高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 課時達(dá)標(biāo)檢測（三十七）直線、平面垂直的判定與性質(zhì)-人教版高三數(shù)學(xué)試題

課時達(dá)標(biāo)檢測(三十七）直線、平面垂直的判定與性質(zhì)[練基礎(chǔ)小題——強(qiáng)化運算能力]1.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P為△ABC所在平面外一點，PA⊥平面ABC，則四面體P-ABC中共有________個直角三角形．解析：由PA⊥平面ABC可得△PAC，△PAB是直角三角形，且PA⊥BC.又∠ABC＝90°，即AB⊥BC，所以△ABC是直角三角形，且BC⊥平面PAB，又PB?平面PAB，所以BC⊥PB，即△PBC為直角三角形，故四面體P-ABC中共有4個直角三角形．答案：42．如圖，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，AE⊥PC，AF⊥PB，給出下列結(jié)論：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中正確的結(jié)論有________．(填序號)解析：①AE?平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PA?AE⊥BC，故①正確；②AE⊥PC，AE⊥BC，PB?平面PBC?AE⊥PB，AF⊥PB，EF?平面AEF?EF⊥PB，故②正確；③AF⊥PB，若AF⊥BC?AF⊥平面PBC，則AF∥AE與已知矛盾，故③錯誤；由①可知④正確．答案：①②④3．(2018·鹽城中學(xué)月考)已知α，β，γ是三個不同的平面，命題“α∥β，且α⊥γ?β⊥γ”是真命題，如果把α，β，γ中的任意兩個換成直線，另一個保持不變，在所得的所有新命題中，真命題有________個．解析：若α，β?lián)Q為直線a，b，則命題化為“a∥b，且a⊥γ?b⊥γ”，此命題為真命題；若α，γ換為直線a，b，則命題化為“a∥β，且a⊥b?b⊥β”，此命題為假命題；若β，γ換為直線a，b，則命題化為“a∥α，且b⊥α?a⊥b”，此命題為真命題．答案：24．在三棱錐P-ABC中，點P在平面ABC中的射影為點O.(1)若PA＝PB＝PC，則點O是△ABC的________心．(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點O是△ABC的________心．解析：(1)如圖1，連結(jié)OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PB＝PC，所以O(shè)A＝OB＝OC，即O為△ABC的外心．(2)如圖2，延長AO，BO，CO分別交對邊于H，D，G點，∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB，AB?平面PAB，∴PC⊥AB，又AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB⊥平面PGC，又CG?平面PGC，∴AB⊥CG，即CG為△ABC邊AB的高．同理可證BD，AH為△ABC底邊上的高，即O為△ABC的垂心．答案：(1)外(2)垂[練?？碱}點——檢驗高考能力]一、填空題1．若PD垂直于正方形ABCD所在的平面，連結(jié)PB，PC，PA，AC，BD，則一定互相垂直的平面有________對．解析：由于PD⊥平面ABCD，故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PDC，共7對．答案：72．(2017·徐州模擬)如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個平面后，某學(xué)生得出下列四個結(jié)論：①BD⊥AC；②△BAC是等邊三角形；③三棱錐D-ABC是正三棱錐；④平面ADC⊥平面ABC.其中正確的是________．(填序號)解析：由題意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正確；AD為等腰直角三角形斜邊BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等邊三角形，②正確；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正確；由①知④錯誤．答案：①②③3．設(shè)平面α與平面β相交于直線m，直線a在平面α內(nèi)，直線b在平面β內(nèi)，且b⊥m，則“α⊥β”是“a⊥b”的________條件．解析：若α⊥β，因為α∩β＝m，b?β，b⊥m，所以根據(jù)兩個平面垂直的性質(zhì)定理可得b⊥α，又a?α，所以a⊥b，充分性成立；反過來，當(dāng)a∥m時，因為b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保證b⊥α，所以不能推出α⊥β，必要性不成立．所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要條件．答案：充分不必要4.如圖，點P在正方體ABCD-A1B1C1D1的面對角線BC1上運動，則下列四個命題：①三棱錐A-D1PC的體積不變；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正確的命題序號是________．解析：由題意可得直線BC1平行于直線AD1，并且直線AD1?平面AD1C，直線BC1?平面AD1所以直線BC1∥平面AD1C.所以點P到平面AD1C的距離不變，VA-D1PC＝VP-AD1C，所以體積不變．故①正確；連結(jié)A1C1，A1B，可得平面AD1C∥平面A1C1B.又因為A1P?平面A1C1B，所以A1P∥平面ACD1，故②正確；當(dāng)點P運動到B點時，△DBC1是等邊三角形，所以DP不垂直于BC1.故③不正確；因為直線AC⊥平面DB1，DB1?平面DB1.所以AC⊥DB1.同理可得AD1⊥DB1.所以可得DB1⊥平面AD1C.又因為DB1?平面PDB1.所以可得平面PDB1⊥答案：①②④5．如圖所示，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.將△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成三棱錐A-BCD，則在三棱錐A-BCD中，下列結(jié)論正確的是________．(填序號)①平面ABD⊥平面ABC；②平面ADC⊥平面BDC；③平面ABC⊥平面BDC；④平面ADC⊥平面ABC.解析：∵在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，則CD⊥AB.又AD⊥AB，AD∩CD＝D，AD?平面ADC，CD?平面ADC，故AB⊥平面ADC.又AB?平面ABC，∴平面ADC⊥平面ABC.答案：④6.如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱長為2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中點，F(xiàn)是BB1上的動點，AB1，DF交于點E.