模型24 輔助圓系列最值模型（教師版）

模型介紹模型介紹R【點(diǎn)睛1】觸發(fā)隱圓模型的條件（1）動(dòng)點(diǎn)定長(zhǎng)模型若P為動(dòng)點(diǎn)，但AB=AC=AP原理：圓A中，AB=AC=AP則B、C、P三點(diǎn)共圓，A圓心，AB半徑備注：常轉(zhuǎn)全等或相似證明出定長(zhǎng)（2）直角圓周角模型固定線段AB所對(duì)動(dòng)角∠C恒為90°原理：圓O中，圓周角為90°所對(duì)弦是直徑則A、B、C三點(diǎn)共圓，AB為直徑備注：常通過(guò)互余轉(zhuǎn)換等證明出動(dòng)角恒為直角（3）定弦定角模型固定線段AB所對(duì)動(dòng)角∠P為定值原理：弦AB所對(duì)同側(cè)圓周角恒相等則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)軌跡為過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓備注：點(diǎn)P在優(yōu)弧、劣弧上運(yùn)動(dòng)皆可（4）四點(diǎn)共圓模型①若動(dòng)角∠A+動(dòng)角∠C=180°原理：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)則A、B、C、D四點(diǎn)共圓備注：點(diǎn)A與點(diǎn)C在線段AB異側(cè)（5）四點(diǎn)共圓模型②固定線段AB所對(duì)同側(cè)動(dòng)角∠P=∠C原理：弦AB所對(duì)同側(cè)圓周角恒相等則A、B、C、P四點(diǎn)共圓備注：點(diǎn)P與點(diǎn)C需在線段AB同側(cè)R【點(diǎn)睛2】圓中旋轉(zhuǎn)最值問(wèn)題條件：線段AB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)M是線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C是定點(diǎn)（1）求CM最小值與最大值（2）求線段AB掃過(guò)的面積（3）求最大值與最小值作法：如圖建立三個(gè)同心圓，作OM⊥AB，B、A、M運(yùn)動(dòng)路徑分別為大圓、中圓、小圓R結(jié)論：①CM1最小，CM3最大②線段AB掃過(guò)面積為大圓與小圓組成的圓環(huán)面積③最小值以AB為底，CM1為高；最大值以AB為底，CM2為高例題例題精講考點(diǎn)一：定點(diǎn)定長(zhǎng)構(gòu)造隱圓【例1】．如圖，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，則∠CAD的度數(shù)為．解：∵AB＝AC＝AD，∴B，C，D在以A為圓心，AB為半徑的圓上，∴∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，∵∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，∴∠CAD＝2∠BAC＝88°．故答案為：88°變式訓(xùn)練【變式1-1】．如圖所示，四邊形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2．則BD的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．解：以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作圓，延長(zhǎng)BA交⊙A于F，連接DF．∵DC∥AB，∴＝，∴DF＝CB＝1，BF＝2+2＝4，∵FB是⊙A的直徑，∴∠FDB＝90°，∴BD＝＝．故選：B．【變式1-2】．如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（4，0），B（0，4），C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC＝2，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM，OM的最大值為．解：∵C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC＝2，∴點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是在半徑為2的⊙B上，如圖，取OD＝OA＝4，連接OD，∵點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，∴OM是△ACD的中位線，∴OM＝，∴OM最大值時(shí)，CD取最大值，此時(shí)D、B、C三點(diǎn)共線，此時(shí)在Rt△OBD中，BD＝＝4，∴CD＝2+4，∴OM的最大值是1+2．故答案為：1+2．考點(diǎn)二：定弦定角構(gòu)造隱圓【例2】．如圖，在△ABC中，BC＝2，點(diǎn)A為動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中始終有∠BAC＝45°，則△ABC面積的最大值為．解：如圖，△ABC的外接圓⊙O，連接OB、OC，∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝2∠BAC＝2×45°＝90°，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC，垂足為D，∵OB＝OC，∴BD＝CD＝BC＝1，∵∠BOC＝90°，OD⊥BC，∴OD＝BC＝1，∴OB＝＝，∵BC＝2保持不變，∴BC邊上的高越大，則△ABC的面積越大，當(dāng)高過(guò)圓心時(shí)，最大，此時(shí)BC邊上的高為：+1，∴△ABC的最大面積是：×2×（+1）＝+1．故答案為：+1．

