第4章-1(基本概念、相量表示)

第4章正弦交流電路的分析與計(jì)算4.2正弦交流電路的相量表示4.1正弦交流電的基本概念4.3阻抗與導(dǎo)納4.4正弦電路的功率4.5正弦電路的相量分析法4.6電路的諧振4.7三相電路4.1正弦交流電的基本概念前面兩章所接觸到的電壓和電流均為穩(wěn)恒直流電，其大小和方向均不隨時(shí)間變化，稱(chēng)為穩(wěn)恒直流電，簡(jiǎn)稱(chēng)直流電。直流電的波形圖如下圖所示：u、it0電子通訊技術(shù)中通常接觸到的電壓和電流，其大小隨時(shí)間變化，方向不隨時(shí)間變化，稱(chēng)為脈動(dòng)直流電，如圖所示。電壓或電流的大小和方向均隨時(shí)間變化時(shí)，稱(chēng)為交流電，最常見(jiàn)的交流電是隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化的正弦電壓和正弦電流。表達(dá)式為：u、it0Ru+_

_

_iu+_正弦交流電的優(yōu)越性：

便于傳輸；易于變換便于運(yùn)算；有利于電器設(shè)備的運(yùn)行；

.....正半周負(fù)半周Ru+_4.1.1正弦量的三要素以正弦電流為例振幅角頻率振幅、角頻率和初相位稱(chēng)為正弦量的三要素。相位初相位波形如圖1.正弦交流電的周期、頻率和角頻率角頻率ω：正弦量在單位時(shí)間內(nèi)變化的弧度數(shù)。角頻率與周期及頻率的關(guān)系：周期T：正弦量完整變化一周所需要的時(shí)間。頻率f：正弦量在單位時(shí)間內(nèi)變化的周數(shù)。周期與頻率的關(guān)系：2.正弦交流電的瞬時(shí)值、最大值和有效值瞬時(shí)值是以解析式表示的：最大值就是上式中的Im，Im反映了正弦量振蕩的幅度。有效值指與交流電熱效應(yīng)相同的直流電數(shù)值。符號(hào)：U、IRi交流電i通過(guò)電阻R時(shí)，在t時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的熱量為QRI例直流電I通過(guò)相同電阻R時(shí)，在t時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的熱量也為Q即：熱效應(yīng)相同的直流電流I稱(chēng)之為交流電流i的有效值。有效值可以確切地反映交流電的作功能力。理論和實(shí)際都可以證明：3.正弦交流電的相位、初相和相位差正弦量解析式中隨時(shí)間變化的電角度(ωt+θ)。相位：t=0時(shí)的相位

θ

，它確定了正弦量在計(jì)時(shí)起點(diǎn)的位置。初相：兩個(gè)同頻率正弦量之間的相位之差。相位差：例相位初相u、i的相位差為：相位差實(shí)際上等于兩個(gè)同頻率正弦量之間的初相之差例幅值：已知：頻率：初相位：4.2正弦信號(hào)的相量表示4.2.1復(fù)數(shù)及其表示方法復(fù)數(shù)A在復(fù)平面上是一個(gè)點(diǎn)，＋j0b＋1aA原點(diǎn)指向復(fù)數(shù)的箭頭稱(chēng)為它的模，模r與正向?qū)嵼S之間的夾角稱(chēng)為復(fù)數(shù)A的幅角；A在實(shí)軸上的投影是它的實(shí)部；A在虛軸上的投影稱(chēng)為其虛部。復(fù)數(shù)A的代數(shù)表達(dá)式為：A=a+jb由圖可得出復(fù)數(shù)A的模值r和幅角θ分別為：r由圖還可得出復(fù)數(shù)A與模復(fù)數(shù)還可以表示為指數(shù)形式和極坐標(biāo)形式：又可得到復(fù)數(shù)A的三角函數(shù)式為：＋j0b＋1aArr及幅角θ之間的關(guān)系為A=rcosθ+jrsinθA=rejθ

