模型12 腳拉腳模型（教師版）

模型介紹模型介紹成立條件：等腰三角形頂角互補模塊一：認識“腳拉腳”模型1、等腰直角三角形的逆序腳拉腳基本圖ABCABCEDABCEDF已知：△ABC、△ADE為等腰直角三角形，∠B=∠D=90°，AB=CB，AD=ED，點F為CE的中點。結(jié)論：BF=DF，BF⊥DF.法1：倍長中線+手拉手延長DF至點G，使得FG=FD，易證△DEF≌△GCF（SAS）；所以CG=ED=AD，∠2=∠7；又∠1+∠2+∠3=360°，∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=540°（五邊形內(nèi)角和），∠4=∠6=90°；所以∠3+∠5+∠7=∠1+∠2+∠3，所以∠1=∠5；則△BCG≌△BAD（SAS），所以∠DBG=90°，BG=BD；所以BF=DG=DF，BF⊥DF。 由△BCF≌△GEF（SAS），得BC∥GH， 由△DEF≌△GCF（SAS），得GH∥DE，所以∠2=∠6=90°，則∠2=∠1，所以∠H+∠ADE=180°，即∠H=∠ADE=90°，在四邊形ADEH中，∠1+∠2=180°， 所以∠H=∠ABC=90°，則∠3+∠4=180°，又∠4+∠5=180°，所以∠1=∠2（8型轉(zhuǎn)角），所以∠3=∠5 所以∠3=∠4注意：選擇“四邊形對角互補”還是“8型轉(zhuǎn)角”證明角相等取決原有等腰直角三角形底邊與公共頂點的夾角（夾角小于45°：選擇“四邊形對角互補”;夾角大于45°：選擇“8型轉(zhuǎn)角”）法2：斜邊中線+中位線取AC中點G，AE中點H，連接BG，F(xiàn)G，F(xiàn)H，DH。由中位線定理可知：FG=AE=DH，F(xiàn)H=AC=BG，∠1=∠3=∠2，所以∠1+∠5=∠2+∠4，所以∠BGF=∠FHD；則△BGF≌△FHD（SAS），所以BF=DF，∠FBG=∠DFH，∠BFG=∠FDH；所以∠BFG+∠GFH+∠DFH=∠BFG+∠3+∠FBG=∠BFG+∠1+∠FBG，又∠BFG+∠1+∠FBG+∠5=180°（三角形內(nèi)角和），所以∠BFG+∠1+∠FBG=90°，所以BF⊥DF。2、等腰三角形的順序腳拉腳模型ABCABCDEABCDEF已知：△ABC、△ADE為等腰直角三角形，∠B=∠D=90°，AB=CB，AD=ED，結(jié)論：CE=BD，∠BFC=45°.法一：相似△ABD∽△ACE（SAS）∠4=∠1∠2=∠3=45°（8字型轉(zhuǎn)角）法二：手拉手+平行四邊形將線段BD逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BG，連接DG、CG。易證：△BAD≌△BCG（SAS），∠1=∠4+∠5，又∠3+∠5+∠6=∠7=90°，所以∠1+∠2+∠3+∠6=∠2+∠4+∠3+∠5+∠6=90°+90°=180°所以CG平行且等于DE，所以四邊形DECG為平行四邊形，所以CE=DG=BD，∠BFC=∠BDG=45°3、頂角互補型腳拉腳已知：△ABC、△DCE為等腰三角形，=180°，AB=AC，DC=DE，點F為BE的中點.結(jié)論：①AF⊥DF；②.法1：倍長中線+手拉手法2：中位線+相似 延長DF至點G，使得FG=FD，連接AD， 取BC中點M，EC中點N，連接AM，F(xiàn)M，AG，BG，延長BG與CD相交于點H。 DN，F(xiàn)N。易證：△BFG≌△EFD（SAS）由中位線定理得：FN=MC，MF=CN，∠4=∠5；得：BG∥DE，BG=DE=DC， 所以，同理；∠EDH=∠GHD=，所以∠CHB=又∠AMF+∠CMF=∠FND+∠CNF；所以∠ABG=∠ACD（8字型轉(zhuǎn)角） 所以∠AMF=∠FND，得∠AMF∽∠FND ；所以△ABG≌△ACD（SAS），得證。 所以∠3=∠7，；∠1+∠2+∠3+∠4+∠6=∠5+∠6+∠7+∠AFD；所以∠1+∠2=∠AFD=90°例題精講例題精講【例1】.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，點D是線段AC上一點，連接BD．以BD直角邊作等腰直角△BDE，∠DBE＝90°，連接AE，點F為AE中點，若AB＝4，BF＝1，則AD的長為．解：連接CE，延長AB、CE交于T，∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABD＝∠CBE，∵AB＝BC，DB＝EB，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴∠BCE＝∠BAD＝45°，∠ADB＝∠BEC，∴BC＝BT＝AB，∵點F是AE的中點，∴BT是△AET的中位線，∴TE＝2BF＝2，∵∠ADB＝∠BEC，∴∠BDC＝∠BET，∵∠T＝∠BCD，BT＝BC，∴△BDC≌△BET（AAS），∴CD＝ET＝2，∴AD＝AC﹣CD＝4﹣2，故答案為：4﹣2．變式訓(xùn)練【變式1-1】．