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第=page11頁(yè),共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年江西省吉安市高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.直線(xiàn)x+3yA.π3 B.π2 C.5π2.已知空間中點(diǎn)N(e,d,fA.(e,d,?f) B.3.兩平行直線(xiàn)5x?12y+2A.526 B.726 C.5134.拋物線(xiàn)x2=16y的焦點(diǎn)到點(diǎn)(A.2 B.5 C.7 5.將8個(gè)外觀(guān)相同的蘋(píng)果分給甲、乙、丙三人,每人至少分到1個(gè)蘋(píng)果,共有不同的分法(
)A.15種 B.18種 C.21種 D.24種6.一條經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,?1)的直線(xiàn)l與圓C:(x?1)2A.x=2或x?y+2?1=0 B.y7.在三棱錐M?ABC中,MA⊥平面ABC,△ABC為正三角形,AB=2,A.12 B.23 C.138.已知橢圓x29+y2=1的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)P為該橢圓上位于x軸上方一點(diǎn),直線(xiàn)AP與直線(xiàn)x=4交于點(diǎn)C,直線(xiàn)BP與直線(xiàn)A.16 B.121 C.13或121 二、多選題:本題共4小題,共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知直線(xiàn)l:3x+yA.l的一個(gè)方向向量為k=(1,?3)
B.l的截距式方程為x23?3+y210.(2x?1A.二項(xiàng)式系數(shù)之和為32 B.最高次項(xiàng)系數(shù)為32
C.所有項(xiàng)系數(shù)之和為?1 D.所有項(xiàng)系數(shù)之和為11.雙曲線(xiàn)T:x2a2?y2=1的焦點(diǎn)為F1(?2,0),F(xiàn)2(2,0),過(guò)A.a=3
B.|AF1|?|12.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1A.FC1//平面AB1E
B.直線(xiàn)FC1與底面ABCD所成的角的正弦值為55
C.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若二元二次方程x2+y2?ax14.第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)開(kāi)幕前需在某高中招募10名志愿者作為高中組志愿者代表,分成兩組,每組5人,共有15人報(bào)了名.其中小王、小張也報(bào)了名,則兩人都被選中且被分在不同組的概率為_(kāi)_____.15.拋物線(xiàn)y2=6x上有一動(dòng)點(diǎn)P,過(guò)P作曲線(xiàn)x2?4x+16.已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足2x=1?y2四、解答題:本題共6小題,共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟。17.(本小題10分)
判斷5555+9是否能被818.(本小題12分)
已知M為過(guò)點(diǎn)A(2,2),B(1,3),C(1,1)三點(diǎn)的圓.
(119.(本小題12分)
在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中,A(2,0,1),B(2,2,0),C(0,20.(本小題12分)
已知過(guò)x軸正半軸上一點(diǎn)N的直線(xiàn)l:x=my+a交拋物線(xiàn)C:y2=4x于P21.(本小題12分)
如圖,直四棱柱ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)均為2,底面ABCD是菱形,∠BAD=π3,E為AB的中點(diǎn),且CC1上一點(diǎn)P滿(mǎn)足22.(本小題12分)
設(shè)x,y∈R,向量i,j分別為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x軸、y軸正方向上的單位向量,若向量OA=(x+1)i+yj,OB=(x?1)i+yj,且|OA|+|OB|=4.
答案和解析1.【答案】C
【解析】解:設(shè)直線(xiàn)的傾斜角α(0≤α<π),
直線(xiàn)x+3y+n2024=0的斜率2.【答案】A
【解析】解:點(diǎn)N關(guān)于平面xOy對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(e,d,?f)3.【答案】B
【解析】解:直線(xiàn)10x?24y?3=0,即5x?12y?4.【答案】B
【解析】解:拋物線(xiàn)x2=16y的焦點(diǎn)為F(0,4),
所以點(diǎn)(2,5.【答案】C
【解析】解:擋板法:8個(gè)蘋(píng)果間會(huì)產(chǎn)生7個(gè)空隙,任選2個(gè)空隙將蘋(píng)果分開(kāi),即分成三份,
共有C72=21種分法.
