2021新高考數(shù)學二輪總復習學案第2講函數(shù)與方程思想數(shù)形結(jié)合思想

第2講函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想一、函數(shù)與方程思想函數(shù)與方程思想,滲透到中學數(shù)學的各個領(lǐng)域,是歷年高考考查的重點和熱點.一般通過函數(shù)與導數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列及解析幾何等知識運用的交匯處,思想方法和相關(guān)能力的結(jié)合處進行考查.思想方法詮釋1.函數(shù)的思想:是用運動和變化的觀點,分析和研究數(shù)學中的數(shù)量關(guān)系,是對函數(shù)概念的本質(zhì)認識,建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù),運用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題,從而使問題獲得解決.2.方程的思想:就是分析數(shù)學問題中變量間的等量關(guān)系,建立方程或方程組,或者構(gòu)造方程,通過解方程或方程組,或者運用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題,使問題獲得解決.方程思想是動中求靜,研究運動中的等量關(guān)系.3.函數(shù)思想與方程思想的聯(lián)系:函數(shù)思想與方程思想密切相關(guān),對于函數(shù)y=f(x),當y=0時,轉(zhuǎn)化為方程f(x)=0,也可以把函數(shù)y=f(x)看作二元方程yf(x)=0.函數(shù)與方程的問題可相互轉(zhuǎn)化.求方程f(x)=0的解就是求函數(shù)y=f(x)的零點.求方程f(x)=g(x)的解的問題,可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=f(x)g(x)與x軸的交點問題.思想分類應(yīng)用應(yīng)用一函數(shù)思想與方程思想的轉(zhuǎn)換

【例1】設(shè)函數(shù)f(x)=1x,g(x)=ax2+bx(a,b∈R,a≠0),若y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且僅有兩個不同的公共點A(x1,y1),B(x2,y2),則下列判斷正確的是(A.當a<0時,x1+x2<0,y1+y2>0B.當a<0時,x1+x2>0,y1+y2<0C.當a>0時,x1+x2<0,y1+y2<0D.當a>0時,x1+x2>0,y1+y2>0思維升華求兩個函數(shù)f(x),g(x)圖象的交點問題通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)F(x)=f(x)g(x)的零點問題.而函數(shù)F(x)的零點問題也可以轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題.【對點訓練1】已知函數(shù)f(x)的定義域為R,且有2f(x)+f(x21)=1,則f(2)=.

應(yīng)用二函數(shù)與方程思想在解三角形中的應(yīng)用

【例2】為了豎一塊廣告牌,要制造三角形支架,如圖,要求∠ACB=60°,BC的長度大于1m,且AC比AB長12m,為了穩(wěn)固廣告牌,要求AC越短越好,則AC最短為(A.1+32m BC.(1+3)m D.(2+3)m思維升華函數(shù)思想的實質(zhì)是使用函數(shù)方法解決數(shù)學問題(不一定只是函數(shù)問題),構(gòu)造函數(shù)解題是函數(shù)思想的一種主要體現(xiàn).方程思想的本質(zhì)是根據(jù)已知得出方程(組),通過解方程(組)解決問題.【對點訓練2】已知a,b,c分別為△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊,S為△ABC的面積,sin(B+C)=2S(1)證明:A=2C;(2)若b=2,且△ABC為銳角三角形,求S的取值范圍.應(yīng)用三函數(shù)與方程思想在比較大小或不等式中的應(yīng)用

【例3】(1)(2020全國Ⅰ,理12)若2a+log2a=4b+2log4b,則()A.a>2b B.a<2bC.a>b2 D.a<b2(2)(2020安徽合肥一中模擬,理12)已知關(guān)于x的不等式ax2e1xxlnx1≤0恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是()A.[0,1] B.(∞,0]C.(∞,1] D.-思維升華1.在解決不等式問題時,一種最重要的思想方法就是構(gòu)造適當?shù)暮瘮?shù),利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問題.2.函數(shù)f(x)>0或f(x)<0恒成立,一般可轉(zhuǎn)化為f(x)min>0或f(x)max<0.已知恒成立求參數(shù)取值范圍可先分離參數(shù),再利用函數(shù)最值求解.【對點訓練3】(1)(2020全國Ⅲ,文10)設(shè)a=log32,b=log53,c=23,則(A.a<c<b B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b(2)若x∈(0,+∞),ex-1x≥xlnx+a恒成立,則aA.1 B.1e C.0 D.應(yīng)用四函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用

