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文檔簡介
1回顧1、空間應(yīng)力狀態(tài)
應(yīng)力的正負(fù)規(guī)定x
y
z
O
d
x
d
y
d
z
t
xy
t
xz
s
x
t
yx
s
y
t
yz
t
zy
s
z
t
zx
t
xy
s
x
t
xz
t
zy
s
z
t
zx
t
yx
s
y
t
yz
獨立的分量(6個):2
主單元體
3
2
1
空間應(yīng)力狀態(tài):三個主應(yīng)力都不等于零;平面應(yīng)力狀態(tài):兩個主應(yīng)力不等于零;單向應(yīng)力狀態(tài):只有一個主應(yīng)力不等于零。3
應(yīng)力圓s
t
O
s
3
s
2
s
1
s
max
B
DAt
max
(c)
max作用面為與
2平行,與
1或
3成45°角的斜截面。42、應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系
主應(yīng)力和主應(yīng)變來表示廣義胡克定律
平面應(yīng)力狀態(tài)5
一般空間應(yīng)力狀態(tài)下,在線彈性、小變形條件下各向同性材料的廣義胡克定律6
平面應(yīng)力狀態(tài)(
z=0,
xz=0,
yz=0
)73、各向同性材料的體應(yīng)變
體應(yīng)變公式
每單位體積的體積改變,稱為體積應(yīng)變。
8
關(guān)于A點的應(yīng)力狀態(tài)有多種答案、請用平衡的概念分析哪一種是正確的?AA4、思考題(A)(B)(C)(D)9一點處的應(yīng)力狀態(tài)有不同的表示方法,而用主應(yīng)力表示最為重要。
請分析圖示4
種應(yīng)力狀態(tài)中,哪幾種是等價的t0t0t0t0t0t045ot0t045o(A)(B)(C)(D)10§7-5空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度
在線彈性范圍和小變形條件下,應(yīng)變能與加載順序無關(guān),只取決于外力(變形)的最終值。單位體積的應(yīng)變能,稱為應(yīng)變能密度,即:1、單向應(yīng)力狀態(tài)dz
dy
dx
s
s
112、三向應(yīng)力狀態(tài)
比例加載:圖示主單元體中,各面上的應(yīng)力按同一比例增加直至最終值。dz
dy
dx
s2
s1
s3
此時,對每一主應(yīng)力,其對應(yīng)的應(yīng)變能僅與對應(yīng)的主應(yīng)變有關(guān),而其它主應(yīng)力在該主應(yīng)變上不作功,同時考慮三個主應(yīng)力,有:12由前述廣義胡克定律
有:
則應(yīng)變能密度為:而主單元體體積為:133、形狀改變能密度一般情況,單元體有體積改變,也有形狀改變。=+
主單元體分解為圖示兩種單元體的疊加,有s1
s
2
s
3
(a)s
m
s
m
s
m
(b)s
2
-s
m
=s
2
'
s
1
-s
m
=s
1
'
s
3
-s
m
=s
3
'
(c)平均應(yīng)力:14則體積不變,僅發(fā)生形狀改變(圖c)
。在
m作用下,圖b無形狀改變,且其體積應(yīng)變同圖a,而對圖c,因為:
與此對應(yīng),圖a的體積改變能密度等于圖b的應(yīng)變能密度,而圖a的形狀改變能密度等于圖c所示單元體的應(yīng)變能密度。=+s1
s
2
s
3
(a)s
m
s
m
s
m
(b)s
2
-s
m
=s
2
'
s
1
-s
m
=s
1
'
s
3
-s
m
=s
3
'
(c)15
而:即(圖b):=+s1
s
2
s
3
(a)s
m
s
m
s
m
(b)s
2
-s
m
=s
2
'
s
1
-s
m
=s
1
'
s
3
-s
m
=s
3
'
(c)16而:
所以:
另外,由圖c可得(僅發(fā)生形狀改變),由應(yīng)變能密度公式:17所以:
由兩者相加并與圖a的應(yīng)變能密度比較,可證明:
對一般空間應(yīng)力狀態(tài)的單元體,應(yīng)變能密度可由六個應(yīng)力分量和對應(yīng)的應(yīng)變分量來表示,即為:18例:證明
解:對圖示純剪應(yīng)力狀態(tài)有:該單元體的應(yīng)變能為:
g
xy
t
x
dz
dy
dx
t
x
所以,應(yīng)變能密度為:
19而對純剪應(yīng)力狀態(tài),其主應(yīng)力為:如左圖所示。t
x
s1=
x
s3=-
x
s1=
x
而由主應(yīng)力和主應(yīng)變表示的應(yīng)變能密度為:
又由于:20所以:
由此可得:最后證得:
結(jié)合前式,有:21平面應(yīng)力狀態(tài)下的電測法一般形式:
對各向同性材料圖示平面應(yīng)力狀態(tài),在線彈性、小變形條件下,
x、
y與切應(yīng)變無關(guān),即有:
由此可見,可通過測量相應(yīng)的線應(yīng)變來確定一點的應(yīng)力狀態(tài)。s
x
t
xy
s
y
22例:已知圖示簡支梁C點45°方向的線應(yīng)變
,材料的彈性模量為E,求載荷F。其中1、已知主應(yīng)力方向的平面應(yīng)力狀態(tài)
只需測出主應(yīng)力方向上的主應(yīng)變
1、
2即可求得主應(yīng)力。l/3
2l/3
F
C
45
°
b
23
?