如圖，△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF為等腰直角三角形，∠BEF＝90°，M為AF的中點，求證：ME＝CF．證明：如圖，延長FE到D，使DE＝EF，連接AD、BD，∵△BEF為等腰直角三角形，∠BEF＝90°，∴∠BFE＝45°，BE⊥DF，∴BE垂直平分DF，∴∠BDE＝45°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴BD＝BF，∠DBF＝90°，∵∠CBF+∠ABF＝∠ABC＝90°，∠ABD+∠ABF＝∠DBF＝90°，∴∠CBF＝∠ABD，在△ABD和△CBF中，，∴△ABD≌△CBF（SAS），∴AD＝CF，∵M為AF的中點，DE＝EF，∴ME是△ADF的中位線，∴ME＝AD，∴ME＝CF．【變式1-2】．已知正方形ABCD，將線段BA繞點B順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），得到線段BE，連接EA，EC．（1）在圖中依題意補全圖形，并求∠AEC的度數(shù)；（2）作∠EBC的平分線BF交EC于點G，交EA于點F，連接CF，用等式表示線段AE，F(xiàn)B，F(xiàn)C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．解：（1）圖形如圖1中所示：∵將線段BA繞點B旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），得到線段BE，∴AB＝BE，∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝AB＝BE，∴∠BAE＝∠BEA，∠BEC＝∠BCE，∴∠AEC＝∠AEB+∠CEB＝（360°﹣90°）＝135°；（2）如圖2中，結(jié)論：FB＝2FC+AE．理由：過點B作BH∥EC交FC的延長線于點H，如圖3，∵BE＝BC，BF平分∠EBC，∴BF垂直平分EC，∴FE＝FC，∠FGC＝90°，∴∠FEC＝∠FCE＝45°，∴∠GFC＝45°，∵BH∥EC，∵∠FBH＝∠FGC＝90°，∠H＝∠FCG＝45°，∴BF＝BH?tan45°＝BH，F(xiàn)H＝＝FB，∵∠ABF＝90°﹣∠FBC，∠CBH＝90°﹣∠FBC，∴∠ABF＝∠CBH，∵AB＝CB，∴△ABF≌△CBH（SAS），∴AF＝CH，∵FH＝FC+CH＝FC+AF＝FC+FE+AE＝2CF+AE，∴FB＝2FC+AE．【變式1-3】．（1）如圖1，AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠EAC，求證：BE＝CD．（2）如圖2，△ACE是等邊三角形，P為三角形外一點，∠APC＝120°，求證：PA+PC＝PE．（3）如圖3，若∠ACE＝∠AEC＝∠ADC＝45°，∠ACD﹣∠AED＝60°，DC＝3，求DE長．證明：（1）∵∠BAD＝∠EAC，∴∠BAE＝∠DAC，又∵AB＝AD，AE＝AC，∴△ADC≌△ABE（SAS）∴BE＝CD；（2）如圖2，延長CP至G，使PG＝PA，連接AG，∵∠APC＝120°，∴∠APG＝60°，且AP＝GP，∴△AGP是等邊三角形，∴AP＝AG＝GP，∠PAG＝∠AGP＝60°，∵△ACE是等邊三角形，∴AE＝AC＝CE，∠CAE＝60°，∴∠CAE＝∠PAG，∴∠GAC＝∠PAE，且AG＝AP，AC＝AE，∴△AGC≌△APE（SAS）∴PE＝GC，∴PE＝GC＝GP+PC＝AP+PC；（3）∵∠ACE＝∠AEC＝45°，∴AC＝AE，∠CAE＝90°，如圖3，將△AED繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACH，連接DH，CH，∴△AED≌△ACH，∴AD＝AH，∠DAH＝90°，CH＝DE，∠AED＝∠ACH，∴∠ADH＝45°，∵∠ADC＝45°，∴∠HDC＝90°，∵∠ACD﹣∠AED＝60°，∴∠ACD﹣∠ACH＝60°＝∠DCH，∴∠DHC＝30°，且∠CDH＝90°，∴HC＝2CD＝6，∴DE＝CH＝6．實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練1．如圖，分別以△ABC的邊AB，AC向外作兩個等邊三角形△ABD，△ACE．連接BE、CD交點F，連接AF．（1）求證：△ACD≌△AEB；（2）求證：AF+BF+CF＝CD．證明：（1）∵△ABD和△ACE為等邊三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAB＝60°，∴∠DAC＝∠BAE＝60°+∠BAC，∴在△ACD和△AEB中∴△ACD≌△AEB（SAS）；（2）由（1）知∠CDA＝∠EBA，如圖∠1＝∠2，∴180°﹣∠CDA﹣∠1＝180°﹣∠EBA﹣∠2，∴∠DAB＝∠DFB＝60°，如圖，延長FB至K，使FK＝DF，連DK，∴△DFK為等邊三角形，∴DK＝DF，∴△DBK≌△DAF（SAS），∴BK＝AF，∴DF＝DK，F(xiàn)K＝BK+BF，∴DF＝AF+BF，又∵CD＝DF+CF，∴CD＝AF+BF+CF．