模型20 加權(quán)費馬點模型（教師版）

PAGE1模型介紹模型介紹對于費馬點問題，大家已經(jīng)見得比較多了，相信都能熟練解決，如果所求最值中三條線段的系數(shù)有不為1的情況，我們把這類問題歸為加權(quán)費馬點問題，費馬點問題屬于權(quán)為1的特殊情況.加權(quán)費馬點問題解決方法類似，也是通過旋轉(zhuǎn)進行線段轉(zhuǎn)化，只不過要根據(jù)系數(shù)的情況選擇不同的旋轉(zhuǎn)或放縮方法.【類型一單系數(shù)類】當(dāng)只有一條線段帶有不為1的系數(shù)時，相對較為簡單，一般有兩種處理手段，一種是旋轉(zhuǎn)特殊角度，一種是旋轉(zhuǎn)放縮.【類型二多系數(shù)類】其實當(dāng)三條線段的三個系數(shù)滿足勾股數(shù)的關(guān)系時，都是符合加權(quán)費馬點的條件的.經(jīng)過嘗試，我們會發(fā)現(xiàn)，以不同的點為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)不同的三角形得到的系數(shù)是不同的，對于給定的系數(shù)，我們該如何選取旋轉(zhuǎn)中心呢？我們總結(jié)了以下方法：1.將最小系數(shù)提到括號外；2.中間大小的系數(shù)確定放縮比例；3.最大系數(shù)確定旋轉(zhuǎn)中心（例如最大系數(shù)在PA前面，就以A為旋轉(zhuǎn)中心），旋轉(zhuǎn)系數(shù)不為1的兩條線段所在的三角形.例題精講例題精講【例1】．已知，如圖在△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝5，AC＝6，在△ABC內(nèi)部有一點D，連接DA、DB、DC，則DA+DB+DC的最小值是．解：如圖，過點C作CE⊥CD，且CE＝CD，連接DE，將△ADC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△FEC，連接FB，過點F作FH⊥BC，交BC的延長線于H，∵CE⊥CD，CE＝CD，∴DE＝CD，∵將△ADC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△FEC，∴EF＝AD，∠ACF＝90°，CF＝AC＝6，∴DA+DB+DC＝DB+EF+DE，∴當(dāng)點F，點E，點D，點B共線時，DA+DB+DC有最小值為FB，∵∠FCH＝180°﹣∠ACF﹣∠ACB＝60°，∴∠CFH＝30°，∴CH＝CF＝3，F(xiàn)H＝CH＝3，∴BF＝＝＝，故答案為：．變式訓(xùn)練【變式1-1】．如圖，P是邊長為2的等邊△ABC內(nèi)的一點，求PA+PB+PC的最小值．解：如圖，將△ABP擴大倍，并繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△EBD，連接PD，CE，作EF⊥CB于F，∵△EBD∽△ABP，∴，∴BE＝AB＝2，BD＝PB，DE＝AP，∴PD＝＝2PB，∴當(dāng)C、P、D、E共線時，PC+PD+DE最小，即：PC+2PB+PA最小為CE，在Rt△BEF中，BE＝2，∠EBF＝180°﹣∠ABE﹣∠ABC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴EF＝，BF＝2?cos30°＝2＝3，在Rt△CEF中，EF＝，CF＝BF+BC＝3+2＝5，∴CE＝＝＝2，∵PA+PB+PC＝（+2PB+PC），∴（PA+PB+PC）最?。紺E＝．【變式1-2】．已知：AC＝4，BC＝6，∠ACB＝60°，P為△ABC內(nèi)一點，求BP+2AP+PC的最小值．解：如圖將△ACP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，并使各邊擴大倍至△AC′P′，∴PP′＝2AP，P′C′＝PC，AC′＝AC＝4，∴BP+2AP+PC＝BP+PP′+P′C′≥BC′，∴當(dāng)B、P、P′、C′共線時，BP+2AP+PC最小，作BE⊥AC于E，作C′D⊥AB，交BA的延長線于D，在Rt△ABE中，CE＝BC＝3，BE＝BC＝3，∴AE＝AC﹣CE＝1，∴AB＝＝2，由△ABE∽△C′AD得，＝＝，∴，∴C′D＝，AD＝，∴BD＝AB+AD＝，∴BC′＝＝＝=，∴BP+2AP+PC的最小值為：．