2023-數(shù)二真題、標準答案及解析2

2006年全國碩士研究生入學考試數(shù)學(二)

一、填空題

y4-4-<sinX

(1)曲線y=?的水平漸近線方程為.

5x-2cosx

1rx.2

⑵設(shè)函數(shù)/(x)=<A3J。s’11'在x=0處連續(xù)，那么a=.

a,x=0

⑶廣義積分/_^=.

Jo(1+x2)2

(4)微分方程y=XI:2的通解是.

X

⑸設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程y=l-x/確定，那么空|

dx

(2

(6)設(shè)矩陣4=,E為2階單位矩陣，矩陣3滿足84=3+2石，那么囤=

2)

二、選擇題

(7)設(shè)函數(shù)y=f(x)具有二階導數(shù)，且/'(x)>0,f\x)>0,Ax為自變量x在/處的增量，Ay與力

分別為/(x)在點與處對應的增量與微分，假設(shè)8>0,那么

(A)0<Jy<Ay.(B)Q<\y<dy.

(C)\y<dy<Q.(D)dy<\y<Q.[]

(8)設(shè)/(x)是奇函數(shù)，除x=0外處處連續(xù)，x=0是其第一類間斷點，那么J；/⑴山是

(A)連續(xù)的奇函數(shù).(B)連續(xù)的偶函數(shù)

(C)在x=0間斷的奇函數(shù)(D〕在x=0間斷的偶函數(shù).【】

(9)設(shè)函數(shù)g(x)可微，〃(x)=e"M"),〃'(l)=l,g'(l)=2,那么g⑴等于

(A)ln3—1.(B)-ln3-l.

(C)-ln2-l.(D)ln2-l.[]

x2

(10)函數(shù)y=C,e+C2e-'+x/滿足一個微分方程是

(A)yn-y,-2y=3xex,(B)yn-y-2y=3ex.

(C)yn+yf-2y=3xex.(D)y"+y'-2y=3e".

(11)設(shè)/(x,y)為連續(xù)函數(shù)，那么可;/(「cosarsin。)加?等于

也TTP"也

(A)J。？Jxj：Vf(x,y)dy.(B)J02公「*/(%,y)Jy

旦/jyr在F77

22

(C)foc/yf^'f(x,y)dx.(D)jody^f{x,y)dx.[]

(12)設(shè)f(x,y)與e(x,y)均為可微函數(shù)，且d(x,y)wO.(x0,%)是/(x,y)在約束條件e(x,y)=0下

的一個極值點，以下選項正確的是

(A)假設(shè)尸(%,%)=0,那么＜'(%,%)=0.

(B)假設(shè)￡(%,%)=0,那么4(%,打)￥0.

(C)假設(shè)￡'(%,%)00,那么4(%,%)=0.

(D)假設(shè)￡(%,%)片0,那么4(%,%)。0.[1

(13)設(shè)a1，4，-，a，均為九維列向量，A是mx〃矩陣，以下選項正確的是

(A)假設(shè)q,4，線性相關(guān)，那么Aq,A%,,A。,線性相關(guān).

(B)假設(shè)外生線性相關(guān)，那么46，力4，，Aa,線性無關(guān).

(C)假設(shè)4,4，線性無關(guān)，那么Aq,A%,,Aa,線性相關(guān).

(D)假設(shè)q,4，，“，線性無關(guān)，那么Aq,Ag,…，Aa,線性無關(guān).【】

(14)設(shè)A為3階矩陣，將A的第2行加到第1行得6,再將8的第1列的-1倍加到第2列得C,記

‘110、

P=010,那么

、001,

(A)C^P'AP.(B)C^PAP'.

(C)C=PTAP.(D)C=PAP，.

三解答題

15.試確定A,B,C的常數(shù)值，使得0*(1+&+以2)=1+6+。。3),其中。(尤3)是當

xfOO寸上匕3的高階無窮小.

rarcsine'

16.求dx.

17.設(shè)區(qū)域D={(x,y)M+y2wi,xNo},計算二重積分/="公辦.

o1+x+y

18.設(shè)數(shù)列{xa}滿足0V2<匹怎+]=sinxrl(n=0,1,2,)

證明：⑴存在，并求極限；

Xf8

1

(2)計算lim(土紅產(chǎn).

5x.

19.i正明：當0V。<人<加寸,Z?sinZ?+2cosb^-7ib>asina+acosa4-Tia.

20設(shè)函數(shù)/(〃)在(0,+oo)內(nèi)具有二階導數(shù)，且z=滿足等式*+=0.

(1)驗證/"(〃)+4^=0；(II)假設(shè)"1)=0,■⑴=1,求函物⑷的表達式.

21曲線L的方程為卜="+1；(/>0),

［丁=4/-廠

(I)討論L的凹凸性；

(II)過點(-1,0)引L的切線，求切點(%,%),并寫出切線的方程；

(III)求此切線與Z,(對應于xSXo的局部)及x軸所圍成的平面圖形的面積.

