專(zhuān)題3-3平面向量及其應(yīng)用（講義）原卷版

專(zhuān)題33平面向量及其應(yīng)用01專(zhuān)題網(wǎng)絡(luò)·思維腦圖（含基礎(chǔ)知識(shí)梳理、常用結(jié)論與技巧）02考情分析·解密高考03高頻考點(diǎn)·以考定法（兩大命題方向+6道高考預(yù)測(cè)試題，高考必考·（49）分）考點(diǎn)一平面向量數(shù)量積命題點(diǎn)1平面向量數(shù)量積運(yùn)算命題點(diǎn)2平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算高考猜題考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算命題點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算高考猜題04創(chuàng)新好題·分層訓(xùn)練（精選19道最新名校模擬試題+17道易錯(cuò)提升）真題多維細(xì)目表考點(diǎn)考向考題平面向量數(shù)量積平面向量數(shù)量積運(yùn)算平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算2023年秋考第2題2023年春考第12題2022年秋考第11題2022年春考第10題平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算2023年春考第2題考點(diǎn)一平面向量數(shù)量積命題點(diǎn)1平面向量數(shù)量積的運(yùn)算典例（2023?上海）已知向量，，則．命題點(diǎn)2平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算典例01（2022?上海）若平面向量，且滿足，，，則．典例02（2022?上海）在中，，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，則的最小值為．典例03（2023?上海）已知、、為空間中三組單位向量，且、，與夾角為，點(diǎn)為空間任意一點(diǎn)，且，滿足，則最大值為．考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算命題點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算典例（2023?上海）已知向量，，則．（★精選19道最新名校模擬考試題+17道易錯(cuò)提升）AA·新題速遞一、單選題1．（2023·上海嘉定·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)?？既＃┤鐖D直線l以及三個(gè)不同的點(diǎn)A，，O，其中，設(shè)，，直線l的一個(gè)方向向量的單位向量是，下列關(guān)于向量運(yùn)算的方程甲：，乙：，其中是否可以作為A，關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)的充要條件的方程（組），下列說(shuō)法正確的是（

）A．甲乙都可以 B．甲可以，乙不可以C．甲不可以，乙可以 D．甲乙都不可以2．（2022·上海·上海中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，、是以為直徑的圓上的兩點(diǎn)，其中，，則（

）A．1 B．2 C． D．3．（2023·上海普陀·曹楊二中?？寄M預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)為的外心，且，則為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定4．（2023·上海虹口·華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)?？既＃┰O(shè)是兩個(gè)非零向量的夾角，若對(duì)任意實(shí)數(shù)t，的最小值為1．命題p：若確定，則唯一確定；命題q：若確定，則唯一確定．下列說(shuō)法正確的是（