2.如圖，△ABC與△BDE均為等腰直角三角形，BA⊥AC，DE⊥BD，點D在AB邊上，連接EC，取EC中點F，求證：（1）AF＝DF；（2）AF⊥DF．證明：（1）連接BF，延長DF交AC于點G，∵∠EBD＝∠ABC＝45°，∴∠EBC＝90°，在RT△EBC中，F(xiàn)為斜邊中點，∴BF＝EF，∴∠FBC＝∠FCB，∴∠DFE＝∠DFB，∵∠EFB＝∠FBC+∠FCB，∴∠DFE+∠DFB＝∠FBC+∠FCB，∴2∠DFB＝2∠FBC，則∠DFB＝∠FBC，∴DG∥BC，∵△BAC為等腰直角三角形，且DG∥BC，AB＝AC，∴AD＝AG，BD＝CG，∵BD＝DE，∴DE＝CG，∵∠BDE＝∠CAB＝90°，∴DE∥AC，∴∠DEF＝∠GCF，在△DEF和△GCF中，∴△DEF≌△GCF（SAS），∴DF＝FG，∵△DAG為等腰直角三角形，∴AF⊥DG；（2）∵F為DG中點，∴在RT△DAG中，AF＝DF．3.已知：如圖，AB＝AC，DC＝DE，且∠BAC＝∠CDE＝90°，連接BE，F(xiàn)為BE的中點．求證：（1）∠ACD＝∠ABE+∠BED；（2）FA＝FD，F(xiàn)A⊥FD．證明：（1）在四邊形ABED中，∠ABE+∠BED+∠EDA+∠DAB＝360°，∵∠BAC＝∠CDE＝90°，∴∠ABE+∠BED+∠CAD+∠CDA＝180°，∵∠ACD+∠CAD+∠CDA＝180°，∴∠ACD＝∠ABE+∠BED，（2）如圖，延長AF至點G，使得FG＝AF，連接GE、GD，在△ABF和△GEF中，，∴△ABF≌△GEF（SAS），∴AC＝AB＝GE，∠ABF＝∠GEF，∴∠ACD＝∠ABE+∠BED＝∠GEF+∠BED＝∠GED，在△ACD和△GED中，，∴△ACD≌△GED（SAS），∴AD＝GD，∠CDA＝∠EDG．∴∠ADG＝∠CDA+∠CDG＝∠EDG+∠CDG＝∠CDE＝90°，∴△ADG是等腰直角三角形，又∵AF＝GF，∴∠FAD＝∠FDA＝45°，∴FA＝FD，F(xiàn)A⊥FD．4.已知正方形ABCD與正方形CEFG，M是AF的中點，連接DM，EM．（1）如圖1，點E在CD上，點G在BC的延長線上，請判斷DM，EM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并直接寫出結(jié)論；（2）如圖2，點E在DC的延長線上，點G在BC上，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請證明你的結(jié)論．解：（1）結(jié)論：DM⊥EM，DM＝EM．理由：如圖1中，延長EM交AD于H．∵四邊形ABCD是正方形，四邊形EFGC是正方形，∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，∴AD∥EF，∴∠MAH＝∠MFE，∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，∴△AMH≌△FME（AAS），∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，∴DH＝DE，∵∠EDH＝90°，∴DM⊥EM，DM＝ME；（2）如圖2中，結(jié)論不變．DM⊥EM，DM＝EM．理由：如圖2中，延長EM交DA的延長線于H．∵四邊形ABCD是正方形，四邊形EFGC是正方形，∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，∴AD∥EF，∴∠MAH＝∠MFE，∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，∴△AMH≌△FME，∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，∴DH＝DE，∵∠EDH＝90°，∴DM⊥EM，DM＝ME．5．如圖，等邊△ABC外有一點D，連接DA，DB，DC．（1）如圖1，若∠DAB+∠DCB＝180°，求證：BD平分∠ADC；（2）如圖2，若∠BDC＝60°，求證：BD﹣CD＝AD；（3）如圖3，延長AD交BC的延長線于點F，以BF為邊向下作等邊△BEF，若點D，C，E在同一直線上，且∠ABD＝α，直接寫出∠CEF的度數(shù)為60°﹣α（結(jié)果用含α的式子表示）．