X+x2+x3+x4=-1

22非齊次線性方程組<4x,+3々+5毛-5=T有3個線性無關(guān)的解

axt+x2+3X3-bx4=\

I證明方程組系數(shù)矩陣A的秩r(A)=2:

H求。涉的值及方程組的通解.

23設(shè)3階實對稱矩陣A的各行元素之和均為3,向量%=(—1,2,—I)，。？=(0,—1』)’是線性方程組Ax=0

的兩個解，(I)求A的特征值與特征向量(H)求正交矩陣Q和對角矩陣A,使得Q「AQ=A.

2006年全國碩士研究生入學考試數(shù)學(二)真題解析

一、填空題

丫-4-4qinYI

11)曲線y=八十-binx的水平漸近線方程為y=上

5x-2cosx5

—rsinrdt,元。01

(2)設(shè)函數(shù)，(x)=jx3]在戶0處連續(xù)，那么用-

a,x=0

(3)廣義積分)x，dx2=-1

I(1+x2)22

(4)微分方程了=四二也的通解是y=5e-*(XHO)

X------------------------

(5)設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程y=1-x"確定,那么夕.<,=-e

當x=0時，y=l,

又把方程每一項對x求導，y'=-"-

(6)設(shè)4=2,2抑矩陣5滿足班=班2￡那么㈤=.

el2>

解：由班=班2￡化得B(A-￡)=2E,兩邊取行列式,得

\B\\A-E\=\2E\=^,

計算出14團=2,因此出|=2.

二、選擇題

(7)設(shè)函數(shù)y=/(x)具有二階導數(shù)，且/'(x)>0,/7x)>0,Ax為自變量x在點向處的增量,

△y與力分別為/Xx)在點與處對應增量與微分,若Ar>0,那么[A]

(A)0<dy<^y(B)0<Ay<Jy

(C)Ay<i/y<0(D)t7y<Aj<0

由/'(x)>0可知/"(x)嚴格單調(diào)增加

/〃(?，。可知“好是凹的

即知

(8)設(shè)/(x)是奇函數(shù)，除x=0外處處連續(xù)，x=0是其第一類間斷點，那么

X

]7(。小是網(wǎng)

(A)連續(xù)的奇函數(shù)(B)連續(xù)的偶函數(shù)

(C)在x=0間斷的奇函數(shù)(D)在x=0間斷的偶函數(shù)

⑼設(shè)函數(shù)g(x)可微,〃(x)=ei+gM,h'(l)=l,g'(D=2,那么g⑴等于[C]

(A)ln3-l(B)-ln3-l

(C)-ln2-l(D)ln2-l

；“(x)=g'(x)*g"),1=2*g⑴g⑴=—ln2—l

(10)函數(shù)y=G，+。2-2、+工人滿足的一個微分方程是[D]

(A)-yr-2y=3xex(B)y〃—y'—2y=3,

(C)y"+y'-2y=3xex(D)y"+y'—2y=3/

將函數(shù)y=qe*+c/2v+x/代入答案中驗證即可.

41

(11)設(shè)f(x,y)為連續(xù)函數(shù),那么J呵/(爪05，,屬11。)必等于?

00

TQ~2Vl-x2

(A)\dxf(x,y)dy(B)JJf(x,y)dy

0X00

也L

2正yT后

(C)fdyj/(x,y)dx(D)jdyjf(x,y)dx

0y00

(12)設(shè)/(x,y)與(p(x,y)均為可微函數(shù)，且(p'y{x,y)w0,已知(x。，為)是/(匕＞)在約束條件°(x,y)=0下

的一個極值點，以下選項正確的是[D]

(A)假設(shè)/；(%,%)=0,則{'(X。，%)=0

(B)假設(shè)/：(%,%)=0,則/；(%,%)70

(C)假設(shè)/(%%)#0,則*%,%)=0

(D)假設(shè)￡(%,%)/0,則/：(%,%)70

今久(七,先)?0,.?/=—今?代入⑴得/；(工0，為)。：。0，為)

的，為)

%(/，為)。(后,%)

今/：(%,%)#°，，/1/，為)。；(/，為)7°貝U/：(/，%)*°應選[D]

(13)設(shè)a,都是n維向量，4是mxn矩陣，那么()成立.

(A)假設(shè)a,如…,以線性相關(guān),那么Za,4a2,…,4a線性相關(guān).

(B)假設(shè)a,an...a,線性相關(guān),那么Aai,Aai....4as線性無關(guān).

(C)假設(shè)a,a：...a線性無關(guān),那么Aa\,Aa：....Ha線性相關(guān).

(D)假設(shè)a,a>,以線性無關(guān),那么Aa>,Aa>,4r線性無關(guān).

解：(A)

此題考的是線性相關(guān)性的判斷問題，可以用定義解.

假設(shè)a,以線性相關(guān),那么存在不全為0的數(shù)c,cz,…,Cs使得

ciai+c>a>+--+csa：=O,

用4左乘等式兩邊，得

c〃a+c2Za2+…+c/a、=O,

于是Aa>,Aa>,4al線性相關(guān).

如果用秩來解，那么更加簡單明了.只要熟悉兩個根本性質(zhì)，它們是:

1.a,&,…，a線性無關(guān)or(a,四…，a,)=s,

2.r(34r(0.