變式訓(xùn)練【變式2-1】．如圖，P是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，AB＝4，AD＝2，AP⊥BP，則當(dāng)線段DP最短時(shí)，CP＝．解：以AB為直徑作半圓O，連接OD，與半圓O交于點(diǎn)P′，當(dāng)點(diǎn)P與P′重合時(shí)，DP最短，則AO＝OP′＝OB＝AB＝2，∵AD＝2，∠BAD＝90°，∴OD＝2，∠ADO＝∠AOD＝∠ODC＝45°，∴DP′＝OD﹣OP′＝2﹣2，過(guò)P′作P′E⊥CD于點(diǎn)E，則P′E＝DE＝DP′＝2﹣，∴CE＝CD﹣DE＝+2，∴CP′＝．故答案為：2．【變式2-2】．如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD外有一點(diǎn)E，∠AEB＝90°，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，連接CF，則CF的最大值為．解：如圖，以AB為直徑作圓H，∵∠AEB＝90°，∴點(diǎn)E在這個(gè)⊙H上，延長(zhǎng)DC至P，使CD＝PC，連接BE，EH，PH，過(guò)H作HM⊥CD于M，∵EF＝DF，CD＝PC，∴CF＝PE，Rt△AEB中，∵H是AB的中點(diǎn)，∴EH＝AB＝2，Rt△PHM中，由勾股定理得：PH＝＝＝2，∵PE≤EH+PH＝2+2，當(dāng)P，E，H三點(diǎn)共線時(shí)，PE最大，CF最大，∴CF的最大值是+1考點(diǎn)三：對(duì)角互補(bǔ)構(gòu)造隱圓【例3】．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，連接BE，作EF⊥BE，垂足為E，直線EF交線段DC于點(diǎn)F，則＝__________.解：如圖，連接BF，取BF的中點(diǎn)O，連接OE，OC．∵四邊形ABCD是矩形，EF⊥BE，∴四邊形EFCB對(duì)角互補(bǔ)，∴B，C，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓，∴∠BEF＝∠BCF＝90°，AB＝CD＝3，BC＝AD＝5，∵OB＝OF，∴OE＝OB＝OF＝OC，∴B，C，F(xiàn)，E四點(diǎn)在以O(shè)為圓心的圓上，∴∠EBF＝∠ECF，∴tan∠EBF＝tan∠ACD，∴＝＝變式訓(xùn)練【變式3-1】．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中點(diǎn)，連接DE，則線段DE長(zhǎng)度的最小值為．解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓，且BD為直徑，取BD中點(diǎn)O，則圓心為點(diǎn)O，連接AO、CO，取AO中點(diǎn)F，連接EF，DF，∵∠ACD＝30°，∴∠AOD＝60°，∵OA＝OD，∴△OAD為等邊三角形，∴OA＝OD＝OC＝AD＝2，∴∠AFD＝90°，則DF＝，∵EF是△AOC的中位線，∴EF＝OC＝1，在△DEF中，DF﹣EF≤DE，∴當(dāng)D、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，DE取到最小，最小值為．∴DE的最小值為．【變式3-2】．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是CD上一點(diǎn)，且CE＝DF，AF、DE相交于點(diǎn)O，BO＝BA，則OC的值為．解：如圖∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADF＝∠ECD＝∠ABC＝90°，∵DF＝CE，∴△ADF≌△DCE，∴∠DAF＝∠EDC，∵∠EDC+∠ADO＝90°，∴∠DAF+∠ADO＝90°，∴∠AOD＝90°，∴四邊形ABEO對(duì)角互補(bǔ)，∴A、B、E、O四點(diǎn)共圓，取AE的中點(diǎn)K，連接BK、OK，作OM⊥CD于M．則KB＝AK＝KE＝OK，∵BA＝BO，∴∠BAO＝∠BOA＝∠AEB＝∠DEC，∵AB＝DC，∠ABE＝∠DCE，∠AEB＝∠DEC，∴△ABE≌△DCE，∴BE＝EC＝1，∴DF＝EC＝FC＝1，∴DE＝＝，∵△DFO∽△DEC，∴＝＝，∴＝＝，∴OD＝，OF＝，∵?DO?OF＝?DF?OM，∴OM＝，∴MF＝＝，∴CM＝1+＝，在Rt△OMC中，OC＝＝，故答案為．實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（﹣3，0）、（0，4），以點(diǎn)A為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑畫弧交x軸上點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A．（5，0） B．（2，0） C．（﹣8，0） D．（2，0）或（﹣8，0）解：∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（﹣3，0）、（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝5，∴AC′＝5，AC＝5，∴C′點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）；C點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣8，0）．故選：D．2．如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與B，C重合），連接AP，作點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)M，則線段MC的最小值為（）A．