或A=r/θ復(fù)數(shù)的幾種表示方法可以相互轉(zhuǎn)換。解已知復(fù)數(shù)A的模r=5，幅角θ=53.1°，寫(xiě)出復(fù)數(shù)A的極坐標(biāo)形式和代數(shù)形式表達(dá)式。極坐標(biāo)形式為：A=5/53.1°代數(shù)表達(dá)形式為：A=3+j4例4.2.2復(fù)數(shù)運(yùn)算法則復(fù)數(shù)相加、減時(shí)用代數(shù)形式比較方便；復(fù)數(shù)相乘、除時(shí)用極坐標(biāo)形式較方便。設(shè)有兩個(gè)復(fù)數(shù)分別為：A1、A2加、減、乘、除的運(yùn)算公式在復(fù)數(shù)運(yùn)算當(dāng)中，一定要根據(jù)復(fù)數(shù)所在象限正確寫(xiě)出幅角的值。如：注意代數(shù)形式中虛部數(shù)值前面的j是旋轉(zhuǎn)因子，一個(gè)復(fù)數(shù)乘以j相當(dāng)于在復(fù)平面上逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°；除以j相當(dāng)于在復(fù)平面上順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°（數(shù)學(xué)課程中旋轉(zhuǎn)因子是用i表示，電學(xué)中為了區(qū)別于電流而改為j)。檢驗(yàn)學(xué)習(xí)結(jié)果已知復(fù)數(shù)A=4+j5，B=6-j2，求A+B、A-B、A×B、A÷B。已知復(fù)數(shù)A=10/30°，B=8/-45°

求A+B、A-B、A×B、A÷B。解1第2題自己練習(xí)。4.2.3相量與正弦量相對(duì)應(yīng)的復(fù)電壓和復(fù)電流稱(chēng)之為相量。為與一般復(fù)數(shù)區(qū)別，相量的頭頂上一般加符號(hào)“·

”。例如：正弦量i=14.1sin(ωt+36.9°)A，若用相量表示，其最大值相量為：有效值相量為：由于一個(gè)電路中各正弦量都是同頻率的，所以相量只需對(duì)應(yīng)正弦量的兩要素即可。即模值對(duì)應(yīng)正弦量的有效值（或最大值），幅角對(duì)應(yīng)正弦量的初相位。正弦量相量符號(hào)說(shuō)明瞬時(shí)值

---小寫(xiě)u、i有效值

---大寫(xiě)U、I復(fù)數(shù)、相量

---大寫(xiě)

+“.”最大值

---大寫(xiě)+下標(biāo)解：已知瞬時(shí)值，求相量。已知:

求：i

、u

的有效值相量

例例求：已知相量，求瞬時(shí)值。兩個(gè)頻率都為

1000Hz的正弦電流的有效值相量形式為：解：按照各個(gè)正弦量的大小和相位關(guān)系用初始位置的有向線(xiàn)段畫(huà)出的若干個(gè)相量的圖形，稱(chēng)為相量圖。把它們表示為相量，并且畫(huà)在相量圖中。例已知解用有效值相量表示，即：U1=U1θ1U2=U2θ2畫(huà)在相量圖中：U2U1也可以把復(fù)平面省略，直接畫(huà)作U2U1虛線(xiàn)可以不畫(huà)+1j利用相量圖中的幾何關(guān)系，可簡(jiǎn)化同頻率正弦量之間的加、減運(yùn)算及其電路分析。解例:U利用相量圖輔助分析，U2U1根據(jù)平行四邊形法則，由相量圖可以清楚地看出：U1cosθ1+U2cosθ

2U1sinθ

1+U2sinθ

2答案1.把下列正弦量表示為有效值相量：思考練習(xí)2.指出下列各式的錯(cuò)誤并改正：正弦量和相量之間只有對(duì)應(yīng)沒(méi)有相等。電壓?jiǎn)挝皇荲相量上面要加符號(hào)“·”！I=URi=uR一、電阻元件4.2.4交流電路中的常用元件1.電阻元件上的電壓、電流關(guān)系

iR

u電壓、電流的瞬時(shí)值表達(dá)式為：

由兩式可推出，電阻元件上電壓、電流的相位上存在同相關(guān)系；數(shù)量上符合歐姆定律，即：2.功率（1）瞬時(shí)功率p瞬時(shí)功率用小寫(xiě)則結(jié)論：1.p隨時(shí)間變化；