（1）證明：過點B作BM⊥CD于點M，BN⊥AD于點N，∴∠ANB＝∠CMB＝90°，∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝BC，∵∠DAB+∠DCB＝180°，∠DCB+∠BCM＝180°，∴∠OAB＝∠BCM，∴△ABN≌△CBM（AAS），∴BM＝BN，∴BD平分∠ADC；（2）證明：在BD上取點E，使DE＝CD，∵∠BDC＝60°∴△CDE為等邊三角形，∴∠DCE＝∠ACB＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∵AC＝BC，∴△ADC≌△BEC（SAS），∴AD＝BE，∴BD﹣CD＝AD；（3）解：∵△ABC，△BEF為等邊三角形，∴AB＝CB，BF＝BE，∠ABF＝∠CBE∴△ABF≌CBE（SAS），∴∠DFB＝∠CEB，∵∠CEB+∠CEF＝60°，∠EFB＝60°∴∠FDE＝180°﹣∠DFB﹣∠EFB﹣∠CEF＝60°∴∠ADC＝120°，∴∠ADC+∠ABC＝180°，由（1）得BD平分∠ADC∴∠BDE＝60°，∴∠FDB＝120°，∴∠FDB+∠FEB＝180°，∴F，E，B，D四點共圓，∴∠CEF＝∠DBF∵∠DBF＝60°﹣α．∴∠CEF＝60°﹣α．故答案為：60°﹣α．6．在△ABC中，AB＝AC，D是邊BC上一動點，連接AD，將AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至AE的位置，使得∠DAE+∠BAC＝180°．（1）如圖1當(dāng)∠BAC＝90°時，連接BE，交AC于點F．若BE平分∠ABC，BD＝2，求AF的長；（2）如圖2，連接BE，取BE的中點G，連接AG．猜想AG與CD存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．解：（1）連接CE，過點F作FQ⊥BC于Q，∵BE平分∠ABC，∠BAC＝90°，∴FA＝FQ，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴FQ＝CF，∵∠BAC+∠DAE＝180°，∴∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，由旋轉(zhuǎn)知，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE＝2，∠ABD＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝90°，∴∠CBF+∠BEC＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∴∠ABF+∠BEC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABF+∠AFB＝90°，∴∠AFB＝∠BEC，∵∠AFB＝∠CFE，∴∠BEC＝∠CFE，∴CF＝CE＝2，∴AF＝FQ＝CF＝；（2）AG＝CD，理由：如圖2，延長BA至點M，使AM＝AB，連接EM，∵G是BE的中點，∴AG＝ME，∵∠BAC+∠DAE＝∠BAC+∠CAM＝180°，∴∠DAE＝∠CAM，∴∠DAC＝∠EAM，∵AB＝AM，AB＝AC，∴AC＝AM，∵AD＝AE，∴△ADC≌△AEM（SAS），∴CD＝EM，∴AG＝CD．7．如圖1，點A在x軸上，點D在y軸上，以O(shè)A、AD為邊分別作等邊△OAC和等邊△ADE，若D（0，4），A（2，0）．（1）若∠DAC＝10°，求CE的長和∠AEC的度數(shù)．（2）如圖2，若點P為x軸正半軸上一動點，點P在點A的右邊，連PC，以PC為邊在第一象限作等邊△PCM，延長MA交y軸于N，當(dāng)點P運動時，①∠ANO的值是否發(fā)生變化？若不變，求其值，若變化，請說明理由．②AM﹣AP的值是否發(fā)生變化？若不變，求其值，若變化，請說明理由．（1）解：∵△AOC和△DAE是等邊三角形，∴AC＝AO，AE＝AD，∠OAC＝∠EAD＝60°，∴∠CAE＝∠DAO＝60°+∠CAD＝70°，在△CAE和△OAD中∴△CAE≌△OAD（SAS），∴CE＝OD＝4，∠ACE＝∠AOD＝90°，∵∠DAC＝10°，∠DAE＝60°，∵∠CAE＝70°，∴∠AEC＝180°﹣90°﹣70°＝20°．（2）解：①∠ANO的值不變化，其度數(shù)為30°，理由是：∵△AOC和△CPM是等邊三角形，∴OA＝AC，CP＝CM，∠OCA＝∠MCP＝60°，∴∠OCP＝∠ACM，在△OCP和△ACM中∴△OCP≌△ACM（SAS），∴∠COA＝∠CAM＝60°，∴∠MAP＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠OAN＝∠MAP＝60°，∵∠AON＝90°，∴∠ANO＝90°﹣60°＝30°．②不變，理由是：∵△OCP≌△ACM，∴AM＝OP，∴AM﹣OP＝OP﹣AP＝OA，∵A（2，0），∴OA＝2，即AM﹣AP＝2，∴AM﹣AP的值不發(fā)生變化，永遠是2．8．已知點A在x軸正半軸上，以O(shè)A為邊作等邊△OAB，A（x，0），其中x是方程的解．（1）點A的坐標(biāo)為（3，0）；（2）如圖1，點C在y軸正半軸上，以AC為邊在第一象限內(nèi)作等邊△ACD，連DB并延長交y軸于點E，求∠BEO的度數(shù)；（3）如圖2，點F為x軸正半軸上一動點，點F在點A的右邊，連接FB，以FB為邊在第一象限內(nèi)作等邊△FBG，連GA并延長交y軸于點H，當(dāng)點F運動時，GH﹣AF的值是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，求出其變化的范圍．