2 B． C．3 D．解：連接AM，∵點(diǎn)B和M關(guān)于AP對(duì)稱，∴AB＝AM＝3，∴M在以A圓心，3為半徑的圓上，∴當(dāng)A，M，C三點(diǎn)共線時(shí)，CM最短，∵AC＝，AM＝AB＝3，∴CM＝5﹣3＝2，故選：A．3．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，點(diǎn)P在矩形的內(nèi)部，連接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，則PC的最小值是（）A．6 B．﹣3 C．2﹣4 D．4﹣4解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠PBC＝∠PAB，∴∠PAB+∠PBA＝90°，∴∠APB＝90°，∴點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)圓心為O，連接OC交⊙O于P，此時(shí)PC最小，∵OC＝＝＝2，∴PC的最小值為2﹣4，故選：C．4．如圖所示，∠MON＝45°，Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，當(dāng)A、B分別在射線OM、ON上滑動(dòng)時(shí)，OC的最大值為（）A．12 B．14 C．16 D．14解：如圖，在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝，在AB的下方作等腰直角△AQB，∠AQB＝90°，作BH⊥QC于H，∴點(diǎn)O在以點(diǎn)Q為圓心，QB為半徑的圓上，∵∠AQB+∠ACB＝180°，∴點(diǎn)A、C、B、Q共圓，∴∠BCQ＝∠BAQ＝45°，∴BH＝CH＝3，在Rt△BQH中，由勾股定理得QH＝4，∴CQ＝7，當(dāng)點(diǎn)C、Q、O共線時(shí)，OC最大，∴OC的最大值為OQ+CQ＝5+7＝12，故選：A．5．如圖，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，則∠CAD的度數(shù)為．解：∵AB＝AC＝AD，∴B，C，D在以A為圓心，AB為半徑的圓上，∴∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，∵∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，∴∠CAD＝2∠BAC＝88°．故答案為：88°．

6．如圖示，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（﹣2，0），（3，0），點(diǎn)C在y軸上，且∠ACB＝45°，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．解：在x軸的上方作等腰直角△ABF，F(xiàn)B＝FA，∠BAF＝90°，以F為圓心，F(xiàn)A為半徑作⊙F交y軸于C，連接CB，CA．∵∠ACB＝∠AFB＝45°，∵B（﹣2，0），A（3，0），△ABF是等腰直角三角形，∴F（，），F(xiàn)A＝FB＝FC＝，設(shè)C（0．m），則（）2+（﹣m）2＝（）2，解得m＝6或﹣1（舍棄）∴C（0，6），根據(jù)對(duì)稱性可知C′（0，﹣6）也符合條件，綜上所述，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，6）或（0，﹣6）．故答案為（0，6）或（0，﹣6）．

7．如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB+∠PBA＝90°，則線段CP長(zhǎng)的最小值為2．解：∵∠PAB+∠PBA＝90°，∴∠APB＝90°，∴P在以AB為直徑的圓周上（P在△ACB內(nèi)部），連接OC，交⊙O于P，此時(shí)CP的值最小，如圖，∵AB＝6，∴OB＝3，∵BC＝4，∴由勾股定理得：OC＝5，∴CP＝5﹣3＝2，故答案為：2．8．在△ABC中，AB＝4，∠C＝45°，則AC+BC的最大值為．解：過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，∵∠C＝45°，∴△BCD為等腰直角三角形，∴BD＝CD，設(shè)BD＝CD＝a，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)F，使得CF＝a，∵tan∠AFB＝＝，作△ABF的外接圓⊙O，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，則AE＝AB＝2，∠AOE＝∠AFB，∴tan∠AOE＝，∴OE＝4，OA＝＝，∴+BC＝（AC+BC）＝（AC+CF）＝≤（OA+OF），∴+BC的最大值為×＝4．故答案為：．9．如圖，等邊△ABC中，AB＝6，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別在BC和AC上，且BD＝CE，連接AD、BE交于點(diǎn)F，則CF的最小值為．解：如圖，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，∵BD＝CE，∴△ABD≌△BCE（SAS）∴∠BAD＝∠CBE，又∵∠AFE＝∠BAD+∠ABE，∴∠AFE＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC，∴∠AFE＝60°，∴∠AFB＝120°，∴點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是O為圓心，OA為半徑的弧上運(yùn)動(dòng)（∠AOB＝120°，OA＝2），連接OC交⊙O于N，當(dāng)點(diǎn)F與N重合時(shí)，CF的值最小，最小值＝OC﹣ON＝4﹣2＝2．