模型28 阿基米德折弦定理（學(xué)生用）

模型介紹模型介紹【問題呈現(xiàn)】阿基米德，公元前公元前212年，古希臘）是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子．折弦定義:從圓周上任一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，我們稱之為該圖的一條折弦。阿基米德折弦定理：一個(gè)圓中一條由兩長度不同的弦組成的折弦所對的兩段弧的中點(diǎn)在較長弦上的射影，就是折弦的中點(diǎn)。?如下圖所示，AB和BC是⊙O的兩條弦(即ABC是圓的一條折弦)，BC>AB，M是的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線之垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD=AB+BD?！咀C明方法】方法1:補(bǔ)短法如圖，延長DB至F，使BF=BA∵M(jìn)是的中點(diǎn)∴∠MCA=∠MAC=∠MBC∵M(jìn)、B、A、C四點(diǎn)共圓∴∠MCA+∠MBA=180°∵∠MBC+∠MBF=180°∴∠MBA=∠MBF∵M(jìn)B=MB,BF=BA∴△MBF≌△MBA∴∠F=∠MAB=∠MCB∴MF=MC∵M(jìn)D⊥CF∴CD=DF=DB+BF=AB+BD方法2:截長法如圖，在CD上截取DG=DB∵M(jìn)D⊥BG∴MB=MG，∠MGB=∠MBC=∠MAC∵M(jìn)是的中點(diǎn)∴∠MAC=∠MCA=∠MGB即∠MGB=∠MCB+∠BCA=∠MCB+∠BMA又∠MGB=∠MCB+∠GMC∴∠BMA=∠GMC∵M(jìn)A=MC∴△MBA≌△MGC(SAS)∴AB=GC∴CD=CG+GD=AB+BD方法3:垂線法如圖，作MH⊥射線AB，垂足為H?！進(jìn)是的中點(diǎn)∴MA=MC∵M(jìn)D⊥BC∴∠MDC=90°=∠H∵∠MAB=∠MCB∴△MHA≌△MDC(AAS)∴AH=CD，MH=MD又∵M(jìn)B=MB∴Rt△MHB≌Rt△MDB(HL)∴HB=BD∴CD=AH=AB+BH=AB+BD例題精講例題精講【例1】．已知M是的中點(diǎn)，B為上任意一點(diǎn)，B不與A、M重合，且MD⊥BC于D．BD＝2，CD＝6，求AB的長．變式訓(xùn)練【變式1-1】．如圖，是劣弧，M是的中點(diǎn)，B為上任意一點(diǎn)．自M向BC弦引垂線，垂足為D，求證：AB+BD＝DC．【變式1-2】．定義：圓中有公共端點(diǎn)的兩條弦組成的折線稱為圓的一條折弦．阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC組成圓的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中點(diǎn)，MF⊥AB于F，則AF＝FB+BC．如圖2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一點(diǎn)，BD＝1，作DE⊥AB交△ABC的外接圓于E，連接EA，則∠EAC＝°．【例2】．如圖，AC，BC是⊙O的兩條弦，M是的中點(diǎn)，作MF⊥AC，垂足為F，若BC＝，AC＝3，則AF＝．【變式2-1】．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AC＞BC，點(diǎn)D為的中點(diǎn)．求證：AD2＝AC?BC+CD2．【變式2-2】．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BC＝2，AB＝AC，點(diǎn)D為上的動(dòng)點(diǎn)，且cos∠ABC＝．（1）求AB的長度；（2）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，弦AD的延長線交BC延長線于點(diǎn)E，問AD?AE的值是否變化？若不變，請求出AD?AE的值；若變化，請說明理由；（3）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，過A點(diǎn)作AH⊥BD，求證：BH＝CD+DH．1．如圖，在邊長為8的正方形ABCD中，E、F分別是邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且EF＝6，M為EF中點(diǎn)，P是邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則CP+PM的最小值是（）A．10 B．8﹣3 C．6+3 D．3+52．在△ABC中，AC＞BC，M是它的外接圓上弧ACB的中點(diǎn)，AC上的點(diǎn)X使得MX⊥AC，AC＝10，XC＝3，則BC＝．3．如圖，矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，E是AB上一點(diǎn)，且EB＝3，F(xiàn)是BC上一動(dòng)點(diǎn)，若將△EBF沿EF對折后，點(diǎn)B落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到點(diǎn)D的最短距離為．4．如圖，在邊長為的等邊△ABC中，動(dòng)點(diǎn)D，E分別在BC，AC邊上，且保持AE＝CD，連接BE，AD，相交于點(diǎn)P，則CP的最小值為．5．已知：如圖，在△ABC中，D為AC邊上一點(diǎn)，且AD＝DC+CB．過D作AC的垂線交△ABC的外接圓于M，過M作AB的垂線MN，交圓于N．求證：MN為△ABC外接圓的直徑．6．如圖，在⊙O中，AB＝AC，點(diǎn)D是上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與C、B重合），連接DA、DB、DC，∠BAC＝120°．（1）若AC＝4，求⊙O的半徑；（2）寫出DA、DB、DC之間的關(guān)系，并證明．7．如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，P是上一點(diǎn)，（1）填空：∠APC＝度，∠BPC＝度；（2）若⊙O的半徑為4，求等邊△ABC的面積；（3）求證：PA+PB＝PC．8．