【變式1-3】．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點P是正方形內(nèi)部一點，求PA+2PB+PC的最小值．解：延長DC到H，使得CH＝2BC＝8，則BH＝4，在∠CBH的內(nèi)部作射線BJ，使得∠PBJ＝∠CBH，使得BJ＝BP，連接PJ，JH，AH．∵∠PBJ＝∠CBH，＝＝，∴＝，∴△JBP∽△HBC，∴∠BPJ＝∠BCH＝90°，∴PJ＝＝＝2PB，∵∠PBC＝∠JBH，＝，∴△PBC∽△JBH，∴＝＝，∴HJ＝PC∴PA+2PB+PC＝PA+PJ+HJ，∵PA+PJ+JH≥AH，∴PA+2PB+PC≥＝4，∴PA+2PB+PC的值最小，最小值為4．1．已知△ABC中，BC＝a，AB＝c，∠B＝30°，P是△ABC內(nèi)一點，求PA+PB+PC的最小值．解：（1）若△ABC每個角小于120°時，只需將△BPC繞點B按逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BP′C′，易知此時有BP＝PP′，PC＝P′C′，從而PA+PB+PC＝AP+PP′+P′C′≥AC′＝，當(dāng)A、P′、P、C′四點共線時取等號，最小值為；（2）若有一個角大于120°時，此時以該點為中心，以180°減去該角大小為旋轉(zhuǎn)角進行旋轉(zhuǎn)，①∠A≥120°時，當(dāng)P點與A重合時，PA+PB+PC最小，最小值為a+；②∠C≥120°時，當(dāng)P點與C重合時，PA+PB+PC最小，最小值為a+．故答案為：或a+．2．求的最小值．解：因為＝，則對于點T（x，x），A（0，1），，，，，可知y＝TA+TB+TC．容易驗證△ABC是中心為（0，0）、邊長為的等邊三角形．根據(jù)費馬點原理，當(dāng)T在O點處時、TA+TB+TC有最小值，ymin＝3．3．已知：等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，D是△ABC的費馬點（∠ADC＝∠BDC＝∠ADB＝120°），求AD+BD+CD的值．解：如圖以BC為邊作等邊△BCE，連接DE，∴CE＝BC，∠CEB＝∠BCE＝CBE＝60°，∵∠BDC＝120°，∴點E、B、C、D共圓，∴∠CDE＝∠CBE＝60°，∵∠ADC＝120°，∴∠ADC+∠CDE＝180°，∴A、D、E共線，在DE上截取DF＝CD，∴△ADF是等邊三角形，∴∠BCE＝∠DCF＝60°，CF＝CD，∴∠DCB＝∠FCE，∴△CEF≌△CBD（SAS），∴EF＝BD，∵∠ADE+∠ADB＝60°+120°＝180°，∴AD+CD+BD＝AD+DF+EF＝AE，在△ACE中，CE＝AC＝1，∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝90°+60°＝150°，作EG⊥AC于G，在Rt△CGE中，∠GCE＝180°﹣∠ACE＝30°，∴GE＝＝，CG＝CE?cos30°＝，在Rt△AGE中，AG＝AC+CG＝1+＝，GE＝，∴＝＝＝．4．如圖，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝6，BC＝4，點P是△ABC內(nèi)的一點．則PA+PB+PC的最小值是2．解：如圖，將△ACP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°至△ECD，連接PD，BE，作EF⊥BC，交BC的延長線于點F，∴PD＝PC，DE＝PA，∴PA+PB+PC＝PA+PD+DE，∴當(dāng)B，P，D，E共線時，PA+PB+PC最小，最小值為BE的長，在Rt△CEF中，∠ECF＝180°﹣∠ACB﹣∠ACE＝180°﹣60°﹣90°＝30°，CE＝AC＝4，∴EF＝4°＝2，CF＝4°＝4＝6，∴BF＝BC+CF＝12，在Rt△BEF中，BE＝＝＝2，∴PA+PB+PC最小值，為2，故答案為：2．