【例4】(2020湖南長郡中學四模,文4)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S13=13π4,則cos2a5+cos2a7+cos2a9=(A.1 B.32 C.52 D思維升華在解決數(shù)列問題時,應(yīng)充分利用函數(shù)的有關(guān)知識,解題往往以函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)為紐帶,建立起函數(shù)與數(shù)列間的橋梁,揭示它們內(nèi)在的聯(lián)系,從而有效快速解決數(shù)列問題.【對點訓練4】已知在數(shù)列{an}中,前n項和為Sn,且Sn=n+23an,則anaA.3 B.1 C.3 D.1應(yīng)用五函數(shù)與方程思想在概率中的應(yīng)用

【例5】(2020河北滄州一模,理12)2019年末,武漢出現(xiàn)新型冠狀病毒肺炎(COVID19)疫情,并快速席卷我國其他地區(qū),傳播速度很快.因這種病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株,所以目前沒有特異治療方法,防控難度很大.武漢市出現(xiàn)疫情最早,感染人員最多,防控壓力最大,武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、無法明確排除新冠肺炎的發(fā)熱患者和與確診患者的密切接觸者等“四類”人員,強化網(wǎng)格化管理,不落一戶、不漏一人.在排查期間,一戶6口之家被確認為“與確診患者的密切接觸者”,這種情況下醫(yī)護人員要對其家庭成員隨機地逐一進行“核糖核酸”檢測,若出現(xiàn)陽性,則該家庭為“感染高危戶”.設(shè)該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為p(0<p<1)且相互獨立,該家庭至少檢測了5個人才能確定為“感染高危戶”的概率為f(p),當p=p0時,f(p)最大,則p0=()A.163 B.63 C.12 D思維升華關(guān)于概率的應(yīng)用題,首先應(yīng)用概率的相關(guān)知識得到兩個量的等量關(guān)系,然后利用函數(shù)模型研究函數(shù)的最值、極值問題,重在考查考生的“數(shù)學建?！钡暮诵乃仞B(yǎng)和知識的遷移能力等.【對點訓練5】(2018全國1,理20)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝,每箱200件,每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗,如檢驗出不合格品,則更換為合格品.檢驗時,先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗,再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗.設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0<p<1),且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立.(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p),求f(p)的最大值點p0;(2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件,結(jié)果恰有2件不合格品,以(1)中確定的p0作為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元,若有不合格品進入用戶手中,則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.①若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗,這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X,求E(X);②以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù),是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗?應(yīng)用方法歸納函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個方面:(1)借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì),解有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題;(2)在研究問題中通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù),把研究的問題化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì),達到化難為易、化繁為簡的目的.二、數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想是解答高考數(shù)學試題的一種常用方法與技巧,在高考試題中,數(shù)形結(jié)合思想主要用于解選擇題和填空題,有直觀、簡單、快捷等特點;而在解答題中,考慮到推理論證的嚴密性,圖形只是輔助手段,最終要用“數(shù)”寫出完整的解答過程.思想方法詮釋以形助數(shù)(數(shù)題形解)以數(shù)輔形(形題數(shù)解)借助形的生動性和直觀性來闡述數(shù)形之間的聯(lián)系,即以形作為手段,數(shù)作為目的借助于數(shù)的精確性和規(guī)范性及嚴密性來闡明形的某些屬性,即以數(shù)作為手段,形作為目的數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù),以數(shù)輔形”,使復雜問題簡單化,抽象問題具體化,能夠變抽象思維為形象思維,有助于把握數(shù)學問題的本質(zhì)思想分類應(yīng)用應(yīng)用一利用數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的零點

【例1】(2020天津,9)已知函數(shù)f(x)=x3,x≥0,-x,x<0.若函數(shù)g(x)=f(x)|kx22x|(k∈A.-∞,-12∪(22B.-∞,-12C.(∞,0)∪(0,22)D.(∞,0)∪(22,+∞)思維升華討論方程的解(或函數(shù)的零點)的個數(shù)一般可構(gòu)造兩個函數(shù),轉(zhuǎn)化為討論兩曲線(或曲線與直線等)的交點個數(shù),其基本步驟是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個熟悉函數(shù)的表達式(不熟悉時,需要作適當變形轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)),再在同一平面直角坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象,圖象的交點個數(shù)即為方程解(或函數(shù)零點)的個數(shù).【對點訓練1】(2020安徽安慶二模,理12)函數(shù)f(x)=|lnx|ax恰有兩個零點x1,x2,且x1<x2,則x1所在區(qū)間為()A.0,1eC.1e2,應(yīng)用二利用數(shù)形結(jié)合思想求參數(shù)的范圍或解不等式