故選:C.6.【答案】D
【解析】解:設(shè)直線(xiàn)l的方程為y+1=k(x?2),即kx?y?2k?1=0,
由圓C:(x?1)2+y2=30,可得C(1,0),r2=30,
7.【答案】C
【解析】解:因?yàn)镸A⊥平面ABC,
所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AC,AM所在直線(xiàn)分別為y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,
因?yàn)椤鰽BC為正三角形,AB=2,MA=5,
所以A(0,0,0),B(3,1,0),M(0,0,5),C(0,2,0)8.【答案】C
【解析】解:∵橢圓方程為x29+y2=1,
∴a=3,b=1,c=22,
∴A(?3,0),B(3,0),設(shè)P(x0,y0),
則kPAkPB=y02x02?9.【答案】AD【解析】解:由直線(xiàn)方程知:l的一個(gè)方向向量為k=(1,?3),故A對(duì);
由3x+y=2?3,則截距式為x23?1+y2?3=1,故B錯(cuò);
l與直線(xiàn)x?ay10.【答案】AB【解析】解:由于二項(xiàng)式系數(shù)之和為C50+C51+???+C55=32,故A正確.
設(shè)展開(kāi)式第k+1項(xiàng)為T(mén)k+1=C5k(211.【答案】BC【解析】解:雙曲線(xiàn)T:x2a2?y2=1的焦點(diǎn)為F1(?2,0),F(xiàn)2(2,0),過(guò)F1的直線(xiàn)l1與雙曲線(xiàn)的左支相交于A,B兩點(diǎn),過(guò)F2的直線(xiàn)l2與雙曲線(xiàn)的右支相交于C,D兩點(diǎn),若四邊形ABCD為平行四邊形,
可得c=2,a2=c2?1=3,則a=±3,故A錯(cuò)誤.
由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性和平行四邊形的對(duì)稱(chēng)性可知:|CF2|=|AF1|,
則||AF1|?|CF|1|=||CF2|?|CF1||=|212.【答案】AB【解析】解:對(duì)于A,在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中,DE=12DD1,BF=FB1,
以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA所在直線(xiàn)為x軸,DC所在直線(xiàn)為y軸,DD1所在直線(xiàn)為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,
則A(1,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),E(0,0,12),F(xiàn)(1,1,12),
FC1=(?1,0,12),AE=(?1,0,12),
∵FC1=AE,∴FC1/?/AE,
∵AE?平面AB1E,F(xiàn)C1?平面AB1E,∴FC1/?/平面AB1E,故A正確;13.【答案】(?【解析】解:∵二元二次方程x2+y2?ax+(3a?1)y+54=014.【答案】521【解析】解:該兩人都被選中且被分在不同組為目標(biāo)分組,分法種數(shù)為C134C94,
15人選10人分兩組的分法種數(shù)為C155C105A22,15.【答案】15【解析】解:曲線(xiàn)x2?4x+y2+154=0,即(x?2)2+y2=14,
表示以M(2,0)圓心,半徑為14的圓,
如圖:
|P16.【答案】[?【解析】解:因?yàn)?x=1?y2,所以4x2+y2=1,x≥0,
根據(jù)數(shù)形結(jié)合,4x2+y2=1,x≥0,可看作是橢圓x214+y2=1的一半(如圖).
又因?yàn)閥x?2等價(jià)于過(guò)點(diǎn)(2,0)和點(diǎn)(x,y)的直線(xiàn)的斜率k17.【答案】解:能被8整除,
證明:5555+9=(56?1)55+9
=C5505655【解析】將已知關(guān)系式化簡(jiǎn)為5555+918.【答案】解:(1)設(shè)圓的方程為:x2+y2+Dx+Gy+F=0,
由題可得:8+2D+2G+F=010+D+3G+F=02+D+G+F=0,解得D【解析】(1)由待定系數(shù)法即可求得;
(2)由直線(xiàn)與圓M有交點(diǎn)建立關(guān)于19.【答案】解:(1)A(2,0,1),B(2,2,0),D(3,4,?1).
則AB=(0,【解析】(1)根據(jù)已知條件,結(jié)合向量的數(shù)量積運(yùn)算,即可求解;
(220.【答案】證明:點(diǎn)N是直線(xiàn)l:x=my+a與x軸正半軸的交點(diǎn),
∴N(a,0),a>0,
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),
聯(lián)立方程組y2=4xx=my+a,
整理得y2?4my?4a=0,
∵a>0【解析】設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y221.【答案】(1)證明:直四棱柱ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)均為2,底面ABCD是菱形,
連接AC,BD交于點(diǎn)O,如圖所示.
∴AC⊥BD,且AC,BD互相平分.
又AB=2,∠BAD=π3,
∴OA=OC=3,OB=OD=1,
連接A1C1,B1D1交于點(diǎn)O1,連接OO1,
則OO1⊥平面ABCD,
∴OB,OC,OO1兩兩相互垂直,故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB,OC,OO1所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸,
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
則A(0,?3,0),B(1,0,0),C(0,【解析】(1)連接AC,BD交于點(diǎn)O,連接A1C1,B1D1交于點(diǎn)O1,連接OO1,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系.通過(guò)向量的數(shù)量積為0,證明A12
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