5．法國數(shù)學(xué)家費馬提出：在△ABC內(nèi)存在一點P，使它到三角形頂點的距離之和最?。藗兎Q這個點為費馬點，此時PA+PB+PC的值為費馬距離．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：在銳角△ABC中，費馬點P滿足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，如圖，點P為銳角△ABC的費馬點，且PA＝3，PC＝4，∠ABC＝60°，則費馬距離為7+2．解：如圖：∵∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120，∠ABC＝60°，∴∠1+∠3＝60°，∠1+∠2＝60°，∠2+∠4＝60°，∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，∴△BPC∽△APB∴＝，即PB2＝12∴PB＝2．∴PA+PB+PC＝7+2故答案為：7+2．6．已知：到三角形3個頂點距離之和最小的點稱為該三角形的費馬點．如果△ABC是銳角（或直角）三角形，則其費馬點P是三角形內(nèi)一點，且滿足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°．（例如：等邊三角形的費馬點是其三條高的交點）．若AB＝AC＝，BC＝2，P為△ABC的費馬點，則PA+PB+PC＝5；若AB＝2，BC＝2，AC＝4，P為△ABC的費馬點，則PA+PB+PC＝2．解：如圖，過A作AD⊥BC，垂足為D，過B，C分別作∠DBP＝∠DCP＝30°，則PB＝PC，P為△ABC的費馬點，∵AB＝AC＝，BC＝2，∴，∴，∴PD＝1，∴，∴，∴PA+PB+PC＝5；②如圖：∵AB＝2，BC＝2，AC＝4，∴AB2+BC2＝16，AC2＝16，∴AB2+BC2＝AC2，∠ABC＝90°，∵，∴∠BAC＝30°，將△APC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，由旋轉(zhuǎn)可得：△APC≌△AP'C'，∴AP'＝AP，PC＝P'C'，AC＝AC'，∠CAC'＝∠PAP'＝60°，∴△APP′是等邊三角形，∴∠BAC'＝90°，∵P為△ABC的費馬點，即B，P，P'，C'四點共線時候，PA+PB+PC＝BC'，∴PA+PB+PC＝BP+PP'+P'C'＝BC'＝＝，故答案為：5，．7．?dāng)?shù)學(xué)上稱“費馬點”是位于三角形內(nèi)且到三角形三個頂點距離之和最短的點．現(xiàn)定義：菱形對角線上一點到該對角線同側(cè)兩條邊上的兩點距離最小的點稱為類費馬點．例如：菱形ABCD，P是對角線BD上一點，E、F是邊BC和CD上的兩點，若點P滿足PE與PF之和最小，則稱點P為類費馬點．（1）如圖1，在菱形ABCD中，AB＝4，點P是BD上的類費馬點①E為BC的中點，F(xiàn)為CD的中點，則PE+PF＝4．②E為BC上一動點，F(xiàn)為CD上一動點，且∠ABC＝60°，則PE+PF＝2．（2）如圖2，在菱形ABCD中，AB＝4，連接AC，點P是△ABC的費馬點，（即PA，PB，PC之和最?。?，①當(dāng)∠ABC＝60°時，BP＝．②當(dāng)∠ABC＝30°時，你能找到△ABC的費馬點P嗎？畫圖做簡要說明，并求此時PA+PB+PC的值．解：（1）①取AB的中點E'，連接PE'，∵四邊形ABCD是菱形，∴BC＝AB＝CD，∠ABP＝∠CBP，∵點E，E'分別是AB，BC的中點，∴BE＝BE'，在△BEP和△BE'P中，，∴△BEP≌△BE'P（SAS），∴PE＝PE'，∴PE+PF＝PE'+PF，∴當(dāng)E'、P、F三點共線時，PE+PF最小值為E'F的長，∵AE'＝DF，AE'∥DF，∴四邊形AE'FD是平行四邊形，∴E'F＝AB＝4，∴PE+PF＝4，故答案為：4；②由①知PE+PF＝E'F，若E、F為動點，則E'F的最小值為AB與CD之間的距離，∴過點C作CH⊥AB于H，在Rt△BCH中，sin∠CBH＝，∴CH＝2，∵點P是BD上的類費馬點∴PE+PF的最小值為2；故答案為：2；（2）①如圖2，將△BPC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得△BP'C'，連接PP'，∴BP＝BP'，PC＝P'C'，∠PBP'＝60°，∴△BPP'是等邊三角形，∴PP'＝PB，∴PA+PB+PC＝PA+PP'+P'C'，∴當(dāng)P、P'在線段AC'上時，PA+PB+PC最小值為AC'的長，∴連接AC'，AC'與BD的交點為P點，∵AB＝BC＝4，∠ABC＝120°，∴∠BAP＝∠ABP＝30°，AC'＝4，∴AP＝BP，同理BP'＝CP'，∴BP＝AC'＝；故答案為：；②如圖3，將△BPC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得△BP'C'，連接PP'，∴BP＝BP'，PC＝P'C'，∠PBP'＝60°，∠CBC'＝60°，∴△BPP'是等邊三角形，∴PP'＝PB，∴PA+PB+PC＝PA+PP'+P'C'，∴當(dāng)P、P'在線段AC'上時，PA+PB+PC最小值為AC'的長，且點P是△ABC內(nèi)部的費馬點，∵∠ABC'＝90°，AB＝BC'＝4，∴AC'＝，∴此時PA+PB+PC的最小值為4．