而:所以:解:C點的應(yīng)力狀態(tài)為圖示純剪應(yīng)力狀態(tài)。t
C
45°
3=t
1=t
主應(yīng)力方向如圖中紅線所示,一主應(yīng)力方向的應(yīng)變已知,并且24一般用三個方向上的應(yīng)變測量來求得應(yīng)力值,如:2、主應(yīng)力方向未知的平面應(yīng)力狀態(tài)或:
對下圖所示平面應(yīng)力狀態(tài),對45°應(yīng)變花,在x、y
方向有:s
y
t
x
s
x
e
x
e
y
e
45
°
45°
25并且:利用斜截面應(yīng)力的計算式可得:由此可得:或26
由此可見,通過上述三個方向線應(yīng)變的測量即可求出該點的應(yīng)力狀態(tài)。(推導(dǎo)等邊三角形應(yīng)變花的計算公式類同)例:構(gòu)件表面某點O,實驗測得該點沿0°與45°的正應(yīng)變分別為
0°=450×10-6、
45°=350×10-6,沿90°方位的正應(yīng)變
90°=100×10-6,已知E=200GPa,
=0.3,試求該點處的主應(yīng)力。解:顯然,有:由此可得:27進(jìn)而可得:28§7-6強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力s
s
1、概述
1)單向應(yīng)力狀態(tài):
圖示拉伸或壓縮的單向應(yīng)力狀態(tài),材料的破壞有兩種形式:塑性屈服:極限應(yīng)力為脆性斷裂:極限應(yīng)力為
此時,
s、
p0.2和
b可由實驗測得。由此可建立如下強(qiáng)度條件:
其中n為安全系數(shù)。292)純剪應(yīng)力狀態(tài):
圖示純剪應(yīng)力狀態(tài),材料的破壞有兩種形式:塑性屈服:極限應(yīng)力為脆性斷裂:極限應(yīng)力為
其中,
s和
b可由實驗測得。由此可建立如下強(qiáng)度條件:30
前述強(qiáng)度條件對材料破壞的原因并不深究。例如,圖示低碳鋼拉(壓)時的強(qiáng)度條件為:
max
F
F
然而,其屈服是由于
max引起的,對圖示單向應(yīng)力狀態(tài),有:依照切應(yīng)力強(qiáng)度條件,有:313)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)t
x
s
x
來建立,因為
與
之間會相互影響。
研究復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下材料破壞的原因,根據(jù)一定的假設(shè)來確定破壞條件,從而建立強(qiáng)度條件,這就是強(qiáng)度理論的研究內(nèi)容。與
相當(dāng)(等效)??梢?,對圖示平面應(yīng)力狀態(tài),不能分別用324)材料破壞的形式
塑性屈服型:常溫、靜載時材料的破壞形式大致可分為:
脆性斷裂型:鑄鐵:拉伸、扭轉(zhuǎn)等;低碳鋼:三向拉應(yīng)力狀態(tài)。低碳鋼:拉伸、扭轉(zhuǎn)等;鑄鐵:三向壓應(yīng)力狀態(tài)。例如:例如:
可見:材料破壞的形式不僅與材料有關(guān),還與應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)。33
根據(jù)一些實驗資料,針對上述兩種破壞形式,分別針對它們發(fā)生破壞的原因提出假說,并認(rèn)為不論材料處于何種應(yīng)力狀態(tài),某種類型的破壞都是由同一因素引起,此即為強(qiáng)度理論。脆性斷裂:
塑性屈服:
5)強(qiáng)度理論常用的破壞判據(jù)有:
下面將討論常用的、基于上述四種破壞判據(jù)的強(qiáng)度理論。342、四個常用的強(qiáng)度理論強(qiáng)度條件:
1)最大拉應(yīng)力理論(第一強(qiáng)度理論)
假設(shè)最大拉應(yīng)力
1是引起材料脆性斷裂的因素。不論在什么樣的應(yīng)力狀態(tài)下,只要三個主應(yīng)力中的最大拉應(yīng)力
1達(dá)到極限應(yīng)力
u,材料就發(fā)生脆性斷裂,即:可見:a)與
2、
3無關(guān);
b)應(yīng)力
u可用單向拉伸試樣發(fā)生脆性斷裂的試驗來確定。35實驗驗證:鑄鐵:單拉、純剪應(yīng)力狀態(tài)下的破壞與該理論相符;平面應(yīng)力狀態(tài)下的破壞和該理論基本相符。存在問題:沒有考慮
2、
3對脆斷的影響,無法解釋石料單壓時的縱向開裂現(xiàn)象。
假設(shè)最大伸長線應(yīng)變
1是引起脆性破壞的主要因素,則:
u用單向拉伸測定,即:
2)最大伸長線應(yīng)變理論(第二強(qiáng)度理論)36實驗驗證:
a)可解釋大理石單壓時的縱向裂縫;
b)鑄鐵二向、三向拉應(yīng)力狀態(tài)下的實驗不符;
c)對鑄鐵一向拉、一向壓的二向應(yīng)力狀態(tài)偏于安全,但可用。因此有:
強(qiáng)度條件為:
因為:37
對低碳鋼等塑性材料,單向拉伸時的屈服是由45°斜截面上的切應(yīng)力引起的,因而極限應(yīng)力
u可由單拉時的屈服應(yīng)力求得,即:3)最大切應(yīng)力理論(第三強(qiáng)度理論)
假設(shè)最大切應(yīng)力
max是引起材料塑性屈服的因素,則:因為:38實驗驗證:
c)二向應(yīng)力狀態(tài)基本符合,偏于安全。b)僅適用于拉壓性能相同的材料。由此可得,強(qiáng)度條件為:
a)僅適用于拉壓性能相同的材料;b)低碳鋼單拉(壓)對45
滑移線吻合;存在問題:沒考慮
2對屈服的影響,偏于安全,但誤差較大;39
假設(shè)形狀改變能密度vd是引起材料塑性屈服的因素,即:4)形狀改變能密度理論(第四
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