高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)與策略 第1部分 專題4 立體幾何 第14講 高考中的立體幾何專題限時集訓(xùn) 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

專題限時集訓(xùn)(十五)高考中的立體幾何(建議用時：45分鐘)1．(2014·江蘇高考)如圖14－9，在三棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.圖14－9求證：(1)直線PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.[證明](1)因為D，E分別為棱PC，AC的中點，所以DE∥PA.3分又因為PA?平面DEF，DE?平面DEF，所以直線PA∥平面DEF.6分(2)因為D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝eq\f(1,2)PA＝3，EF＝eq\f(1,2)BC＝4.又因為DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.10分又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.因為AC∩EF＝E，AC?平面ABC，EF?平面ABC，所以DE⊥平面ABC.又DE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.14分2.如圖14－10，在三棱錐P－ABC中，點E，F(xiàn)分別是棱PC，AC的中點．圖14－10(1)求證：PA∥平面BEF；(2)若平面PAB⊥平面ABC，PB⊥BC，求證：BC⊥PA.[證明](1)在△PAC中，E，F(xiàn)分別是PC，AC的中點，所以PA∥EF，3分又PA?平面BEF，EF?平面BEF，所以PA∥平面BEF.6分(2)在平面PAB內(nèi)過點P作PD⊥AB，垂足為D，因為平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PD?平面PAB，所以PD⊥平面ABC，又BC?平面ABC，所以PD⊥BC，10分又PB⊥BC，PD∩PB＝P，PD?平面PAB，PB?平面PAB，所以BC⊥平面PAB，又PA?平面PAB，所以BC⊥PA.14分3．如圖14－11，在四棱錐P－ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA垂直于底面ABCD，PA＝AD＝AB＝2BC＝2，M，N分別為PC，PB的中點．圖14－11(1)求證：PB⊥DM；(2)求點B到平面PAC的距離．[解](1)證明：因為N是PB的中點，PA＝AB，所以AN⊥PB，因為AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，又因為AD∩AN＝A，3分從而PB⊥平面ADMN，因為DM?平面ADMN，所以PB⊥DM.6分(2)連結(jié)AC，過B作BH⊥AC，因為PA⊥底面ABCD，所以平面PAC⊥底面ABCD，所以BH是點B到平面PAC的距離.12分在Rt△ABC中，BH＝eq\f(AB·BC,AC)＝eq\f(2,5)eq\r(5).14分4．(2016·蘇州期末)如圖14－12，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，A1C1與B1D1交于點圖14－12(1)求證：A1，C1，F(xiàn)，E四點共面；(2)若底面ABCD是菱形，且OD⊥A1E，求證：OD⊥平面A1C1FE[證明](1)連結(jié)AC，因為E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，所以EF是△ABC的中位線，所以EF∥AC.3分由直棱柱知AA1綊CC1，所以四邊形AA1C1C為平行四邊形，所以AC∥A1C1.所以EF∥A1C1，故A1，C1，F(xiàn)，E四點共面.6分(2)連結(jié)BD，因為直棱柱中DD1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1所以DD1⊥A1C1.10分因為底面A1B1C1D1是菱形，所以A1C1⊥B1D1.又DD1∩B1D1＝D1，所以A1C1⊥平面BB1D1D.因為OD?平面BB1D1D，所以O(shè)D⊥A1C1.又OD⊥A1E，A1C1∩A1E＝A1，A1C1?平面A1C1FE，A1E?平面A1C1FE，所以O(shè)D⊥平面A1C1FE.14分5．(2016·蘇北四市期末)如圖14－13，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，AB＝AC＝1，AA1＝2，點P是棱BB1上一點，滿足eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BB1,\s\up6(→))(0≤λ≤1)．圖14－13(1)若λ＝eq\f(1,3)，求直線PC與平面A1BC所成角的正弦值；(2)若二面角P－A1C－B的正弦值為eq\f(2,3)，求λ的值．[解]以A為坐標(biāo)原點，分別以AB，AC，AA1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0,2)，B1(1,0,2)，P(1,0,2λ)．(1)由λ＝eq\f(1,3)得，eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－1，\f(2,3)))，eq\o(A1B,\s\up6(→))＝(1,0，－2)，eq\o(A1C,\s\up6(→))＝(0,1，－2)，設(shè)平面A1BC的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(A1B,\s\up6(→))＝0，,n1·\o(A1C,\s\up6(→))＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1－2z1＝0，,y1－2z1＝0.))3分不妨取z1＝1，則x1＝y(tǒng)1＝2，從而平面A1BC的一個法向量為n1＝(2,2,1)．設(shè)直線PC與平面A1BC所成的角為θ，則sinθ＝|cos〈eq\o(CP,\s\up6(→))，n1〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(CP,\s\up6(→))·n1,|\o(CP,\s\up6(→))|·|n1|)))＝eq\f(\r(22),33)，所以直線PC與平面A1BC所成角的正弦值為eq\f(\r(22),33).6分(2)設(shè)平面PA1C的法向量為n2＝(x2，y2，z2)，eq\o(A1P,\s\up6(→))＝(1,0,2λ－2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2·\o(A1C,\s\up6(→))＝0，,n2·\o(A1P,\s\up6(→))＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2－2z2＝0，,x2＋2λ－2z2＝0.))不妨取z2＝1，則x2＝2－2λ，y2＝2，所以平面PA1C的法向量為n2＝(2－2λ，2,1).10分則cos〈n1，n2〉＝eq\f(9－4λ,3\r(4λ2－8λ＋9))，又因為二面角P－A1C－B的正弦值為eq\f(2,3)，所以eq\f(9－4λ,3\r(4λ2－8λ＋9))＝eq\f(\r(5),3)，化簡得λ2＋8λ－9＝0，解得λ＝1或λ＝－9(舍去)，故λ＝1.14分6．(2016·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研一)如圖14－14，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2AD＝2，點E是AB的中點，F(xiàn)是D1E上的一點，D1F＝2圖14－14(1)證明：平面DFC⊥平面D1EC；(2)求二面角A－DF－C的大?。甗解](1)證明：以D為原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,2)．∵E為AB的中點，∴E點坐標(biāo)為E(1,1,0)．∵D1F＝2FE，∴eq\o(D1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(D1E,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(1,1，－2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)，－\f(4,3)))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(DD1,\s\up6(→))＋eq\o(D1F,\s\up6(→))＝(0,0,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)，－\f(4,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(2,3)))，3分設(shè)n＝(x，y，z)是平面DFC的法向量，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DF,\s\up6(→))＝0，,n·\o(DC,\s\up6(→))＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x＋\f(2,3)y＋\f(2,3)z＝0，,2y＝0，))取x＝1得平面FDC的一個法向量n＝(1,0，－1)，設(shè)p＝(x，y，z)是平面ED1C的法向量，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p·D1F＝0，,p·D1C＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x＋\f(2,3)y－\f(4,3)z＝0，,2y－2z＝0，))取y＝1得平面D1EC的一個法向量p＝(1,1,1)．∵n·p＝(1,0，－1)·(1,1,1)＝0，∴平面DFC⊥平面D1EC.6分(2)設(shè)q＝(x，y，z)是平面ADF的法向量，則q·eq\o(DF,\s\up6(→))＝0，q·eq\o(DA,\s\up6(→))＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x＋\f(2,3)y＋\f(2,3)z＝0，,x＝0，))取y＝1得平面ADF的一個法向量q＝(0,1，－1)，