8．【問題情境】如圖1，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，BC＝5，則△ABC的外接圓的半徑值為5．【問題解決】如圖2，點P為正方形ABCD內(nèi)一點，且∠BPC＝90°，若AB＝4，求AP的最小值．【問題解決】如圖3，正方形ABCD是一個邊長為3cm的隔離區(qū)域設(shè)計圖，CE為大門，點E在邊BC上，CE＝cm，點P是正方形ABCD內(nèi)設(shè)立的一個活動崗哨，到B、E的張角為120°，即∠BPE＝120°，點A、D為另兩個固定崗哨．現(xiàn)需在隔離區(qū)域內(nèi)部設(shè)置一個補水供給點Q，使得Q到A、D、P三個崗哨的距離和最小，試求QA+QD+QP的最小值．（保留根號或結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)≈1.7，10.52＝110.25）．解：（1）如圖1，作△ABC的外接圓O，作直徑AD，連接OB，∵AB＝AC，∴AO⊥BC，∠BAO＝60°，∵OA＝OB，∴△OBA是等邊三角形，∴AB＝OA＝OB，設(shè)AD與BC交于點E，BE＝BC＝，在直角三角形ABE中，∵sin∠BAO＝，∴sin60°＝＝，∴AB＝5，∴OA＝5，故答案為：5；（2）如圖2，∵∠BPC＝90°，∴點在以BC為直徑的圓上，設(shè)圓心為點O，則OP＝BC＝2，∴O，P，A三點線時AP最小，在直角三角形ABO中，AO＝＝2，∵PO＝2，∴AP的最小值為：AO﹣PO＝2﹣2；（3）如圖3，設(shè)∠BPE所在圓的圓心為點O，根據(jù)（1）可得∠BPE所在圓的半徑為＝2，以點D為旋轉(zhuǎn)中心，將△DQA順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△DFN，當(dāng)N，F(xiàn)，Q，P，O共線時，QA+QD+QP最小，過點N作NG⊥AB交BA的延長線于點G，連接AN，則△AND是等邊三角形，過點O作OM⊥GN于M交BC于點H，連接OB，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC∥GN，∴OH⊥BC，∵BE＝2，∴BH＝，∴OH＝＝1，∵AD＝DN，∠ADN＝60°，∴△AND是等邊三形，且AN＝3，∠NAD＝60°，∴∠GAN＝30°，∴GN＝ANsin30°＝，AG＝ANcos30°＝，∴OM＝OH+AB+AG＝+1+3＝+3，MN＝GN﹣BH＝﹣＝，∴ON＝＝≈11，∴QA+QD+QP最小值為：11﹣2＝9（cm）．9．已知△ABC為等邊三角形，邊長為4，點D、E分別是BC、AC邊上一點，連接AD、BE，且AE＝CD．（1）如圖1，若AE＝2，求BE的長度；（2）如圖2，點F為AD延長線上一點，連接BF、CF，AD、BE相交于點G，連接CG，已知∠EBF＝60°，CE＝CG，求證：BF+GE＝2CF；（3）如圖3，點P是△ABC內(nèi)部一動點，順次連接PA、PB、PC，請直接寫出PA+PB+2PC的最小值．