北京市海淀區(qū)重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期統(tǒng)考四（開(kāi)學(xué)考）數(shù)學(xué)試題（含答案）

北京市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)統(tǒng)考四班級(jí)：__________學(xué)號(hào)：__________姓名：__________成績(jī)：__________一?選擇題共10小題.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.且D.且2.已知是虛數(shù)單位，若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A.1B.-1C.2D.-23.在的展開(kāi)式中，第4項(xiàng)和第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A.B.C.D.4.函數(shù)的零點(diǎn)分別為，則的大小順序?yàn)椋ǎ〢.B.C.D.5.已知向量，則點(diǎn)到直線的距離為（）A.B.1C.D.6.設(shè)是三角形的兩個(gè)內(nèi)角，下列結(jié)論中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則7.已知直線為圓上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)到直線距離的最大值為，當(dāng)最大時(shí)，的值為（）A.B.C.D.28.已知是無(wú)窮等比數(shù)列，則“存在，使得”是“對(duì)任意，均有”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件9.2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：），三角高程測(cè)量法是珠穆高峰測(cè)量法之一，如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有三點(diǎn)，且在同一水平面上的投影滿足，由點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角為與的差為100，由點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角為，則兩點(diǎn)到水平面的高度差約為（）A.346B.373C.446D.47310.已知拋物線和所圍成的封閉曲線如圖所示，已知點(diǎn)，若在此封閉曲線上至少存在兩對(duì)不同的點(diǎn)，滿足每一對(duì)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.二?填空題共5小題.11.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值是__________.12.已知雙曲線的離心率為2，則實(shí)數(shù)__________.13.已知函數(shù)，若，且函數(shù)的部分圖象如圖所示，則等于__________.14.設(shè)函數(shù)（1）若，則的最大值為_(kāi)_________.（2）若無(wú)最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.15.如圖，在長(zhǎng)方體中，，動(dòng)點(diǎn)分別在線段和上.給出下列四個(gè)結(jié)論：①四面體的體積為；②可能是等邊三角形；③當(dāng)時(shí)，；④有且僅有兩組，使得三棱錐的四個(gè)面均為直角三角形.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________.三?解答題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?演算步驟或證明過(guò)程.16.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期和圖象的對(duì)稱軸方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最值.17.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，為棱的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，再?gòu)臈l件①?條件②?條件③中選擇若干個(gè)作為已知，使四棱錐唯一確定，并求：（i）直線與平面所成角的正弦值；（ii）點(diǎn)到平面的距離.條件①：二面角的大小為；條件②：條件③：.18.“雙減”政策執(zhí)行以來(lái)，中學(xué)生有更多的時(shí)間參加志愿服務(wù)和體育鍛煉等課后活動(dòng).某校為了解學(xué)生課后活動(dòng)的情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)選取100人，統(tǒng)計(jì)了他們一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間（單位：小時(shí)），分別位于區(qū)間，用頻率分布直方圖表示如下：假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且每個(gè)學(xué)生參加課后活動(dòng)的時(shí)間相互獨(dú)立.（1）估計(jì)全校學(xué)生一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間位于區(qū)間的概率；（2）從全校學(xué)生中隨機(jī)選取3人，記表示這3人一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間在區(qū)間的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）設(shè)全校學(xué)生一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間的中位數(shù)估計(jì)值為?平均數(shù)的估計(jì)值為（計(jì)算平均數(shù)時(shí)，同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替），請(qǐng)直接寫出的大小關(guān)系.19.已知橢圓的右頂點(diǎn)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)不在軸上，是坐標(biāo)原點(diǎn)，面積的最大值為1.