故答案為2．10．如圖，正方形ABCD中，AB＝2，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)的速度相同，當(dāng)它們到達(dá)各自終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段AF、BE相交于點(diǎn)P，則線段DP的最小值為．解：如圖：，∵動(dòng)點(diǎn)F，E的速度相同，∴DF＝AE，又∵正方形ABCD中，AB＝2，∴AD＝AB，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF，∴∠ABE＝∠DAF．∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠FAD+∠BEA＝90°，∴∠APB＝90°，∵點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中保持∠APB＝90°，∴點(diǎn)P的路徑是一段以AB為直徑的弧，設(shè)AB的中點(diǎn)為G，連接CG交弧于點(diǎn)P，此時(shí)CP的長(zhǎng)度最小，AG＝BG＝AB＝1．在Rt△BCG中，DG＝＝＝，∵PG＝AG＝1，∴DP＝DG﹣PG＝﹣1即線段DP的最小值為﹣1，故答案為：﹣1．11．如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，△DBC的面積為8，則BC長(zhǎng)為．解：如圖，作DH⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于H，取CD的中點(diǎn)O，連接OA，OB．∵DH⊥BH，∴∠DHC＝90°，∴四邊形DACH對(duì)角互補(bǔ)，∴A，C，H，D四點(diǎn)共圓，∵∠DAC＝90°，CO＝OD，∴OA＝OD＝OC＝OH，∴A，C，H，D四點(diǎn)在以O(shè)為圓心的圓上，∵AC＝AD，∴∠CHA＝∠AHD＝45°，（沒(méi)有學(xué)習(xí)四點(diǎn)共圓，可以這樣證明：過(guò)點(diǎn)A作AM⊥DH于M，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥BH于N，證明△AMD≌△ANC，推出AM＝AN，推出AH平分∠MHN即可）∵∠ABC＝45°，∴∠BAH＝90°，∴BA＝AH，∵∠BAH＝∠CAD＝90°，∴∠BAC＝∠HAD，∵AC＝AD，AB＝AH，∴△BAC≌△HAD（SAS），∴BC＝DH，∴S△BCD＝×BC×DH＝×BC2＝16，∴BC＝4或﹣4（舍棄），故答案為4．12．已知：在△ABC中，AB＝AC＝6，∠B＝30°，E為BC上一點(diǎn)，BE＝2EC，DE＝DC，∠ADC＝60°，則AD的長(zhǎng)．解：連接AE，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H點(diǎn)，在Rt△ABH中，∵∠B＝30°，∴AH＝AB＝3．利用勾股定理可得BH＝3，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可知CH＝BH＝3，BC＝6．∴CE＝BC＝2．∴HE＝CH﹣CE＝．在Rt△AHE中，由勾股定理可求AE＝2．所以AE＝CE，∠CAE＝∠ACB＝30°，所以∠AEB＝60°＝∠ADC，∴四邊形AECD對(duì)角互補(bǔ)，∴點(diǎn)A、D、C、E四點(diǎn)共圓，∴∠ADE＝∠ACE＝30°，所以∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝30°．∵DE＝DC，∴∠DEC＝75°．∴∠AED＝120°﹣75°＝45°．過(guò)點(diǎn)A作AM⊥DE于M點(diǎn)，則AM＝AE＝．在Rt△AMD中，∠ADM＝30°，∴AD＝2AM＝．故答案為2．13．如圖，在正方形ABCD中，AD＝6，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥ED，連接DF交AC于點(diǎn)G，將△EFG沿EF翻折，得到△EFM．連接DM．交EF于點(diǎn)N．若AF＝2．則△EMN的面積是．解：如圖，取DF的中點(diǎn)K，連接AK，EK．連接GM交EF于H．∵四邊形ACD是正方形，∴AD＝AB＝6，∠DAB＝90°，AB∥CD，∠DAC＝∠CAB＝45°，∵DE⊥EF，∴∠DEF＝∠DAF＝90°，∴四邊形AFED對(duì)角互補(bǔ)，∴A，F(xiàn)，E，D四點(diǎn)共圓，∵DK＝KF，∴KA＝KD＝KF＝KE，∴∠DFE＝∠DAE＝45°，∴∠EDF＝∠EFD＝45°，∴DE＝EF，∵AF＝2，AD＝6，∴DF＝＝2，∴DE＝DF＝2，∵AF∥CD，∴＝＝，∴FG＝FM＝，∴GM＝FM＝，∴FH＝GH＝HM＝，∵EF⊥GM，∴GH＝HM＝，∴EH＝EF﹣FH＝2﹣＝，∵M(jìn)H∥DE，∴＝＝＝，∴EN＝EH＝，∴S△ENM＝?EN?MH＝??＝．故答案為．