（1）解：∵△ABC是等邊三角形，∴BC＝AC＝AB＝4，∠ABC＝60°，∵AE＝2，∴CE＝AE＝2，∴BE⊥AE，∴∠AEB＝90°，∴BE＝＝＝2；（2）證明：如圖1，作DH∥CG交BE于H，作DT∥AC交BE于T，∴∠THD＝∠EGC，∠DTH＝∠CEG，∠BDH＝∠GCD，∵CE＝CG，∴∠EGC＝∠CEG，∴∠THD＝∠DTH，∴DH＝DT，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，在△ABE和△CAD中，，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴∠CAD＝∠ABE，AD＝BE，∵∠CAD+∠BAD＝∠BAC＝60°，∴∠ABE+∠BAD＝60°，∴∠BGF＝∠ABE+∠BAD＝60°，∵∠EBF＝60°，∴△GBF是等邊三角形，∴BF＝BG，∠GBF＝60°，∴∠ABC＝∠GBF，∴∠ABC﹣∠EBC＝∠GBF﹣∠EBC，即：∠ABG＝∠CBF，∴△ABG≌△CBF（SAS），∴AG＝CF，∵∠BGF＝∠ACB＝60°，∠EGD+∠BGF＝180°，∴在四邊形EGDC中，∠CEG+∠CDG＝180°，∵∠BHD+∠DHT＝180°，∠DHT＝∠CGE＝∠CEG，∴∠BHD＝∠CDG，在△BDH和△GCD中，，∴△BDH≌△GCD（AAS），∴DH＝CD，∴DT＝DH＝CD＝AE，∵DT∥AC，∴∠EAG＝∠TDG，∠AEG＝∠DTG，∴△AEG≌△DTG（ASA），∴AG＝DG，∴AD＝2AG，∴BE＝AD＝2AG＝2CF，∴BG+GE＝2CF，∴BF+GE＝2CF；（3）如圖2，將△BPC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°至△BDE，延長BD至F，使DF＝BD，延長BE至G，使EG＝BE，連接FG，連接AG，∴GF＝2DE＝2CP，PF＝，∴AP+＝AP+PF+FG，∴當(dāng)點A、P、F、G共線時，AP+PF+FG最小為AG，作GH⊥AB交AB的延長線于H，在Rt△BHG中，BG＝2BE＝2BC＝8，∠GBH＝180°﹣∠ABC﹣∠CBE＝60°，∴BH＝8?cos60°＝4，GH＝8?sin60°＝4，∴AH＝AB+BH＝8，∴AG＝＝＝4，∴AP+PF+FG最小為：4，∴（AP+）最?。?，∵PA+PB+2PC＝（PA+PB+2PC），∴（PA+PB+2PC）最?。?．10．如圖1，D、E、F是等邊三角形ABC中不共線三點，連接AD、BE、CF，三條線段兩兩分別相交于D、E、F．已知AF＝BD，∠EDF＝60°．（1）證明：EF＝DF；（2）如圖2，點M是ED上一點，連接CM，以CM為邊向右作△CMG，連接EG．若EG＝EC+EM，CM＝GM，∠GMC＝∠GEC，證明：CG＝CM．（3）如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)點M與點D重合時，若CD⊥AD，GD＝4，請問在△ACD內(nèi)部是否存在點P使得P到△ACD三個頂點距離之和最小，若存在請直接寫出距離之和的最小值；若不存在，試說明理由．（1）證明：如圖1，∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝AB，∠ACB＝60°，∴∠CAF+∠DAB＝60°，∵∠EDF＝60°，∴∠DAB+∠ABD＝60°，∴∠CAF＝∠ABD，∵AF＝BD，∴△ACF≌△BAD（SAS），∴EF＝DF；（2）證明：如圖2，由（1）知，EF＝DF，∠EDF＝60°，∴△DEF是等邊三角形，∴∠DEF＝60°，在EF上截取EN＝EM，連接MN，∴CN＝CE+EN＝CE+EM＝EG，∴△EMN是等邊三角形，∴∠CNM＝60°，∵∠GMC＝∠GEC，∠α＝∠β，∴∠NCM＝∠EGM，∵CM＝GM，∴△NCM≌△EGM（SAS），∴∠MEG＝∠CNM＝60°，∴∠CEG＝180°﹣∠MEG﹣∠FED＝60°，∴∠GME＝∠GEC＝60°，∵CM＝GM，∴△CMG是等邊三角形，∴CG＝CM；（3）解：如圖3，由（1）（2）知，△DEF和△CDG是等邊三角形，∴∠CFD＝60°，CD＝GD＝4，∵CD⊥AD，∴∠CDF＝90°，∴AD＝CF＝＝，將△DPC繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°至△DQG，連接AG，∴AD＝DQ，CP＝QG，∴△PDQ是等邊三角形，∴PD＝PQ，∴AP+PD+CP＝AP+PQ+QG，∴當(dāng)A、P、Q、G共線時，AP+PD+CP最?。紸G，作GH⊥AD于H，在Rt△DGH中，GH＝DG＝2，DH＝DG＝2，∴AH＝AD+DH＝+2＝，∴AG＝＝＝，∴AP+PD+CP的最小值是．11．（1）知識儲備①如圖1，已知點P為等邊△ABC外接圓的BC上任意一點．求證：PB+PC＝PA．②定義：在△ABC所在平面上存在一點P，使它到三角形三頂點的距離之和最小，則稱點P為△ABC的費馬點，此時PA+PB+PC的值為△ABC的費馬距離．