（1）求橢圓的方程及離心率；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，直線分別與軸相交于點(diǎn).當(dāng)時(shí)，求直線的方程.20.已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最小值；（3）寫出實(shí)數(shù)的一個(gè)值，使得恒成立，并證明.21.已知為有窮正整數(shù)數(shù)列，且，集合.若存在，使得，則稱為可表數(shù)，稱集合為可表集.（1）若，判定31，1024是否為可表數(shù)，并說(shuō)明理由；（2）若，證明：；（3）設(shè)，若，求的最小值.參考答案一?選擇題共10小題.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.【參考答案】D由得，所以，即，且，解得，又因?yàn)?，所以，故選D.2.【參考答案】B因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以所以.3.【參考答案】B4.【參考答案】（2024豐臺(tái)高一上期末7）C5.【參考答案】A由題意得，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以點(diǎn)到的距離為.6.【參考答案】（2020東城高三上期末7）A7.【參考答案】（2022東城高三上期末8）A8.【參考答案】C設(shè)公比為，顯然，且.①由可得顯然有與符號(hào)相同，則.若，則有解得，此時(shí).因?yàn)?，所以，又，所以，所以；若，則有解得.又，所以，此時(shí).因?yàn)椋?，又，所以，所?②因?yàn)椋?因?yàn)槭浅?shù)，所以符號(hào)恒定，所以.若，則，所以，顯然此時(shí)有成立；若，則，此時(shí)有，所以，此時(shí)有成立.綜上所述，“存在，使得”是“對(duì)任意，均有”的充分必要條件.9.【參考答案】（2021高考全國(guó)甲理8）B過(guò)作，過(guò)作，故，由題，易知為等腰直角三角形，所以，所以，因?yàn)?，所以，在中，由正弦定理得：，而，所以，所?10.【參考答案】（2015西城一模理（改編）8）B二?填空題，共5小題.11.【參考答案】.12.【參考答案】（2023平谷一模12）-9.由題知，，則方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，所以，則，所以，解得.13.【參考答案】（2023朝陽(yáng)高三上期末（改編）7）.14.【參考答案】（2023石景山一模14）；.15.【參考答案】（2023昌平二模（改編）15）①③.三?解答題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?演算步驟或證明過(guò)程.16.【參考答案】（1）因?yàn)椋院瘮?shù)的最小正周期，圖象的對(duì)稱軸方程為.（2）因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，取最大值，當(dāng)時(shí)，取最小值.17.【參考答案】（2023房山高三上期末（改編）17）（1）連接，交于，連接，底面是正方形，故是的中點(diǎn)，又因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，所以，在中，而面面，所以平面.（2）選①②：因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)槎娼堑拇笮椋矫嫫矫?，所以，在中，，所以，故，又因?yàn)槠矫?，所以平面，選①③：因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)槎娼堑拇笮?，平面平面，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，所以，所以，即，因?yàn)槠矫?，所以平面，選②③：因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，在中，，故，因?yàn)槠矫?，所以平面，選①②③同上.以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，令為面的一個(gè)法向量，則令，則，所以，即直線與平面所成角的正弦值為，所以點(diǎn)到平面的距離.以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，故，令為面的一個(gè)法向量，則令，則，所以，即直線與平面所成角的正弦值為，所以點(diǎn)到平面的距離.18.【參考答案】（2023東城高三上期末（改編）18）（1）根據(jù)頻率分布直方圖，可得學(xué)生一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間位于區(qū)間的頻率為，因此估計(jì)全校學(xué)生一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間位于區(qū)間的概率為0.65.（2）從全校學(xué)生中隨機(jī)選取1人，其一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間在區(qū)間的概率為0.4.因此.，.則的分布列為：01230.2160.4320.2880.064.（3）.19.【參考答案】（2023朝陽(yáng)高三上期末19）（1）因?yàn)槊娣e的最大值為，所以.又因?yàn)?，所?所以橢圓的方程為，離心率為.（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為.顯然.因?yàn)?，所?不合題意.②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為.由得.顯然.設(shè)，且，則.直線的方程為.令，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，則.直線的方程為.同理可得.所以.所以.即.可得.化簡(jiǎn)得.解得.所以直線的方程為或.20.【參考答案】（1）因?yàn)椋?，所以，所以切線方程為，即.（2）當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，所以恒成立，單調(diào)遞減.所以.（3）.證明：當(dāng)時(shí)，，根據(jù)（2），當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，，所以單調(diào)遞增，，所以單調(diào)遞增.綜上所述，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.21.【參考答案】（2024昌平高三上期末21）（1）因?yàn)?，所?1為可表數(shù).又，所以1024不是可表數(shù).（2）由題設(shè)，，所以.若，則存在，使得，所