14．如圖，在正方形ABCD中，AD＝8，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥ED，交AB于點(diǎn)F，連接DF，交AC于點(diǎn)G，將△EFG沿EF翻折，得到△EFM，連接DM，交EF于點(diǎn)N，若點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，則FM＝，＝．解：∵將△EFG沿EF翻折，得到△EFM，∴FG＝FM，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴△AGF∽△CGD，∴，∵點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，∴AF＝CD，∴，∵AD＝8，∴AF＝4，∴DF＝＝4，∴FM＝FG＝；∵AC是正方形ABCD的對(duì)角線，∴∠CAD＝45°，∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°＝∠BAD，∴∠BAD+∠DEF＝180°，∴點(diǎn)A，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，∴∠DFE＝∠DAC＝45°，∴∠EDF＝45°，∴DE＝EF＝DF＝2，連接GM，交EF于P，由折疊知，PG＝PM，GM⊥EF，∵DE⊥EF，∴GM∥DE，∴△FPG∽△FED，∴，∴PF＝EF＝，∴PE＝EF﹣PF＝，∵GM∥DE，∴△MPN∽△DEN，∴，∴，∴EN＝PE＝，在Rt△DEN中，，故答案為：；．

15．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且∠AFE＝90°（1）證明：△ABF∽△FCE；（2）當(dāng)DE取何值時(shí)，∠AED最大．（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠AFE＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∵∠EFC+∠FEC＝90°，∴∠AFB＝∠FEC，∴△ABF∽△FCE．（2）取AE的中點(diǎn)O，連接OD、OF．∵∠AFE＝∠ADE＝90°（對(duì)角互補(bǔ)），∴A、D、E、F四點(diǎn)共圓，∴∠AED＝∠AFD，∴當(dāng)⊙O與BC相切時(shí)，∠AFD的值最大，易知BF＝CF＝4，∵△ABF∽△FCE，∴＝，∴＝，∴EC＝，∴DE＝DC﹣CE＝6﹣＝．∴當(dāng)DE＝時(shí)，∠AED的值最大．16．如圖，將兩張等腰直角三角形紙片OAB和OCD放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O（0，0），A（0，4）．將Rt△OCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接AC，BD，直線AC與BD相交于點(diǎn)P．（1）求證：AP⊥BP；（2）若點(diǎn)Q為OA的中點(diǎn)，求PQ的最小值．（1）證明：∵△OAB和△OCD都是等腰直角三角形，∴OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC+∠COB＝∠COB+∠BOD＝90°，∴∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OAC＝∠OBD，∵△OAB是等腰直角三角形，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠OAC+∠CAB+∠ABO＝90°，∴∠OBD+∠CAB+∠ABO＝90°，∴∠APB＝90°，∴AP⊥BP；（2）解：如圖，∵AP⊥BP，∴點(diǎn)P在以AB為直徑的圓E上運(yùn)動(dòng)，由點(diǎn)圓最值可得，當(dāng)P，Q，E三點(diǎn)共線，且點(diǎn)P在EQ的延長(zhǎng)線上時(shí)，PQ最小，∵△OAB是等腰直角三角形，A（0，4），∴OA＝OB＝4，∴AB＝OA＝4，∵E是AB的中點(diǎn)，Q是OA的中點(diǎn)，∴QE＝OB＝2，∵PE是圓E的半徑，∴PE＝AB＝2，∴PQ＝PE﹣QE＝2﹣2，∴PQ的最小值為2﹣2．17．（1）【學(xué)習(xí)心得】于彤同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺(jué)到一些幾何問(wèn)題如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)解決，可以使問(wèn)題變得非常容易．例如：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一點(diǎn)，且AD＝AC，求∠BDC的度數(shù)．若以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作輔助⊙A，則點(diǎn)C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圓心角，而∠BDC是圓周角，從而可容易得到∠BDC＝45°．（2）【問(wèn)題解決】如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度數(shù)．（3）【問(wèn)題拓展】如圖3，如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE＝DF．連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H．若正方形的邊長(zhǎng)為2，則線段DH長(zhǎng)度的最小值是﹣1．解：（1）如圖1，∵AB＝AC，AD＝AC，∴以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作圓A，點(diǎn)B、C、D必在⊙A上，∵∠BAC是⊙A的圓心角，而∠BDC是圓周角，∴∠BDC＝∠BAC＝45°，故答案是：45；（2）如圖2，取BD的中點(diǎn)O，連接AO、CO．