（2）知識遷移①我們有如下探尋△ABC（其中∠A，∠B，∠C均小于120°）的費馬點和費馬距離的方法：如圖2，在△ABC的外部以BC為邊長作等邊△BCD及其外接圓，根據(jù)（1）的結(jié)論，易知線段AD的長度即為△ABC的費馬距離．②在圖3中，用不同于圖2的方法作出△ABC的費馬點P（要求尺規(guī)作圖）．（3）知識應(yīng)用①判斷題（正確的打√，錯誤的打×）：ⅰ．任意三角形的費馬點有且只有一個√；ⅱ．任意三角形的費馬點一定在三角形的內(nèi)部×．②已知正方形ABCD，P是正方形內(nèi)部一點，且PA+PB+PC的最小值為，求正方形ABCD的邊長．（1）①證明：在PA上取一點E，使PE＝PC，連接CE，∵△ABC是等邊三角形，∴∠APC＝∠ABC＝60°，又∵PE＝PC，∴△PEC是正三角形，∴CE＝CP，∠ACB＝∠ECP＝60°，∴∠ACE＝∠BCP，又∵∠PBC＝∠PAC，BC＝AC，∴△ACE≌△BCP（ASA），∴AE＝PB，∴PB+PC＝AE+PE＝AP；（2）①如圖2，得：PA+PB+PC＝PA+（PB+PC）＝PA+PD，∴當(dāng)A、P、D共線時，PA+PB+PC的值最小，∴線段AD的長度即為△ABC的費馬距離，故答案為：AD；②過AB和AC分別向外作等邊三角形，連接CD，BE，交點即為P．（過AC或AB作外接圓視作與圖2相同的方法，不得分）．（3）①?。ā蹋?；ⅱ．當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于120°時，所求三角形的費馬點為三角形最大內(nèi)角的頂點（×）（故答案為：i，√，ii，×；②解：將△ABP沿點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°到△A1BP1，如圖5，過A1作A1H⊥BC，交CB的延長線于H，連接P1P，易得：A1B＝AB，PB＝P1B，PA＝P1A1，∠P1BP＝∠A1BA＝60°，∵PB＝P1B，∠P1BP＝60°，∴△P1PB是正三角形，∴PP1＝PB，∵PA+PB+PC的最小值為，∴P1A1+PP1+PC的最小值為，∴A1，P1，P，C在同一直線上，即A1C＝設(shè)正方形的邊長為2x，∵∠A1BA＝60°，∠CBA＝90°，∴∠1＝30°，在Rt△A1HB中，A1B＝AB＝2x，∠1＝30°，得：A1H＝x，BH＝，在Rt△A1HC中，由勾股定理得：，解得：x1＝1x2＝﹣1（舍去）∴正方形ABCD的邊長為2．12．如圖（1），P為△ABC所在平面上一點，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點P叫做△ABC的費馬點．（1）如點P為銳角△ABC的費馬點．且∠ABC＝60°，PA＝3，PC＝4，求PB的長．（2）如圖（2），在銳角△ABC外側(cè)作等邊△ACB′連接BB′．求證：BB′過△ABC的費馬點P，且BB′＝PA+PB+PC．（3）已知銳角△ABC，∠ACB＝60°，分別以三邊為邊向形外作等邊三角形ABD，BCE，ACF，請找出△ABC的費馬點，并探究S△ABC與S△ABD的和，S△BCE與S△ACF的和是否相等．解：（1）∵∠PAB+∠PBA＝180°﹣∠APB＝60°，∠PBC+∠PBA＝∠ABC＝60°，∴∠PAB＝∠PBC，又∵∠APB＝∠BPC＝120°，∴△ABP∽△BCP，∴＝∴PB2＝PA?PC＝12，∴PB＝2；（2）證明：在BB'上取點P，使∠BPC＝120°．連接AP，再在PB'上截取PE＝PC，連接CE．∠BPC＝120°，∴∠EPC＝60°，∴△PCE為正三角形，∴PC＝CE，∠PCE＝60°，∠CEB'＝120°．∵△ACB'為正三角形，∴AC＝B′C，∠ACB'＝60°，∴∠PCA+∠ACE＝∠ACE+∠ECB′＝60°，∴∠PCA＝∠ECB′，∴△ACP≌△B′CE，∴∠APC＝∠B′EC＝120°，PA＝EB′，∴∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，∴P為△ABC的費馬點．∴BB'過△ABC的費馬點P，且BB'＝EB'+PB+PE＝PA+PB+PC．