【例2】(2020湖南永州二模,理9)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x<0時,f(x)=2|x+2|.若對任意的x∈[1,2],f(x+a)>f(x)成立,則實數(shù)a的取值范圍是()A.(0,2) B.(0,2)∪(∞,6)C.(2,0) D.(2,0)∪(6,+∞)思維升華在解含有參數(shù)的不等式時,由于涉及參數(shù),往往需要討論,導致演算過程煩瑣冗長.如果題設(shè)與幾何圖形有聯(lián)系,那么利用數(shù)形結(jié)合的方法,問題將會簡練地得到解決.【對點訓練2】(2020北京,6)已知函數(shù)f(x)=2xx1,則不等式f(x)>0的解集是()A.(1,1) B.(∞,1)∪(1,+∞)C.(0,1) D.(∞,0)∪(1,+∞)應(yīng)用三數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何中的應(yīng)用

【例3】(2020山東棗莊二模,8)已知點P(m,n)是函數(shù)y=-x2-2x圖象上的動點,則|4m+3n21|A.25 B.21 C.20 D.4思維升華1.如果等式、代數(shù)式的結(jié)構(gòu)蘊含著明顯的幾何特征,那么就要考慮用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解題,即用幾何法求解,比較常見的有:(1)b-na-m表示兩點(a,b),(m(2)(a-m)2+(b-n)2表示兩點(a,b),(m,n)[2.解析幾何中的一些范圍及最值問題,常結(jié)合幾何圖形的性質(zhì),使問題得到簡便快捷地解決.【對點訓練3】已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,過點F且斜率為1的直線與拋物線C交于A,B兩點,若在以線段AB為直徑的圓上存在兩點M,N,在直線l:x+y+a=0上存在一點Q,使得∠MQN=90°,則實數(shù)a的取值范圍為()A.[13,3] B.[3,1]C.[3,13] D.[13,13]應(yīng)用方法歸納方程思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在四個方面:(1)解方程或解不等式;(2)含參數(shù)的方程或不等式的討論,常涉及一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、區(qū)間根、區(qū)間上恒成立等知識的應(yīng)用;(3)需要轉(zhuǎn)化為方程的討論,如曲線的位置關(guān)系等;(4)構(gòu)造方程或不等式求解問題.第2講函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想一、函數(shù)與方程思想思想分類應(yīng)用【例1】B解析在同一坐標系中分別畫出兩個函數(shù)的圖象,當a<0時,要想滿足條件,如圖,作出點A關(guān)于原點的對稱點C,則C點坐標為(x1,y1).由圖象知x1<x2,y1>y2,即x1+x2>0,y1+y2<0,同理當a>0時,則有x1+x2<0,y1+y2>0,故選B.對點訓練113解析取x=2,則有2f(2)+f(1)=1,①取x=1,則有2f(1)+f(0)=1,②取x=0,則有2f(0)+f(1)=1,③取x=1,則有2f(1)+f(0)=1,④解由③④組成的方程組,得f(0)=13,代入②得f(1)=13,再將f(1)=13代入①,得f(2【例2】D解析設(shè)BC的長度為xm,AC的長度為ym,則AB的長度為y-12m.在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC22AC·BCcos∠ACB,即y-122=y2+x22yx×12,化簡得y(x1)=x214.∵x>1,∴x1>0,∴y=x2-14x-1,即y=(x1)+34(x-1)對點訓練2(1)證明由sin(B+C)=2Sa2-c2,即sinA=2Sa2-c2,得sinA=由余弦定理得a2=b2+c22bccosA,則bc=b22bccosA.又b≠0,∴c=b2c·cosA,由正弦定理得sinC=sinB2sinC·cosA,即sinC=sin(A+C)2sinC·cosA=sin(AC).又0<A<π,0<C<π,∴A=2C.(2)解∵A=2C,∴B=π3C,∴sinB=sin3C.∵asinA∴a=2sin2C∴S=12ab·sinC==2sin2=2tan2=4∵△ABC為銳角三角形,∴即0∴π6<C<π4,∴tan∴S=43tan∴S∈【例3】(1)B(2)C解析(1)由指數(shù)與對數(shù)運算可得,2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b.因為22b+log2b<22b+log22b=22b+1+log2b,所以2a+log2a<22b+log22b.令f(x)=2x+log2x,由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增.