矩陣...,4zJ=4(a,a...a),因此

r(Aa),Aa,AaJ<r(a,

由此馬上可判斷答案應該為(A).

(14)設(shè)/是3階矩陣,將4的第2列加到第1列上得以將8的第1歹IJ的-1倍加到第2列上得C記11

01、

尸010,那么

001

(A)C=P'AP.(B)OPAP'.

(C)C=PAP.(D)C=PAFf.

解：⑻

用初等矩陣在乘法中的作用得出

B-PA,

\-1可

05010=BP'=PAP'.

100J

三、解答題

(15)試確定A,B,C的常數(shù)值，使，(1+以+以2)=1+4+0(%3)其中0(9)是當

x-0時比？的高階無窮小.

YY

解：泰勒公式e'=l+X+—+—+O（d）代入等式得

26

整理得

比擬兩邊同次轅函數(shù)得

B+1=A@

1

C+B+-=O②

2

-+C+-=0(3)

26

2

式②-③得3

1

-

代入①得A=3

1

-

代入②得C=6

arcsinex.

(16)求J-------ax.

&刀e3廣arcsine」-rarcsint.

解:原式=-----T—dex令，=t\---dt

J(exyJr

arcsinex.arcsinex

----；——ax------——+C.

（17）設(shè)區(qū)域0川⑷刈f+^^鼻上。｝,計算二重積分）=（"孫，必"y.

落］+廠+y

（\

解：用極坐標系「一辦=。

IJ/i+v+yI

冗

~211

/=j呵，^/r=馬11(1+/)=-ln2.

2。2

~2

(18)設(shè)數(shù)列｛1〃｝滿足0＜玉＜乃，xn+]=sinxn(n=1,2,3,--)

證明：（1）lim可用存在，并求極限;

“TOO

⑵計算lim—

〃T8

證：(1)/x2=sinXj,.,.0＜1241,因止匕〃22

Xn+l=sinx“單調(diào)減少有下界(Xn＞0)

根據(jù)準那么1,limx“=A存在

在xn+1=sin兩邊取極限得A=sinA，A=0

因此limx“+]=0

〃一＞8

I

(2)原式=lim任土為T"型

rx,j

離散型不能直接用洛必達法那么

(sin/、/辿

先考慮liml--I=e"小-

..I1(/cosz-sinz)

lim—.——.=

?TO2rsm/產(chǎn)

用洛必達法那么=6-

住步+格,

lim--

—gf—Q2/e6

(19)證明：當Ovavbv4時，bsinb+2cosb+Qsin〃+2cosa+——.

7va

證：令/(x)=xsinx+2cosx+%x

只需證明0＜。＜%＜乃時，/(%)嚴格單調(diào)增加

???1(幻嚴格單調(diào)減少

又f'Qr)=ncos%+〃=。

故Ovavxv神f/(%)＞0貝葉(%)單調(diào)增加(嚴格)

由貝如(〃)＞/(&)得證

(20)設(shè)函數(shù)/(〃)在(0,+8)內(nèi)具有二階導數(shù)，且2=/(必衣)滿足等式器+言=0.

(I)驗證/(〃)+￡^=0；

U

(II)假設(shè)/⑴=0,/(1)=1求函數(shù)/(“)的表達式.

(ID令/，?=p,則半=—勺亞=—產(chǎn)+c,p=￡

duuJpJuu

X=[24-1

(21)曲線L的方程1,(r>0)

[y=4—2

(I)討論L的凹凸性；

(ID過點(—1,0)引L的切線，求切點(%，%)，并寫出切線的方程；

(III)求此切線與乙(對應XV/局部)及x軸所圍的平面圖形的面積.

,.dxdy..dy4-2/2,

解hn：(I)—=2t,—=4-2/,—=-----=—1

dtdtdx2tt

(ID切線方程為y—0=(/-1卜x+1),設(shè)x0=t：+l,%=4/。一l，

<2、

那么4f°T：=—_1G+2),41T=(2TO)(」+2)

VoJ

得2—2=0,(%—1)(九+2)=0M>0玲=1

點為(2,3),切線方程為y=x+l

(IH)設(shè)L的方程x=g(y)

那么S=J[(g(y)-(y-1))拉

0

由于(2,3)在L上，由y=3得x=2可知x=(2-J4_y)+l=g(y)

(22)非齊次線性方程組

(X1+X2+X3+X4=-1,

4XI+3X2+5X「X4=T,

axi+x2+3x3+bx4=l

有3個線性無關(guān)的解.

①證明此方程組的系數(shù)矩陣4的秩為2.

②求a,b的值和方程組的通解.

解:①設(shè)a-是方程組的3個線性無關(guān)的解，那么a「小a「a是肝0的兩個線性無關(guān)的解.于是

心0的根底解系中解的個數(shù)不少于2,即4-rU)>2,從而rU)<2.

又因為A的行向量是兩兩線性無關(guān)的,所以r(4)22.

兩個不等式說明r(2)=2.

②對方程組的增廣矩陣作初等行變換:

1T1-1