6.4.1正余弦定理（原卷版）-高一數(shù)學(xué)下學(xué)期《一隅三反》（人教A版2019）

6.4.1正余弦定理考法一正余弦定理的選擇【例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知△中，(1)若a＝3，，，求c；(2)若a＝8，，，求c；(3)若a＝7，，，求c；(4)若a＝14，，，求∠C．（5）若，，，解此三角形.（6）若，，，解此三角形.【一隅三反】1.（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，，B＝45°，解這個(gè)三角形．2．（2023湖北）在中，，，，求a，c的值．3（2024·上海）在中，已知，，.求、及.4．（2024·上?！じ咭患倨谧鳂I(yè)）在中，已知，解此三角形.5．（2023甘肅）在中，(1)已知，，，求；(2)已知，，，求；(3)已知，，，求；(4)已知，，，求．考法二正余弦定理的邊角互化【例2】（1）（2023·浙江金華）在中，角所對(duì)的邊分別為，若，則角。（2）（2023·遼寧）已知中，角的對(duì)邊分別為，，則角．（3）（2024·北京石景山）在中，，則（4）（2024·北京房山）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，則.【一隅三反】1（2023下·貴州黔西）在中，已知，則角A等于2．（2024上·廣東汕尾·）在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，且.求角3（2023·福建廈門·）在中，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，，則A的值為4．（2024·四川攀枝花）的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且，則．考法三三角形的面積公式【例31】（2023·上海）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則的面積為．【例32】（2023·北京東城）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，且，，則；面積為．【例33】（2023·上海閔行）在中，，，，則邊上的高為．【一隅三反】1．（2023·福建福州）中，角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，若，，，則的面積為.2（2023上·全國(guó)）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，，，則△ABC的面積為．3.（2023·四川內(nèi)江）在中，角的對(duì)邊分別為，且，的面積為，則的值為.考法四判斷三角形的形狀【例41】（2023·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）在中，角的對(duì)邊分別為，且，則為（

）A．等腰三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【例42】（2023下·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期末）在中，角所對(duì)的邊分別為．若，則為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【一隅三反】1．（2023·河北）在中，角對(duì)邊為，且，則的形狀為（

）A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形2．（2023下·山東濱州·高一山東省北鎮(zhèn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且滿足，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形3（2023下·河南商丘·高一商丘市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，則△ABC是（

）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．等邊三角形 D．的三角形考法五判斷三角形的個(gè)數(shù)【例5】（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）根據(jù)下列條件，判斷有沒(méi)有解？若有解，判斷解的個(gè)數(shù).(1)，，；(2)，，；(3)，，；(4)，，；(5)，，.【一隅三反】1．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）在銳角三角形ABC中，，，則邊的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2022下·福建莆田·高一莆田一中?？计谀┰谥?，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，3（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，，，，則此三角形的解的情況是（

）A．有一解 B．有兩解C．無(wú)解 D．有解但解的個(gè)數(shù)不確定4．（2023上·北京順義）在中，，，，滿足條件的（

）A．有無(wú)數(shù)多個(gè) B．有兩個(gè) C．有一個(gè) D．不存在考法六正余弦定理在幾何中的運(yùn)用【例61】（2023·廣東珠海）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)求B；(2)已知，D為邊上的一點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)．【例62】（2023·河南）如圖，在四邊形中，的面積為．(1)求；(2)證明：．【一隅三反】1．（2023·安徽六安）在中，角所對(duì)的邊分別為，，，且.(1)求;(2)已知，為邊上的一點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng).2．（2023·四川綿陽(yáng)）在平面四邊形中.(1)求；(2)若求.3.（2023·江蘇南京）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知3asinC=4ccosA，.(1)求；(2)如圖，點(diǎn)M為邊上一點(diǎn)，，，求的面積．考法七距離、高度、角度等測(cè)量問(wèn)題【例7】（2023·全國(guó)·高一課堂例題）如圖，某漁輪在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出呼救信號(hào)．我海軍艦艇在A處獲悉后，測(cè)出該漁輪在方位角為45°、距離為10nmile的C處，并測(cè)得該漁輪正沿方位角為105°的方向，以9nmile/h的速度向小島靠攏．我海軍艦艇立即以21nmile/h的速度前去營(yíng)救．求艦艇的航向和靠攏漁輪所需的時(shí)間（角度精確到0.1°，時(shí)間精確到1min）．【一隅三反】1．（2023·陜西銅川·高二?？计谀┤鐖D，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于，燈塔A在觀察站C的北偏東的方向，燈塔B在觀察站C的南偏東的方向，則燈塔A與燈塔B間的距離為（