由f(a)<f(2b)可得a<2b.(2)原不等式?axe1x≤lnx+1x(x>0),當a≤0時,令g(x)=lnx+1x,則g'(x)=所以g(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,且g(1)=1,所以lnx+1x≥1,顯然有axe1x≤lnx+當a>0時,令f(x)=axe1xlnx1x,則f'(x)=1所以f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,所以f(x)max=f(1)≤0即可,因為f(1)=a1,所以0<a≤1.綜上,a≤1.故選C.對點訓練3(1)A(2)C解析(1)∵32a=32log32=log3223=log98∵32b=32log53=log5233=log2527>1,∴b>23.又c=2(2)設(shè)t=xlnx,則ex-1x=et1,原不等式等價于et1t設(shè)g(x)=xlnx,則g'(x)=11x是單調(diào)遞增的,零點為x=1,所以g(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以函數(shù)g(x)的最小值為1,故t≥1.令f(t)=et1t,f'(t)=et11,零點是t=1,f(t)在[1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,故f(t)min=0,故a≤0.故選C【例4】B解析S13=13(a1+a13)2=13a7=13π4,則2a7=π2.設(shè)f(x)=cosx,cos2a5因為f(x)=cosx圖象的對稱中心為π2+kπ,0,k∈Z,且2a7=π2,2a5+2a9所以cos2a5即原式=32.故選對點訓練4C解析∵Sn=n+23an,∴當n≥2時,an=SnSn1=n+23ann+13·an1,可化為anan-1=n+1n-1=1+2n-1(n≥2).由函數(shù)y=2【例5】A解析設(shè)事件A:檢測5個人確定為“感染高危戶”,事件B:檢測6個人確定為“感染高危戶”,∴P(A)=p(1p)4,P(B)=p(1p)5.即f(p)=p(1p)4+p(1p)5=p(2p)(1p)4.設(shè)x=1p>0,則g(x)=(1x)(1+x)x4=(1x2)x4,∴g(x)=(1x2)x4=12×[(22x2)×x2×x2]當且僅當22x2=x2,即x=63時取等號,即p=p0=163.對點訓練5解(1)20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)=C202p2(1p)則f'(p)=C202[2p(1p)1818p2(1p)17]=2C202p(1p)17(1令f'(p)=0,得p=0.1.當p∈(0,0.1)時,f'(p)>0;當p∈(0.1,1)時,f'(p)<0.所以f(p)的最大值點為p0=0.1.(2)由(1)知,p=0.1.①令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù),依題意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y.所以E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=490.②如果對余下的產(chǎn)品作檢驗,則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費為400元.由于E(X)>400,故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗.二、數(shù)形結(jié)合思想思想分類應(yīng)用【例1】D解析f(x)=x3,x≥0,-x,x<0,g(x)=f(x)|kx22x|有4個零點(1)若k>0,則如圖.①∵1k>1k3,∴k3>k,∴左側(cè)無交點.②x3=kx22x要有三個根,即x2kx+2=0有兩根,∵Δ=k28>0,∴k>22綜上①②,k>22(2)若k<0,如圖.∵點1k,-1k恰在y=x上,且過二次函數(shù)圖象的頂點,∴綜上,k∈(∞,0)∪(22,+∞).故選D.對點訓練1D解析當a≤0時不符合題意;當a>0時,考查函數(shù)g(x)=|lnx|與h(x)=ax的圖象的交點.易知,g(x)與h(x)圖象在區(qū)間(0,1)內(nèi)必有一個交點,則在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)有且僅有一個公共點,當x∈(1,+∞)時,f(x)=lnxax,f'(x)=1-axx,則f(x)在0,1a所以[f(x)]max=f1a=ln1則只需ln1a1=0,故a=當x∈(0,1)時,f(x)=lnx1ex易知f1e=11e2>0,f(1)=1e<0,可知x1【例2】D解析∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x<0時,f(x)=2|x+2|.作出f(x