解：（1）∵，∴3（3x﹣1）﹣2＝22，解得：x＝3，經(jīng)檢驗，x＝3是原方程的解，∴A（3，0），故答案為：（3，0）；（2）如圖1，∵△ACD，△ABO是等邊三角形，∴AO＝AB，AD＝AC，∠BAO＝∠CAD＝60°，∴∠CAO＝∠BAD，在△CAO和△DAB中，，∴△CAO≌△DAB（SAS），∴∠COA＝∠DBA＝90°，∴∠ABE＝90°，∵∠AOE+∠ABE+∠OAB+∠BEO＝360°，∴∠BEO＝120°；（3）GH﹣AF的值是定值，理由如下：∵△ABC，△BFG是等邊三角形，∴BO＝AB＝AO＝3，F(xiàn)B＝BG，∠BOA＝∠ABO＝∠FBG＝60°，∴∠OBF＝∠ABG，在△ABG和△OBF中，，∴△ABG≌△OBF（SAS），∴AG＝OF，∠BAG＝∠BOF＝60°，∴AG＝OF＝OA+AF＝3+AF，∵∠OAH＝180°﹣∠OAB﹣∠BAG，∴∠OAH＝60°，∵∠AOH＝90°，OA＝3，∴AH＝6，∴GH﹣AF＝AH+AG﹣AF＝6+3+AF﹣AF＝9，∴GH﹣AF的值是定值．9．在平面直角坐標(biāo)系中，B點在x軸上，且PA⊥PB，點A（0，a）、P（m，m），若a、m滿足a2+m2﹣4a﹣8m+20＝0（1）如圖1，求a、m的值；（2）如圖2，若A點運動到y(tǒng)軸的負半軸上，求OB﹣OA的值；（3）如圖3，若Q是線段AB上一動點，C為AQ中點，PR⊥PQ且PR＝PQ，連BR，請同學(xué)們判斷線段BR與PC之間的關(guān)系，并加以證明．解：（1）a2+m2﹣4a﹣8m+20＝0，（a﹣2）2+（m﹣4）2＝0，∵（a﹣2）2≥0，（m﹣4）2≥0，∴（a﹣2）2＝0，（m﹣4）2＝0，∴a＝2，m＝4；（2）過點P分別作PE⊥x作于E，PF⊥y軸于F，∵P（4，4），∴PE＝PF，又∠APB＝∠EPF＝90°，∴∠EPB＝∠FPA，在△PEB和△PFA中，，∴△PEB≌△PFA（ASA），∴BE＝AF，∴OB﹣OA＝EB+OE﹣（AF﹣OF）＝2OE＝8；（3）BR＝2PC，BR⊥PC，理由如下：過點P分別作PG⊥x軸于G，PH⊥y軸于H，延長PC到S，使CS＝PC，連接AS，∵P（4，4），∴PG＝PH＝4，∵∠APB＝∠HPG＝90°，∴∠HPA＝∠GPB，在△PHA和△PGB中，，∴△PHA≌△PGB（ASA），∴PA＝PB，在△ACS和△QCP中，，∴△ACS≌△QCP（SAS），∴AS＝PQ＝PR，∠S＝∠QPC，∴AS∥PQ，∠SAP+∠APQ＝180°，∵∠RPB+∠APQ＝∠APB+∠APR+∠APQ＝180°，∴∠SAP＝∠RPB，在△ASP和△PRB中，，∴△ASP≌△PRB（SAS），∴BR＝PS＝2PC，∠APS＝∠PBR，∵∠APS+∠BPS＝90°，∴∠PBR+∠BPC＝90°，∴BR⊥PC，10．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，4），C（﹣2，﹣2），且∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）求點B的坐標(biāo)；（2）如圖2，若BC交y軸于點M，AB交x軸與點N，過點B作BE⊥y軸于點E，作BF⊥x軸于點F，請?zhí)骄烤€段MN，ME，NF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，若在點B處有一個等腰Rt△BDG，且BD＝DG，∠BDG＝90°，連接AG，點H為AG的中點，試猜想線段DH與線段CH的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．解：（1）如圖1中，過點C作CT⊥y軸于點T，過點B作BH⊥CT交CT的延長線于點H．∵A（0，4），C（﹣2，﹣2），∴OA＝4，OT＝CT＝2，∴AT＝4+2＝6，∵∠ACB＝∠ATC＝∠H＝90°，∴∠CAT+∠ACT＝90°，∠BCH+∠CBH＝90°，∴∠CAT＝∠BCH，∵CA＝CB，∴△ATC≌△CHB（AAS），∴AT＝CH＝6，CT＝BH＝2，∴TH＝CH﹣CT＝4，∴B（4，﹣4）；（2）結(jié)論：MN＝ME+NF．理由：在射線OE上截取EK＝FN，連接BK．∵B（4，﹣4），BE⊥y軸，BF⊥x軸，∴BE＝BF＝4，∠BEO＝∠BFO＝∠EOF＝90°，∴四邊形BEOF是矩形，∴∠EBF＝90°，∵EK＝FN，∠BFN＝∠BEK＝90°，∴△BFN≌△BEK（SAS），∴BN＝BK，∠FBN＝∠EBK，∴∠NBK＝∠FBE＝90°，∵∠MBN＝45°，∴∠MBN＝∠BMK＝45°，∵BM＝BM，∴△BMN≌△BMK（SAS），∴MN＝MK，∵MK＝ME+EK，∴MN＝EM+FN；（3）結(jié)論：DH＝CH，DH⊥CH．