已知A、B、C、D是⊙O上的四點(diǎn)，，AC是四邊形ABCD的對角線（1）如圖1，連接BD，若∠CDB＝60°，求證：AC是∠DAB的平分線；（2）如圖2，過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，若AC＝7，AB＝5，求線段AE的長度．9．閱讀理解：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，點(diǎn)M是弧ABC的中點(diǎn)，則從點(diǎn)M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD＝AB+BD．下面是運(yùn)用“截長法”證明CD＝AB+BD的部分證明過程．證明：如圖2，在CB上截取CG＝AB，連接MA，MB，MC和MG．∴M是弧ABC的中點(diǎn)，∴MA＝MC……．任務(wù)：（1）請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；（2）如圖3，已知等腰△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC＝4，BC＝3，點(diǎn)D為弧AC上一點(diǎn)，∠ABD＝45°，AE⊥BD于點(diǎn)E，△BDC的周長為.（直接寫出結(jié)果）10．小明學(xué)習(xí)了垂徑定理，做了下面的探究，請根據(jù)題目要求幫小明完成探究．（1）更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多真命題．如圖1，在⊙O中，C是劣弧AB的中點(diǎn)，直線CD⊥AB于點(diǎn)E，則AE＝BE．請證明此結(jié)論；（2）從圓上任意一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦．如圖2，PA，PB組成⊙O的一條折弦．C是劣弧AB的中點(diǎn)，直線CD⊥PA于點(diǎn)E，則AE＝PE+PB．可以通過延長DB、AP相交于點(diǎn)F，再連接AD證明結(jié)論成立．請寫出證明過程；（3）如圖3，PA，PB組成⊙O的一條折弦，若C是優(yōu)弧AB的中點(diǎn)，直線CD⊥PA于點(diǎn)E，則AE，PE與PB之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出證明過程．11．在⊙O中＝，順次連接A、B、C．（1）如圖1，若點(diǎn)M是的中點(diǎn)，且MN∥AC交BC延長線于點(diǎn)N，求證：MN為⊙O的切線；（2）如圖2，在（1）的條件下，連接MC，過點(diǎn)A作AP⊥BM于點(diǎn)P，若BP＝a，MP＝b，CM＝c，則a、b、c有何數(shù)量關(guān)系？（3）如圖3，當(dāng)∠BAC＝60°時(shí)，E是BC延長線上一點(diǎn)，D是線段AB上一點(diǎn)，且BD＝CE，若BE＝5，△AEF的周長為9，請求出S△AEF的值？12．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙M與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸于C，D兩點(diǎn)，其中A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2）．（1）求圓心M的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P為上任意一點(diǎn)（不與A、D重合），連接PC，PD，作AE⊥DP的延長線于點(diǎn)E．當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的值發(fā)生變化嗎？若不變，求出這個(gè)值，若變化，請說明理由．（3）如圖2，若點(diǎn)Q為直線y＝﹣1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接QC，QO，當(dāng)sin∠OQC的值最大時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．13．【問題呈現(xiàn)】阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD＝DB+BA．下面是運(yùn)用“截長法”證明CD＝DB+BA的部分證明過程．證明：如圖2，在CD上截取CG＝AB，連接MA、MB、MC和MG．∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴MA＝MC①又∵∠A＝∠C②∴△MAB≌△MCG③∴MB＝MG又∵M(jìn)D⊥BC∴BD＝DG∴AB+BD＝CG+DG即CD＝DB+BA根據(jù)證明過程，分別寫出下列步驟的理由：，②，③；【理解運(yùn)用】如圖1，AB、BC是⊙O的兩條弦，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，MD⊥BC于點(diǎn)D，則BD＝；【變式探究】如圖3，若點(diǎn)M是的中點(diǎn)，【問題呈現(xiàn)】中的其他條件不變，判斷CD、DB、BA之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明．【實(shí)踐應(yīng)用】根據(jù)你對阿基米德折弦定理的理解完成下列問題：如圖4，BC是⊙O的直徑，點(diǎn)A圓上一定點(diǎn)，點(diǎn)D圓上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半徑為5，求AD長．14．先閱讀命題及證明思路，再解答下列問題．命題：如圖1，在正方形ABCD中，已知：∠EAF＝45°，角的兩邊AE、AF分別與BC、CD相交于點(diǎn)E、F，連接EF．求證：EF＝BE+DF．證明思路：如圖2，將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADE′．∵AB＝AD，∠BAD＝90°，∴AB與AD重合．∵∠ADC＝∠B＝90°，∴∠FDE′＝180°，點(diǎn)F、D、E′是一條直線．根據(jù)SAS，得證△AEF≌△AE′F，得EF＝E′F＝E′D+DF＝BE+DF．（1）特例應(yīng)用如圖1，命題中，如果BE＝2，DF＝3，求正方形ABCD的邊長．（2）類比變式如圖3，在正方形ABCD中，已知∠EAF＝45°，角的兩邊AE、AF分別與BC、CD的延長