（3）如下圖，作CP平分∠ACB，交BC的垂直平分線于點P，P點就是費馬點；證明：過A作AM∥FC交BC于M，連接DM、EM，∵∠ACB＝60°，∠CAF＝60°，∴∠ACB＝∠CAF，∴AF∥MC，∴四邊形AMCF是平行四邊形，又∵FA＝FC，∴四邊形AMCF是菱形，∴AC＝CM＝AM，且∠MAC＝60°，∵在△BAC與△EMC中，CA＝CM，∠ACB＝∠MCE，CB＝CE，∴△BAC≌△EMC，∵∠DAM＝∠DAB+∠BAM＝60°+∠BAM∠BAC＝∠MAC+∠BAM＝60°+∠BAM∴∠BAC＝∠DAM在△ABC和△ADM中AB＝AD，∠BAC＝∠DAM，AC＝AM∴△ABC≌△ADM（SAS）故△ABC≌△MEC≌△ADM，在CB上截取CM，使CM＝CA，再連接AM、DM、EM（輔助線這樣做△AMC就是等邊三角形了，后邊證明更簡便）易證△AMC為等邊三角形，在△ABC與△MEC中，CA＝CM，∠ACB＝∠MCE，CB＝CE，∴△ABC≌△MEC（SAS），∴AB＝ME，∠ABC＝∠MEC，又∵DB＝AB，∴DB＝ME，∵∠DBC＝∠DBA+∠ABC＝60°+∠ABC，∠BME＝∠BCE+∠MEC＝60°+∠MEC，∴∠DBC＝∠BME，∴DB∥ME，即得到DB與ME平行且相等，故四邊形DBEM是平行四邊形，∴四邊形DBEM是平行四邊形，∴S△BDM+S△DAM+S△MAC＝S△BEM+S△EMC+S△ACF，即S△ABC+S△ABD＝S△BCE+S△ACF．13．（1）閱讀證明①如圖1，在△ABC所在平面上存在一點P，使它到三角形三頂點的距離之和最小，則稱點P為△ABC的費馬點，此時PA+PB+PC的值為△ABC的費馬距離．②如圖2，已知點P為等邊△ABC外接圓的上任意一點．求證：PB+PC＝PA．（2）知識遷移根據(jù)（1）的結(jié)論，我們有如下探尋△ABC（其中∠A，∠B，∠C均小于120°）的費馬點和費馬距離的方法：第一步：如圖3，在△ABC的外部以BC為邊長作等邊△BCD及其外接圓；第二步：在上取一點P0，連接P0A，P0B，P0C，P0D．易知P0A+P0B+P0C＝P0A+（P0B+P0C）＝P0A+P0D；第三步：根據(jù)（1）①中定義，在圖3中找出△ABC的費馬點P，線段AD的長度即為△ABC的費馬距離．（3）知識應(yīng)用已知三村莊A，B，C構(gòu)成了如圖4所示的△ABC（其中∠A，∠B，∠C均小于120°），現(xiàn)選取一點P打水井，使水井P到三村莊A，B，C所鋪設(shè)的輸水管總長度最?。筝斔芸傞L度的最小值．解：（1）如圖2，延長BP至E，使PE＝PC．∵在等邊△ABC中，∴∠EPC＝∠BAC＝60°，∵PC＝PE，∴△PCE為等邊三角形，∴PC＝PE，∠PCE＝60°，∴∠BCP+∠PCE＝∠ACB+∠BCP，∴∠ACP＝∠BCE，∵在△ACP和△BCE中，，∴△ACP≌△BCE（SAS）．∴AP＝BE＝BP+PE＝BP+PC；（2）由（1）得出：第一步：如圖3，在△ABC的外部以BC為邊長作等邊△BCD及其外接圓；第二步：在上取一點P0，連接P0A，P0B，P0C，P0D．易知P0A+P0B+P0C＝P0A+（P0B+P0C）＝P0A+P0D；第三步：根據(jù)（1）①中定義，在圖3中找出△ABC的費馬點P，線段AD的長度即為△ABC的費馬距離．故答案為：P0D；AD．（3）如圖4，以BC為邊在△ABC的外部作等邊△BCD，連接AD．∴AD的長就是△ABC的費馬距離．可得∠ABD＝90°∴AD＝＝5（km）．∴輸水管總長度的最小值為5千米．15．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點B的坐標為（0，2），點D在x軸的正半軸上，∠ODB＝30°，OE為△BOD的中線，過B、E兩點的拋物線與x軸相交于A、F兩點（A在F的左側(cè)）．（1）求拋物線的解析式；（2）等邊△OMN的頂點M、N在線段AE上，求AE及AM的長；（3）點P為△ABO內(nèi)的一個動點，設(shè)m＝PA+PB+PO，請直接寫出m的最小值，以及m取得最小值時，線段AP的長．