理由：如圖3中，延長DH到J，使得HJ＝DH，連接AJ，CJ，延長DG交AC于點M．∵AH＝HG，∠AHJ＝∠GHD，HJ＝HD，∴△AHJ≌△GHD（SAS），∴AJ＝DG，∠AJH＝∠DGH，∴AJ∥DM，∴∠JAC＝∠AMD，∵DG＝BD，∴AJ＝BD，∵∠MCB＝∠BDM＝90°，∴∠CBD+∠CMD＝180°，∵∠AMD+∠CMD＝180°，∴∠AMD＝∠CBD，∴∠CAJ＝∠CBD，∵CA＝CB，∴△CAJ≌△CBD（SAS），∴CJ＝CD，∠ACJ＝∠BCD，∴∠JCD＝∠ACB＝90°，∵JH＝HD，∴CH⊥DJ，CH＝JH＝HD，即CH＝DH，CH⊥DH．11．已知正方形ABCD與正方形AEFG，正方形AEFG繞點A旋轉(zhuǎn)一周．（1）如圖①，連接BG、CF，求的值；（2）當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至圖②位置時，連接CF、BE，分別取CF、BE的中點M、N，連接MN、試探究：MN與BE的關(guān)系，并說明理由；（3）連接BE、BF，分別取BE、BF的中點N、Q，連接QN，AE＝6，請直接寫出線段QN掃過的面積．解：（1）如圖①，連接AF，AC，∵四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，∴AC＝AB，AF＝AG，∠CAB＝∠GAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠CAF＝∠BAG，，∴△CAF∽△BAG，∴＝；（2）BE＝2MN，MN⊥BE，理由如下：如圖②，連接ME，過點C作CH∥EF，交直線ME于H，連接BH，設(shè)CF與AD交點為P，CF與AG交點為R，∵CH∥EF，∴∠FCH＝∠CFE，∵點M是CF的中點，∴CM＝MF，又∵∠CMH＝∠FME，∴△CMH≌△FME（ASA），∴CH＝EF，ME＝HM，∴AE＝CH，∵CH∥EF，AG∥EF，∴CH∥AG，∴∠HCF＝∠CRA，∵AD∥BC，∴∠BCF＝∠APR，∴∠BCH＝∠BCF+∠HCF＝∠APR+∠ARC，∵∠DAG+∠APR+∠ARC＝180°，∠BAE+∠DAG＝180°，∴∠BAE＝∠BCH，又∵BC＝AB，CH＝AE，∴△BCH≌△BAE（SAS），∴BH＝BE，∠CBH＝∠ABE，∴∠HBE＝∠CBA＝90°，∵MH＝ME，點N是BE中點，∴BH＝2MN，MN∥BH，∴BE＝2MN，MN⊥BE；（3）如圖③，取AB中點O，連接ON，OQ，AF，∵AE＝6，∴AF＝6，∵點N是BE的中點，點Q是BF的中點，點O是AB的中點，∴OQ＝AF＝3，ON＝AE＝3，∴點Q在以點O為圓心，3為半徑的圓上運動，點N在以點O為圓心，3為半徑的圓上運動，∴線段QN掃過的面積＝π×（3）2﹣π×32＝9π．12．已知：在平面直角坐標(biāo)系中，點A（﹣3，0），點B（﹣2，3）．（1）在圖①中的y軸上求作點P，使得PA+PB的值最??；（2）若△ABC是以AB為腰的等腰直角三角形，請直接寫出點C的坐標(biāo)；（3）如圖②，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，點D（不與點A重合）是x軸上一個動點，點E是AD中點，連接BE，把BE繞著點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到FE（即∠BEF＝90°，BE＝FE），連接BF、CF、CD，試猜想∠FCD的度數(shù)，并給出證明．解：（1）如圖①﹣1中，點P即為所求．（2）如圖①﹣2中，滿足條件的點C1（1，2），C2（0，﹣1），C3（﹣5，4），C4（﹣6，1）．（3）猜想∠FCD＝45°①當(dāng)點D運動到點A右側(cè)時，如圖②中，延長FE至G，使EG＝EF，連接AG，BG，DF．在△FED和△GEA中∵EF＝EG，∠FED＝∠GEA，ED＝EA∴△FED≌△GEA（SAS）∴FD＝AG，∠EFD＝∠EGA∵∠BEF＝90°∴BE⊥EF∵BE＝FE，F(xiàn)E＝EG∴△GBF是等腰直角三角形，∴∠BGF＝∠BFG＝45°，∠GBF＝90°，BG＝BF∵∠ABC＝90°∴∠ABC＝∠GBF，即∠ABG+∠GBC＝∠CBF+GBC∴∠ABG＝∠CBF在△ABC和△CBF中∵AB＝BC，∠ABG＝∠CBF，BG＝BF∴△ABG≌△CBF（SAS）∴AG＝CF，∠AGB＝∠CFB，∵FD＝AG，∴CF＝FD，∴∠CFD＝∠CFE+∠EFD＝∠GFB﹣∠BFC+∠AGE＝45°﹣∠BFC+∠AGB+∠BGE＝45°+45°＝90°，∵CF＝FD∴△CFD是等腰直角三角形，∠FCD＝45°②當(dāng)點D運動到點A左側(cè)時，同理可證，∠FCD＝45°綜上所述，∠FCD＝45°13．如圖，平面直角坐標(biāo)系中．A點在y軸上，B（b，0），C（c，0）在x軸上，∠BAC＝60°，且b、c滿足等式b2+2bc+c2＝0．