要使AB1⊥平面C1DF，則線段B1解析：設(shè)B1F＝x，因為AB1⊥平面C1DF，DF?平面C1DF，所以AB1⊥DF.由已知可得A1B1＝eq\r(2)，設(shè)Rt△AA1B1斜邊AB1上的高為h，則DE＝eq\f(1,2)h.又2×eq\r(2)＝heq\r(22＋\r(2)2)，所以h＝eq\f(2\r(3),3)，DE＝eq\f(\r(3),3).在Rt△DB1E中，B1E＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(6),6).由面積相等得eq\f(\r(6),6)×eq\r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(2),2)x，得x＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)7.如圖，在三棱錐D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點，則下列命題中正確的有________(寫出全部正確命題的序號)．①平面ABC⊥平面ABD；②平面ABD⊥平面BCD；③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.解析：由AB＝CB，AD＝CD知AC⊥DE，AC⊥BE，從而AC⊥平面BDE，所以平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE，故③正確．答案：③8.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當(dāng)點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認(rèn)為是正確的條件即可)解析：如圖，連結(jié)AC，BD，則AC⊥BD，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD.又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC，∴當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時，即有PC⊥平面MBD.而PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)9．設(shè)l，m，n為三條不同的直線，α為一個平面，給出下列命題：①若l⊥α，則l與α相交；②若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，則l⊥α；③若l∥m，m∥n，l⊥α，則n⊥α；④若l∥m，m⊥α，n⊥α，則l∥n.其中正確命題的序號為________．解析：①顯然正確；對于②，只有當(dāng)m，n相交時，才有l(wèi)⊥α，故②錯誤；對于③，由l∥m，m∥n，得l∥n，由l⊥α，得n⊥α，故③正確；對于④，由l∥m，m⊥α，得l⊥α，再由n⊥α，得l∥n，故④正確．答案：①③④10．(2018·蘭州質(zhì)檢)如圖，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，且E為CD的中點，M，N分別是AD，BE的中點，將三角形ADE沿AE折起，則下列說法正確的是________．(寫出所有正確說法的序號)①不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))，都有MN∥平面DEC；②不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))，都有MN⊥AE；③不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))，都有MN∥AB；④在折起過程中，一定存在某個位置，使EC⊥AD.解析：由已知，在未折疊的原梯形中，AB∥DE，BE∥AD，所以四邊形ABED為平行四邊形，所以BE＝AD，折疊后如圖所示．①過點M作MP∥DE，交AE于點P，連結(jié)NP.因為M，N分別是AD，BE的中點，所以點P為AE的中點，故NP∥EC.又MP∩NP＝P，DE∩CE＝E，所以平面MNP∥平面DEC，故MN∥平面DEC，①正確；②由已知，AE⊥ED，AE⊥EC，所以AE⊥MP，AE⊥NP，又MP∩NP＝P，所以AE⊥平面MNP，又MN?平面MNP，所以MN⊥AE，②正確；③假設(shè)MN∥AB，則MN與AB確定平面MNBA，從而BE?平面MNBA，AD?平面MNBA，與BE和AD是異面直線矛盾，③錯誤；④當(dāng)EC⊥ED時，EC⊥AD.因為EC⊥EA，EC⊥ED，EA∩ED＝E，所以EC⊥平面AED，AD?平面AED，所以EC⊥AD，④正確．答案：①②④二、解答題11．(2018·泰州中學(xué)高三學(xué)情調(diào)研)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3a，BC＝2a，D是BC的中點，E，F(xiàn)分別是AA1，CC1上一點，且AE＝CF(1)求證：B1F⊥平面ADF(2)求三棱錐B1-ADF的體積；(3)求證：BE∥平面ADF.解：(1)證明：因為AB＝AC，D為BC中點，所以AD⊥BC.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，因為B1B⊥底面ABC，AD?底面ABC所以AD⊥B1B.因為BC∩B1B＝B，∴AD⊥平面B1BCC1，因為B1F?平面B1BCC1，所以AD⊥B1在矩形B1BCC1中，因為C1F＝CD＝a，B1C1＝CF＝所以Rt△DCF≌Rt△FC1B1，所以∠CFD＝∠C1B1F所以∠B1FD＝90°，∴B1F⊥FD，因為AD∩FD＝D∴B1F⊥平面AFD(2)因為B1F⊥平面AFD所以VB1-ADF＝eq\f(1,3)·S△ADF·B1F＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×AD×DF×B1F＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2eq\r(2)a×eq\r(5)a×eq\r(5)a＝eq\f(5\r(2)a3,3).(3)證明：如圖，連結(jié)EF，EC，設(shè)EC∩AF＝M，連結(jié)DM，因為AE＝CF＝2a，所以四邊形AEFC所以M為EC中點，因為D為BC中點，所以MD∥BE.因為MD?平面ADF，BE?平面ADF，所以BE∥平面ADF.12.如圖所示，已知長方體ABCD-A1B1C1D1，點O1為B1D1(1)求證：AB1∥平面A1O1D；(2)若AB＝eq\f(2,3)AA1，在線段BB1上是否存在點E使得A1C⊥AE？若存在，求出eq\f(BE,BB1)；若不存在，說明理由．解：(1)證明：如圖1所示，連結(jié)AD1交A1D于點G，∴G為AD1的中點，連結(jié)O1G，在△AB1D1∵O1為B1D1的中點，∴O1G∥AB1∵O1G?平面A1O1D，且AB1?平面A1O1D∴AB1∥平面A1O1D.(2)若在線段BB1上存在點E使得A1C⊥AE，連結(jié)A1B交AE于點M∵BC⊥