解：（1）過E作EG⊥OD于G（1分）∵∠BOD＝∠EGD＝90°，∠D＝∠D，∴△BOD∽△EGD，∵點B（0，2），∠ODB＝30°，可得OB＝2，；∵E為BD中點，∴∴EG＝1，∴∴點E的坐標為（2分）∵拋物線經(jīng)過B（0，2）、兩點，∴，可得；∴拋物線的解析式為；（3分）（2）∵拋物線與x軸相交于A、F，A在F的左側(cè)，∴A點的坐標為∴，∴在△AGE中，∠AGE＝90°，（4分）過點O作OK⊥AE于K，可得△AOK∽△AEG∴∴∴∴∵△OMN是等邊三角形，∴∠NMO＝60°∴；∴，或；（6分）（寫出一個給1分）（3）如圖；以AB為邊做等邊三角形AO′B，以O(shè)A為邊做等邊三角形AOB′；易證OE＝OB＝2，∠OBE＝60°，則△OBE是等邊三角形；連接OO′、BB′、AE，它們的交點即為m最小時，P點的位置（即費馬點）；∵OA＝OB′，∠B′OB＝∠AOE＝150°，OB＝OE，∴△AOE≌△B′OB；∴∠B′BO＝∠AEO；∵∠BOP＝∠EOP′，而∠BOE＝60°，∴∠POP'＝60°，∴△POP′為等邊三角形，∴OP＝PP′，∴PA+PB+PO＝AP+OP′+P′E＝AE；即m最?。紸E＝；如圖；作正△OBE的外接圓⊙Q，根據(jù)費馬點的性質(zhì)知∠BPO＝120°，則∠PBO+∠BOP＝60°，而∠EBO＝∠EOB＝60°；∴∠PBE+∠POE＝180°，∠BPO+∠BEO＝180°；即B、P、O、E四點共圓；易求得Q（，1），則H（，0）；∴AH＝；由割線定理得：AP?AE＝OA?AH，即：AP＝OA?AH÷AE＝×÷＝．故：m可以取到的最小值為當(dāng)m取得最小值時，線段AP的長為．（如遇不同解法，請老師根據(jù)評分標準酌情給分）15．問題探究將幾何圖形按照某種法則或規(guī)則變換成另一種幾何圖形的過程叫做幾何變換．旋轉(zhuǎn)變換是幾何變換的一種基本模型．經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，往往能使圖形的幾何性質(zhì)明白顯現(xiàn)．題設(shè)和結(jié)論中的元素由分散變?yōu)榧?，相互之間的關(guān)系清楚明了，從而將求解問題靈活轉(zhuǎn)化．問題提出：如圖1，△ABC是邊長為1的等邊三角形，P為△ABC內(nèi)部一點，連接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．方法分析：通過轉(zhuǎn)化，把由三角形內(nèi)一點發(fā)出的三條線段（星型線）轉(zhuǎn)化為兩定點之間的折線（化星為折），再利用“兩點之間線段最短”求最小值（化折為直）．問題解決：如圖2，將△BPA繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°至△BP'A'，連接PP'、A'C，記A′C與AB交于點D，易知BA'＝BA＝BC＝1，∠A'BC＝∠A'BA+∠ABC＝120°．由BP'＝BP，∠P'BP＝60°，可知△P'BP為正三角形，有PB＝P'P．故．因此，當(dāng)A'、P'、P、C共線時，PA+PB+PC有最小值是．學(xué)以致用：（1）如圖3，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝4，CA＝3，P為△ABC內(nèi)部一點，連接PA、PB、PC，則PA+PB+PC的最小值是5．（2）如圖4，在△ABC中，∠BAC＝45°，，P為△ABC內(nèi)部一點，連接PA、PB、PC，求的最小值．（3）如圖5，P是邊長為2的正方形ABCD內(nèi)一點，Q為邊BC上一點，連接PA、PD、PQ，求PA+PD+PQ的最小值．解：（1）如圖3中，將△APC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AFE，易知△AFP是等邊三角形，∠EAB＝90°，在Rt△EAB中，BE＝＝5，∵PA+PB+PC＝EF+FP+PB≥BE，∴PA+PB+PC≥5，∴PA+PB+PC的最小值為5．故答案為5．（2）如圖4中，將△APB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AFE，易知△AFP是等腰直角三角形，∠EAB＝135°，作EH⊥BA交BA的延長線于H．在Rt△EAH中，∵∠H＝90°，∠EAH＝45°，AE＝AB＝2∴EH＝AH＝2，在Rt△EHC中，EC＝＝∵PA+PB+PC＝FP+EF+PC≥CE，∴PA+PB+PC≥，∴PA+PB+PC的最小值為．（3）如圖5中，將△APD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AFE，則易知△AFP是等邊三角形，作EH⊥BC于H，交AD于G．∵PA+PD+PQ＝EF+FP+PQ≥EH，易知EG＝AE?sin60°＝，GH＝AB＝2，∴EH＝2+，∴PA+PD+PQ≥+