（1）判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）如圖1，F(xiàn)為AB延長線上一點，連FC，G為y軸上一點，若∠GFC+∠ACG＝60°．求證：FG平分∠AFC；（3）如圖2，△BDE中，DB＝DE，∠BDE＝120°，M為AE中點，試確定DM與CM的位置關(guān)系，并說明理由．解：（1）△ABC是等邊三角形，理由如下：∵b2+2bc+c2＝0∴b+c＝0，∴B與C關(guān)于y軸對稱，∴AO是BC的中垂線，∴AB＝AC，又∠BAC＝60°，∴△ABC是等邊三角形．（2）連接BG，由（1）知△AGB≌△AGC．∴GB＝GC．在FC的延長線上取點P，使GP＝GF．設(shè)∠GFC＝α，∠ACG＝β，則α+β＝60°，∠ABG＝∠ACG＝β，∴∠BGC＝60°+2β＝180°﹣2α，∵GF＝GP，∴∠GFC＝∠P＝α，∴∠FGP＝180°﹣2α，∴∠BGC＝∠FGP，∴△GBF≌△GCP（SAS），∴∠BFG＝∠P，∴∠AFG＝∠GFC，即FG平分∠AFC．（3）延長DM至F，使DM＝MF，連AF交BD于G，連接CD，CF．∴AF＝DE＝BD，AF∥DE，∴∠AGB＝∠ACB＝60°，∴∠FAC＝∠DBC，∴△DBC≌△FAC（SAS），∴CD＝CF，∴DM⊥CM．14．如圖所示，△ABC，△ADE為等腰三角形，∠ACB＝∠AED＝90°．（1）如圖1，點E在AB上，點D與C重合，F(xiàn)為線段BD的中點，則線段EF與FC的數(shù)量關(guān)系是EF＝FC；∠EFD的度數(shù)為90°．（2）如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，將△ADE繞A點順時針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，其中D、A、C在一條直線上，F(xiàn)為線段BD的中點，則線段EF與FC是否存在某種確定的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？證明你的結(jié)論．（3）若△ADE繞A點任意旋轉(zhuǎn)一個角度到如圖3的位置，F(xiàn)為線段BD的中點，連接EF、FC，請你完成圖3，請猜想線段EF與FC的關(guān)系，并驗證你的猜想．解：（1）∵△ABC、△AED為等腰直角三角形，∴∠B＝45°，∠ECA＝90°，∴∠ECB＝45°，∴BE＝EC，∵F為BD中點，∴EF⊥BC，∴EF＝FC，∠EFD＝90°，故答案為：EF＝FC；90°（2）如圖2，延長CF到M，使CF＝FM，連接DM、ME、EC，∵F為BD中點，∴DF＝FB，在△BCF和△DFM中∴△BFC≌△DFM（SAS），∴DM＝BC，∠MDB＝∠FBC，∴MD＝AC，MD∥BC，∴∠MDC＝∠BCA＝90°∴∠MDE＝∠EAC＝135°，在△MDE和△CAE中∴△MDE≌△CAE（SAS），∴ME＝EC，∠MED＝∠CEA，∴∠MED+∠FEA＝∠FEA+∠CEA＝90°，∴∠MEC＝90°，又F為CM的中點，∴EF＝FC，EF⊥FC；（3）圖形如圖3，結(jié)論：EF＝FC，EF⊥FC．證明如下：如圖4，延長CF到M，使CF＝FM，連接ME、EC，連接DM交延長交AE于G，交AC于H，∵F為BD中點，∴DF＝FB，在△BCF和△DFM中∴△BFC≌△DFM（SAS），∴DM＝BC，∠MDB＝∠FBC，∴MD＝AC，HD∥BC，∴∠AHG＝∠BCA＝90°，且∠AGH＝∠DGE，∴∠MDE＝∠EAC，在△MDE和△CAE中∴△MDE≌△CAE（SAS），∴ME＝EC，∠MED＝∠CEA，∴∠MED+∠FEA＝∠FEA+∠CEA＝90°，∴∠MEC＝90°，又F為CM的中點，∴EF＝FC，EF⊥FC．15．已知等邊△ABC和等腰△CDE，CD＝DE，∠CDE＝120°．（1）如圖1，點D在BC上，點E在AB上，P是BE的中點，連接AD，PD，則線段AD與PD之間的數(shù)量關(guān)系為AD＝2PD；（2）如圖2，點D在△ABC內(nèi)部，點E在△ABC外部，P是BE的中點，連接AD，PD，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；（3）如圖3，若點D在△ABC內(nèi)部，點E和點B重合，點P在BC下方，且PB+PC為定值，當(dāng)PD最大時，∠BPC的度數(shù)為60°．解：（1）結(jié)論：AD＝2PD．理由：如圖1中，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60°，∵∠EDC＝120°，∴∠EDB＝180°﹣120°＝60°，∴∠B＝∠EDB＝∠BED＝60°，∴△BDE是等邊三角形，∵BP＝PE，∴DP⊥AB，∴∠APD＝90°，∵DE＝DC，DE＝DB，∴BD＝CD，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴∠PAD＝∠BAC＝30°，∴AD＝2PD．