）A． B． C． D．2．（2023下·山東泰安·高一統(tǒng)考期中）湖南岳陽(yáng)市岳陽(yáng)樓與湖北武漢黃鶴樓、江西南昌滕王閣并稱為“江南三大名樓”，是“中國(guó)十大歷史文化名樓”之一，世稱“天下第一樓”.因范仲淹作《岳陽(yáng)樓記》使得岳陽(yáng)樓著稱于世.如圖，為了測(cè)量岳陽(yáng)樓的高度，選取了與底部水平的直線，測(cè)得米，則岳陽(yáng)樓的高度為（

）A．米 B．米 C．米 D．米3.．（2023下·福建廈門·高一統(tǒng)考期末）一個(gè)人騎自行車由地出發(fā)向正東方向騎行了到達(dá)地，然后由地向南偏東方向騎行了到達(dá)地，再?gòu)牡叵虮逼珫|方向騎行了到達(dá)地，則兩地的距離為（

）A． B． C． D．4．（2023上·山東泰安·高三新泰市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）公路北側(cè)有一幢樓，高為60米，公路與樓腳底面在同一水平面上.某人在點(diǎn)處測(cè)得樓頂?shù)难鼋菫?，他在公路上自西向東行走，行走60米到點(diǎn)處，測(cè)得仰角為，沿該方向再行走60米到點(diǎn)處，測(cè)得仰角為.則（

）A． B．3 C． D．考法八三角函數(shù)性質(zhì)與正余弦定理綜合運(yùn)用【例8】（2023重慶）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若的外接圓的直徑為，且銳角滿足，求面積的最大值.【一隅三反】1（2023·海南）已知向量，，設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的最大值;（2）在銳角中，三個(gè)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，求的面積.2（2024廣東）在中，角的對(duì)邊分別為.已知向量，向量，且.（1）求角的大?。唬?）若，，求的值.單選題1．（2024·北京）在中，，則（

）A． B． C． D．2．（2024·四川自貢）在中角所對(duì)邊滿足，則（

）A．4 B．5 C．6 D．6或3（2023河南）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若的面積等于，則角的大小為（）A． B． C． D．4.（2023北京）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則是（）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形5.（2023寧夏）在△ABC中，若，則B＝（）A． B． C．或 D．或6（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）在中，角所對(duì)的邊分別為.若，且該三角形有兩解，則的范圍是（

）A． B．C． D．7．（2023上·福建·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）分別為內(nèi)角的對(duì)邊．已知，則的值不可能為（

）A． B． C． D．8.．（2023·重慶）一艘游輪航行到處時(shí)看燈塔在的北偏東，距離為海里，燈塔在的北偏西，距離為海里，該游輪由沿正北方向繼續(xù)航行到處時(shí)再看燈塔在其南偏東方向，則此時(shí)燈塔位于游輪的（）A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向多選題9．（2024上·云南曲靖）在中，，這個(gè)三角形的周長(zhǎng)可能等于（

）A． B． C． D．10．（2024上·遼寧大連）在中，角的對(duì)邊分別是，若，，則（

）A． B．C． D．的面積為11．（2023下·河南省直轄縣級(jí)單位·高一?？茧A段練習(xí)）在中角，，所對(duì)的邊分別為，，，以下敘述或變形中正確的有（

）A． B．C． D．12．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）對(duì)于，（角所對(duì)的邊分別為中的余弦定理是），則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則一定為等腰三角形B．若，則一定為等腰三角形C．若，則D．若，則一定為銳角三角形填空題13．（2023上·云南昆明）在中，若，，則14．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且，則的形狀是.15．（2023下·貴州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，的對(duì)邊分別為，若，則；的范圍.16．（2024·陜西寶雞）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，，且，則.解答題17．（2024上·廣東汕尾）在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，且.(1)求角；(2)若，，求的面積.18．（2024·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.(1)求角的大??；(2)