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴點(diǎn)A、B、C、D共圓，∴∠BDC＝∠BAC，∵∠BDC＝25°，∴∠BAC＝25°，（3）如圖3，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1＝∠2，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，∴∠1+∠BAH＝90°，∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，取AB的中點(diǎn)O，連接OH、OD，則OH＝AO＝AB＝1，在Rt△AOD中，OD＝＝＝，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OH+DH＞OD，∴當(dāng)O、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH的長(zhǎng)度最小，最小值＝OD﹣OH＝﹣1．（解法二：可以理解為點(diǎn)H是在Rt△AHB，AB直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)當(dāng)O、H、D三點(diǎn)共線時(shí)，DH長(zhǎng)度最?。┕蚀鸢笧椋憨?．18．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B（6，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）如圖①，連接BC，點(diǎn)P是線段BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，若△PBC的面積為12，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖②，已知⊙B的半徑為2，點(diǎn)Q是⊙B上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AQ，DQ，求DQ+AQ的最小值．解：（1）令x＝0，則y＝6，C（0，6），∵A（﹣2，0），B（6，0），∴設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a（x﹣6）（x+2）（a≠0），當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣12a＝6，解得a＝﹣，拋物線的表達(dá)式為y＝﹣（x﹣6）（x+2）＝﹣x2+2x+6，∵y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣2）2+8，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，8）；（2）由（1）知，C（0，6），設(shè)直線BC的表達(dá)式為y＝kx+t，將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入得6k+t＝0，，解得，∴直線BC的表達(dá)式為y＝﹣x+6；如圖，過(guò)點(diǎn)P作PH∥y軸交BC于點(diǎn)H，連接PB，PC，設(shè)P（x，﹣x2+2x+6），則H（x，﹣x+6）（0＜x＜6），∴PH＝﹣x2+2x+6﹣（﹣x+6）＝﹣x2+3x，∵△PBC的面積為12，∴OB?PH＝×6×（﹣x2+3x）＝12，即﹣x2+3x＝4，解得x＝2或x＝4，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，8）或（4，6）；（3）如圖，取點(diǎn)E（5.5，0），∴BE＝0.5，∵AB＝8，BQ＝2，∴AB：BQ＝4：1，∵BE＝0.5，BQ＝2，∴BQ：BE＝4：1，∵∠ABQ＝∠QBE，∴△ABQ∽△QBE，∴AQ：QE＝BQ：BE＝4：1，即QE＝AQ，∴DQ+AQ＝DQ+QE，由兩點(diǎn)間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)D，Q，E三點(diǎn)共線時(shí)，DQ+QE最小，最小值為DE，∴DE＝＝．即DQ+AQ的最小值為：．19．模型分析如圖在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，其中∠BAC為定角，AD為定值，我們稱該模型為定角定高模型．問(wèn)題：隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)，探究BC的最小值（△ABC面積的最小值）．（1）當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)（如圖①）：第一步：作△ABC的外接圈⊙O；第二步：連接OA；第三步：由圖知AO≥AD，當(dāng)AO＝AD時(shí)，BC取得最小值．（2）當(dāng)∠BAC＜90°時(shí)（如圖②）：第一步：作△ABC的外接圓⊙O；第二步：連接OA，OB，OC，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E：第三步：由圖知AO+OE≥AD，當(dāng)AO+OE＝AD時(shí)，BC取得最小值．那么∠BAC＞90°呢？結(jié)論：當(dāng)AD過(guò)△ABC的外接圓圓心O（即AB＝AC）時(shí)，BC取得最小值，此時(shí)△ABC的面積最小當(dāng)∠BAC＜90°時(shí)，請(qǐng)根據(jù)【模型分析】（2）中的做法將下面證明過(guò)程補(bǔ)充完整．求證：當(dāng)AD過(guò)△ABC的外接圓圓心O（即AB＝AC）時(shí)，BC取得最小值，此時(shí)△ABC的面積最小．證明：如解圖，作△ABC的外接圓⊙O，連接OA，OB，OC，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，設(shè)⊙O的半徑為r，∠BOE＝∠BAC＝α，AD＝h，∴BC＝2BE＝2OB?sinα＝2r?sinα，∵sinα為定值，∴要使BC最小，只需…自主