量基本定理的理解√√√解析選項B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴6e1－8e2與3e1－4e2共線，∴不能作為基底，選項A，C，D中兩向量均不共線，可以作為基底.反思感悟考查兩個向量是否能構(gòu)成基底，主要看兩向量是否不共線.此外，一個平面的基底一旦確定，那么平面上任意一個向量都可以由這個基底唯一線性表示.跟蹤訓(xùn)練1

已知向量{a，b}是一個基底，實數(shù)x，y滿足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，則x－y＝_____.3解析因為{a，b}是一個基底，所以a與b不共線，所以x－y＝3.二、用基底表示向量解因為DC∥AB，AB＝2DC，E，F(xiàn)分別是DC，AB的中點，延伸探究本例中，若設(shè)BC的中點為G，則

＝________.反思感悟平面向量基本定理的作用以及注意點(1)根據(jù)平面向量基本定理可知，同一平面內(nèi)的任何一個基底都可以表示該平面內(nèi)的任意向量.用基底表示向量，實質(zhì)上是利用三角形法則或平行四邊形法則，進行向量的線性運算.(2)基底的選取要靈活，必要時可以建立方程或方程組，通過方程或方程組求出要表示的向量.a＋b2a＋c三、平面向量基本定理的應(yīng)用例3

如圖，在△ABC中，點M是BC的中點，點N在AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點P，求AP∶PM與BP∶PN的值.∵A，P，M和B，P，N分別共線，由平面向量基本定理，反思感悟若直接利用基底表示向量比較困難，可設(shè)出目標向量并建立其與基底之間滿足的二元關(guān)系式，然后利用已知條件及相關(guān)結(jié)論，從不同方向和角度表示出目標向量(一般需建立兩個不同的向量表達式)，再根據(jù)待定系數(shù)法確定系數(shù)，建立方程或方程組，解方程或方程組即得.則λ＋μ＝_____.3隨堂演練PARTTHREE1.(多選)設(shè)點O是平行四邊形ABCD兩對角線的交點，下列向量組可作為該平面其它向量基底的是√√12345123452.下列三種說法：①一個平面內(nèi)只有一組不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底；②一個平面內(nèi)有無數(shù)組不共線向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底；③平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關(guān)于基底的線性分解形式也是唯一確定的.其中，說法正確的為A.①②

B.②③C.①③

D.①②③√√12345A.x＋y－2＝0 B.2x＋y－1＝0C.x＋2y－2＝0 D.2x＋y－2＝0√1234512345課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE1.知識清單：(1)平面向量基本定理.(2)用基底表示向量.(3)平面向量基本定理的應(yīng)用.2.方法歸納：數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū)：忽視基底中的向量必須是不共線的兩個向量.4課時對點練PARTFOUR基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415161.(多選)若{e1，e2}是平面內(nèi)的一個基底，則下列四組向量中不能作為平面向量的基底的是A.{e1－e2，e2－e1}B.{2e1－e2，e1－

e2}C.{2e2－3e1，6e1－4e2}D.{e1＋e2，e1＋3e2}√√√12345678910111213141516解析選項A中，兩個向量為相反向量，即e1－e2＝－(e2－e1)，則e1－e2，e2－e1為共線向量；選項C中，6e1－4e2＝－2(2e2－3e1)，為共線向量.根據(jù)不共線的向量可以作為基底，知只有選項D中的兩向量可作為基底.√12345678910111213141516123456789101112131415163.如果{e1，e2}是平面α內(nèi)所有向量的一個基底，那么下列說法正確的是A.若存在實數(shù)λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，則λ1＝λ2＝0B.對空間任意向量a都可以表示為a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈RC.λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)不一定在平面α內(nèi)D.對于平面α內(nèi)任意向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的實數(shù)λ1，λ2有無數(shù)對√12345678910111213141516解析B錯，這樣的a只能與e1，e2在同一平面內(nèi)，不能是空間任意向量；C錯，在平面α內(nèi)任意向量都可表示為λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋λ2e2一定在平面α內(nèi)；D錯，這樣的λ1，λ2是唯一的，而不是無數(shù)對.√12345678910111213141516√12345678910111213141516123456789101112131415166.已知e1，e2不共線，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使{a，b}能作為平面內(nèi)的一個基底，則實數(shù)λ的取值范圍為_____________________.(－∞，4)∪(4，＋∞)解析若能作為平面內(nèi)的一個基底，則a與b不共線.a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，123456789101112131415168.已知向量a在基底{e1，e2}下可以表示為a＝2e1＋3e2，若a在基底{e1＋e2，e1－e2}下可表示為a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，則λ＝_____，μ＝______.1234567891011121314151612345678910111213141516解方法一設(shè)AC，BD交于點O，123456789101112131415161234567891011121314151610.設(shè)e1，e2是不共線的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)證明：{a，b}可以作為一個基底；證明假設(shè)a＝λb(λ∈R)，則e1－2e2＝λ(e1＋3e2).所以λ不存在.故a與b不共線，可以作為一個基底.12345678910111213141516(2)以{a，b}為基底表示向量c＝3e1－e2.解設(shè)c＝ma＋nb(m，n∈R)，則3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.所以c＝2a＋b.12345678910111213141516綜合運用√12345678910111213141516√12345678910111213141516解析連接CD，OD，圖略，∵點C，D是半圓弧

的兩個三等分點，∴

＝

，∴CD∥AB，∠CAD＝∠DAB＝30°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO＝30°，∴∠CAD＝∠ADO＝30°，∴AC∥DO，12345678910111213141516A.AB邊中線的中點

B.AB邊中線的三等分點(非重心)C.△ABC的重心

D.AB邊的中點√即AB邊中線的三等分點(非重心).1234567891011121314151612345678910111213141516拓廣探究123456789101112131415166解析如圖，以O(shè)A，OB所在射線為鄰邊，OC為對角線作?OMCN，使得M在直線OA上，N在直線OB上，∠COM＝30°，∠OCM＝90°，即λ＝4，μ