（2）結(jié)論成立．理由：延長DP到N，使得PN＝PD，連接BN，EN，延長ED到M，使得DM＝DE，連接BD，BM，CM．∵DE＝DC＝DM，∠MDC＝180°﹣∠EDC＝60°，∴△DCM是等邊三角形，∵CA＝CB，CM＝CD，∠DCM＝∠ACB＝60°，∴∠BCM＝∠ACD，∴△BCM≌△ACD（SAS），∴AD＝BM，∵PB＝PE，PD＝PN，∴四邊形BNED是平行四邊形，∴BN∥DE，BN＝DE，∵DE＝DM，∴BN＝DM，BN∥DM，∴四邊形BNDM是平行四邊形，∴BM＝DN＝2PD，∴AD＝2PD．（3）如圖3中，作∠PDK＝∠BDC＝120°，且PD＝DK，連接PK，CK．∵DB＝DC，DP＝DK，∠BDC＝∠PDK，∴∠BDP＝∠CDK，∴△PDB≌△KDC（SAS），∴PB＝CK，∵PB+PC＝PC+CK＝定值，∴P，C，K共線時，PK定值最大，此時PD的值最大，此時，∠DPB＝∠DKP＝∠DPK＝30°，∠BPC＝∠DPB+∠DPK＝60°．故答案為60°．

16．CD是△ABC的高（1）如圖1，若∠ACB＝90°，∠BAC的平分線AE交CD于點F，交BC于點E，求證：CE＝CF；（2）如圖2，若∠A＝2∠B，∠ACB的平分線CG交AB于點G，求的值；（3）如圖3，若△ABC是以AB為斜邊的等腰直角三角形，再以AD為斜邊作等腰Rt△AMD，Q是DB的中點，連接CQ、MQ，試判斷線段CQ與MQ的關(guān)系，并給出證明．（1）證明：∵AE是∠BAC的平分線，∴∠CAE＝∠BAE，∵∠ACB＝90°，∠CDB＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵∠CFE＝∠CAE+∠ACD，∠CEF＝∠BAE+∠B，∴∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF；（2）解：在AD上取點H，使DH＝DG，連接CH，∵CD⊥AB，∴CH＝CG，∴∠CHD＝∠CGD，∠DCH＝∠DCG，由三角形內(nèi)角和定理得，∠C＝180°﹣∠A﹣∠B，∵∠A＝2∠B，∴∠C＝180°﹣3∠B，∵CG是∠ACB的平分線，∴∠BCG＝∠C＝90°﹣∠B，∠CGD＝∠BCG+∠B＝90°﹣∠B，在Rt△CDG中，∠CGD＝90°﹣∠DCG，∴∠DCG＝∠B，∴∠HCG＝∠B，∠CGD＝∠BCG+∠B，∠BCH＝∠BCG+∠HCG，∴∠CGD＝∠BCH，∵∠CHD＝∠CGD，∴∠CHD＝∠BCH，∴BC＝BH，∴BC﹣BG＝BH﹣BG＝GH＝2DG，即＝2；（3）解：CQ＝MQ，CQ⊥MQ，理由如下：作MN⊥AB于N，∵∠ACB＝90°，CA＝CB，CD⊥AB，∴CD＝AB＝AD＝BD，∵∠AMD＝90°，MA＝MD，MN⊥AD，∴MN＝AD＝AN＝ND，∵Q是DB的中點，∴DQ＝BD＝AD＝DN＝MN，∴NQ＝CD，在△CDQ和△QNM中，，∴△CDQ≌△QNM（SAS）∴CQ＝MQ，∠MQN＝∠QCD，∵∠QCD+∠CQD＝90°，∴∠MQN+∠CQD＝90°，即CQ⊥MQ．17．（1）探究：如圖1，在△ABC和△ADE都是等邊三角形，點D在邊BC上．①求∠DCE的度數(shù)；②直接寫出線段CD，CE，AC之間的數(shù)量關(guān)系；（2）應(yīng)用：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，P是四邊形ABCD內(nèi)一點，且∠APC＝120°，求證：PA+PC+PD≥BD；（3）拓展；如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（﹣4，0），點B是y軸上一個動點，以AB為邊在AB的下方作等邊△ABC，求OC的最小值．解：（1）①∵△ABC和△ADE均為等邊三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠B＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝60°，∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝120°；②線段AC、CD、CE之間的數(shù)量關(guān)系為：AC＝CD+CE；理由是：由①得：△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∵AC＝BC＝BD+CD，∴AC＝CD+CE；（2）如圖2，把線段AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60度，到AQ．連接AC、PQ，∴AP＝AQ，△APQ為正三角形，∴∠QAP＝60°，QP＝AP，又∵∠APC＝120°，∴∠APC+∠APQ＝180°，則C，P，Q在同一條直線上．∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC為正三角形，∴∠BAC＝60°，A