）A．命題p是真命題，命題q是假命題B．命題p是假命題，命題q是真命題C．命題p和命題q都是真命題D．命題p和命題q都是假命題二、填空題5．（2023·上海楊浦·復(fù)旦附中?？寄M預(yù)測(cè)）若向量與不共線也不垂直，且，則向量夾角.6．（2023·上海寶山·統(tǒng)考一模）已知平面向量、滿足，，則在方向上的數(shù)量投影的最小值是.7．（2022·上海虹口·統(tǒng)考二模）已知向量，滿足，，，則.8．（2023·上海嘉定·統(tǒng)考二模）是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，則．9．（2023·上海浦東新·統(tǒng)考二模）已知邊長(zhǎng)為2的菱形中，，P、Q是菱形內(nèi)切圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的最大值是．10．（2023·上海靜安·統(tǒng)考二模）已知向量，且，的夾角為，，則在方向上的投影向量等于.11．（2023·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知平面向量滿足，則的取值范圍是.12．（2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？级＃┮阎獑挝幌蛄浚魧?duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，則向量的夾角的最小值為.13．（2023·上海徐匯·上海市南洋模范中學(xué)?？既＃┖瘮?shù)沿著向量平移后得到函數(shù)，則向量的坐標(biāo)是.14．（2023·上海浦東新·華師大二附中?？既＃┰谥苯亲鴺?biāo)平面內(nèi)，橫，縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)為整點(diǎn)，點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)跳躍行進(jìn)，每次跳躍的長(zhǎng)度都是5且落在整點(diǎn)處.則點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)所跳躍次數(shù)的最小值是.15．（2023·上海楊浦·同濟(jì)大學(xué)第一附屬中學(xué)?？既＃?duì)任意兩個(gè)非零的平面向量和，定義，若平面向量、滿足，與的夾角，且和都在集合中，則16．（2023·上海長(zhǎng)寧·上海市延安中學(xué)?？既＃┮阎峭粋€(gè)平面上的向量，若，且，則.17．（2023·上海松江·統(tǒng)考二模）已知點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系中關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，且．若存在，使得與垂直，且，則的最小值為．18．（2023·上海黃浦·格致中學(xué)校考三模）已知平面向量，，滿足，，，則的最大值為．19．（2023·上海徐匯·上海市南洋模范中學(xué)?？既＃┮阎矫嫦蛄?，，，滿足，，且，若對(duì)每一個(gè)確定的向量，記的最小值為，則當(dāng)變化時(shí)，實(shí)數(shù)的最大值為.BB·易錯(cuò)提升一．選擇題（共5小題）1．（2023?普陀區(qū)校級(jí)三模）在中，，．若，則A．3 B． C．2 D．2．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中）已知、、、是同一平面上不共線的四點(diǎn)，若存在一組正實(shí)數(shù)、、，使得，則三個(gè)角、、A．都是鈍角 B．至少有兩個(gè)鈍角 C．恰有兩個(gè)鈍角 D．至多有兩個(gè)鈍角3．（2023春?閔行區(qū)校級(jí)月考）已知正六邊形的邊長(zhǎng)為2，是正六邊形邊上任意一點(diǎn)，則的最大值為A．13 B．12 C．8 D．4．（2023春?閔行區(qū)校級(jí)期末）已知直角坐標(biāo)平面上的向量和一組互不相等非零向量、、、滿足：，、2、、．若存在，對(duì)任意，使得為定值，則滿足要求的的個(gè)數(shù)最多是個(gè)．A．2 B．3 C．4 D．無(wú)數(shù)5．（2023秋?浦東新區(qū)期末）已知棱長(zhǎng)均為1的正棱柱有個(gè)頂點(diǎn)，從中任取兩個(gè)頂點(diǎn)作為向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)，設(shè)底面的一條棱為．若集合，則當(dāng)中的元素個(gè)數(shù)最少時(shí)，的值為A．3 B．4 C．6 D．8二．填空題（共7小題）6．（2023?奉賢區(qū)校級(jí)三模）同一平面內(nèi)的兩個(gè)不平行的單位向量，，在上的投影向量為，則．7．（2023春?靜安區(qū)校級(jí)月考）已知直角梯形中，，，，，是腰上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．8．（2023?虹口區(qū)校級(jí)三模）已知平面向量滿足，則的取值范圍是．9．（2023?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)三模）已知，，是同一個(gè)平面上的向量，若，且，則．10．（2023春?楊浦區(qū)校級(jí)期末）“燕山雪花大如席”，北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式將傳統(tǒng)詩(shī)歌文化和現(xiàn)代奧林匹克運(yùn)動(dòng)聯(lián)系在一起，天衣無(wú)縫，讓人們?cè)俅晤I(lǐng)略了中國(guó)悠久的歷史積淀和優(yōu)秀傳統(tǒng)文化恒久不息的魅力．順次連接圖中各頂點(diǎn)可近似得到正六邊．若正六邊形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)是其內(nèi)部一點(diǎn)（包含邊界），則的取值范圍為．11．（2023?虹口區(qū)二模）已知平面向量，，，滿足，，，，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)，均有，則的最小值為．12．（2023?徐匯區(qū)校級(jí)三模）已知平面向量，，，滿足，，且，若對(duì)每一個(gè)確定的向量，記的最小值為，則當(dāng)變化時(shí)，實(shí)數(shù)的最大值為．三．解答題（共5小題）13．（2023春?徐匯區(qū)校級(jí)期末）已知，，．（1）求與的夾角；（2）求．14．（2023春?閔行區(qū)校級(jí)期中）已知單位向量，，與的夾角為．（1）求證：；（2）若，，且，求的值．15．（2023春?寶山區(qū)校級(jí)期中）已知向量，．（1）當(dāng)為何值時(shí)，向量與垂直；（2）當(dāng)為何值時(shí)，向量