2023-2024學(xué)年北京市海淀區(qū)師達中學(xué)八年級（上）證明題大賽數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2023-2024學(xué)年北京市海淀區(qū)師達中學(xué)八年級（上）證明題大賽數(shù)學(xué)試卷1．已知：如圖，點B，F(xiàn)，C，E在一條直線上，AB＝DE，AB∥DE，BF＝EC．求證：△ABC≌△DEF．2．如圖，AB＝AD，AC＝AE，∠CAE＝∠BAD．求證：∠B＝∠D．3．已知：如圖，在△ABC中，點D是BC邊上的一點，且AD＝CD，DF是AC邊的中線，DE平分∠ADB交AB于點E．求證：DF⊥DE．4．△ABC中，AB＝AC，D是BC中點，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求證：DE＝DF．5．如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，AD平分∠BAC交BC于D，求證：AB＝AC+CD．6．如圖，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上一點，并且有∠EDF+∠EAF＝180°，試判斷DE和DF的數(shù)量關(guān)系，并證明．7．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D是邊BC上的點，以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，連接CE．（1）求證：BD＝CE；（2）當(dāng)∠BAC＝90°時，BD、CE的位置關(guān)系是；（3）設(shè)∠BAC＝α，∠DCE＝β．當(dāng)∠BAC≠90°時，請你探究α與β之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．8．在△ABC中，AB＞BC，直線l垂直平分AC．（1）如圖1，作∠ABC的平分線交直線l于點D，連接AD，CD．①補全圖形；②判斷∠BAD和∠BCD的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2）如圖2，直線l與△ABC的外角∠ABE的平分線交于點D，連接AD，CD．求證：∠BAD＝∠BCD．

2023-2024學(xué)年北京市海淀區(qū)師達中學(xué)八年級（上）證明題大賽數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析1．已知：如圖，點B，F(xiàn)，C，E在一條直線上，AB＝DE，AB∥DE，BF＝EC．求證：△ABC≌△DEF．【解答】證明：∵BF＝EC，∴BF+FC＝EC+FC，∴BC＝EF，∵AB∥DE，∴∠B＝∠E，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．2．如圖，AB＝AD，AC＝AE，∠CAE＝∠BAD．求證：∠B＝∠D．【解答】證明：∵∠CAE＝∠BAD，∴∠CAE+∠EAB＝∠BAD+∠EAB，∴∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠B＝∠D．3．已知：如圖，在△ABC中，點D是BC邊上的一點，且AD＝CD，DF是AC邊的中線，DE平分∠ADB交AB于點E．求證：DF⊥DE．【解答】證明：∵AD＝CD，DF是AC邊的中線，∴∠CDF＝∠ADF，∵DE平分∠ADB，∴∠ADE＝∠BDE，∵∠ADC+∠ADB＝180°，∴∠ADF+∠ADE＝90°，即∠EDF＝90°，∴DF⊥DE．4．△ABC中，AB＝AC，D是BC中點，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求證：DE＝DF．【解答】證明：∵AB＝AC，D是BC中點，∴∠ABC＝∠ACB，BD＝DC．∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠DEB＝∠DFC＝90°在△DEB和△DFC中，，∴△DEB≌△DFC（AAS），∴DE＝DF．5．如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，AD平分∠BAC交BC于D，求證：AB＝AC+CD．【解答】證法一：如答圖所示，延長AC，到E使CE＝CD，連接DE．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CE＝CD，∴∠B＝∠CAB＝（180°﹣∠ACB）＝45°，∠E＝∠CDE＝45°，∴∠B＝∠E．∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（AAS）．∴AE＝AB．∵AE＝AC+CE＝AC+CD，∴AB＝AC+CD．證法二：如答圖所示，在AB上截取AE＝AC，連接DE，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2．在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（SAS）．∴∠AED＝∠C＝90，CD＝ED，又∵AC＝BC，∴∠B＝45°．∴∠EDB＝∠B＝45°．∴DE＝BE，∴CD＝BE．∵AB＝AE+BE，∴AB＝AC+CD．6．如圖，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上一點，并且有∠EDF+∠EAF＝180°，試判斷DE和DF的數(shù)量關(guān)系，并證明．【解答】證明：過D作DN⊥AC于N，DG⊥AB于點G，∴∠EGD＝∠FND＝90°，∵AD平分∠BAC，DG⊥AB，DN⊥AC，∴DG＝DN（角平分線性質(zhì)），∵∠EAF+∠EDF＝180°，∴∠AED+∠AFD＝360°﹣180°＝180°，∵∠AED+∠DEG＝180°，∴∠GED＝∠NFD，在△EGD和△FND中，，∴△EGD≌△FND（AAS），∴DE＝DF．7．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D是邊BC上的點，以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，連接CE．（1）求證：BD＝CE；（2）當(dāng)∠BAC＝90°時，BD、CE的位置關(guān)系是BD⊥CE；（3）設(shè)∠BAC＝α，∠DCE＝β．當(dāng)∠BAC≠90°時，請你探究α與β之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【解答】（1）證明：∵∠BAD+∠DAC＝90°，∠DAC+∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；（2）解：同理可得△BAD≌△CAE，∴∠ACE＝∠B，∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝90°，∴BD⊥CE．故答案為：BD⊥CE；（3）解：當(dāng)點D在線段CB上，∠BAC≠90°時，∵∠BAD+∠DAC＝α，∠DAC+∠CAE＝α，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B，∵∠B+∠ACB＝180°﹣α，∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝180°﹣α＝β，∴α+β＝180°；②當(dāng)點D在線段CB的延長線上時，∵∠BAD+∠BAE＝α，∠BAE+∠CAE＝α，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠AEC＝∠ADB，∵∠ADE+∠AED+α＝180°，∠CDE+∠CED+β＝180°，∠CED＝∠AEC+∠AED，∴α＝β．③當(dāng)點D在BC的延長線上時，如圖所示，此時α＝β；綜上所述，α與β之間的數(shù)量關(guān)系為α＝β或α+β＝180°．8．在△ABC中，AB＞BC，直線l垂直平分AC．（1）如圖1，作∠ABC的平分線交直線l于點D，連接AD，CD．①補全圖形；②判斷∠BAD和∠BCD的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2）如圖2，直線l與△ABC的外角∠ABE的平分線交于點D，連接AD，CD．求證：∠BAD＝∠BCD．【解答】解：（1）①補全圖形；②結(jié)論：∠BAD+∠BCD＝180°，理由如下：過點D作DE⊥AB于E，作DF⊥BC交BC的延長線于F，則∠AED＝∠CFD＝90°．∵BD平分∠ABC，∴DE＝DF．∵直線l垂直平分AC，∴DA＝DC，在Rt△ADE和Rt△CDF中，∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）．∴∠BAD＝∠FCD．∵∠FCD+∠BCD＝180°