2.p≥0，為耗能元件。uip=UI-UIcos2tωtUI－UIcos2tu、i、p（2）平均功率（有功功率）P

(一個(gè)周期內(nèi)的平均值)

由:可得:P=UI例求：“220V、100W”和“220V、40W”燈泡的電阻？平均功率用大寫(xiě)解：電阻負(fù)載在相同電壓下工作，功率與其阻值成反比。平均功率代表了電路實(shí)際消耗的功率，因此也稱(chēng)之為有功功率。i

uL1.電感元件上的電壓、電流關(guān)系

設(shè)通過(guò)L中的電流為：

則L兩端的電壓為：

由式推出L的電壓電流在相位上存在90°的正交關(guān)系，且電壓超前電流。電壓電流之間的數(shù)量關(guān)系：ULm=ImωL=ImXL其中XL是電感對(duì)正弦交流電流所呈現(xiàn)的電抗，簡(jiǎn)稱(chēng)感抗，單位和電阻一樣，也是歐姆。二、電感元件電感元件上電壓、電流的有效值關(guān)系為：XL=2πfL=ωL，雖然式中感抗和電阻類(lèi)似，等于元件上電壓與電流的比值，但它與電阻有所不同，電阻反映了元件上耗能的電特性，而感抗則是表征了電感元件對(duì)正弦交流電流的阻礙作用，這種阻礙作用不消耗電能，只能推遲正弦交流電流通過(guò)電感元件的時(shí)間。感抗與哪些因素有關(guān)？XL與頻率成正比；與電感量L成正比直流情況下感抗為多大？直流下頻率f=0，所以XL=0。L

相當(dāng)于短路。u2.電感元件的功率

（1）瞬時(shí)功率p則ip=ULIsin2tωtui同向,吸收電能;儲(chǔ)存磁能;p>0ui反向,送出能量;釋放磁能;p<0ui同向,吸收電能;儲(chǔ)存磁能;p>0ui反向,送出能量;釋放磁能;p<0電感元件上只有能量交換而不耗能，為儲(chǔ)能元件結(jié)論：p為正弦波，頻率為ui的2倍；在一個(gè)周期內(nèi)，L吸收的電能等于它釋放的磁場(chǎng)能。P=0，電感元件不耗能（2）平均功率（有功功率）P問(wèn)題與討論1.電源電壓不變，當(dāng)電路的頻率變化時(shí)，通過(guò)電感元件的電流發(fā)生變化嗎？（3）無(wú)功功率QL

（單位:乏爾[Var]）2.能從字面上把無(wú)功功率理解為無(wú)用之功嗎？f變化時(shí)XL隨之變化，導(dǎo)致電流i變化。不能！為了衡量電源與元件之間能量交換的規(guī)模，引入無(wú)功功率的概念。所謂無(wú)功功率，就是吸收電能轉(zhuǎn)換成磁場(chǎng)能的那部分功率：ic

uC1.電容元件上的電壓、電流關(guān)系

若加在C兩端的電壓為：則C上的充放電電流為：可推出，電容元件上電流總是超前電壓90°數(shù)量上存在著：三、電容元件其中：IC=U

C=U2πfC=U/XC電容元件上電壓、電流的有效值關(guān)系為：容抗與哪些因素有關(guān)？XC與頻率成反比；與電容量C成反比，因此頻率越高電路中容抗越小，這被稱(chēng)作電容元件的通交作用，高頻電路中電容元件相當(dāng)于短路。直流情況下容抗為多大？直流下頻率f=0，所以XC=∞。電容元件相當(dāng)于開(kāi)路。（隔直作用）XC稱(chēng)為電容元件上的容抗，單位為歐姆(Ω)。容抗反映了電容元件對(duì)正弦交流電流的阻礙作用。只有在一定頻率下，電容元件的容抗才是常數(shù)。2.電容元件的功率關(guān)系i（1）瞬時(shí)功率p則up=UICsin2tωtui同向,電容充電;建立電場(chǎng);p>0ui反向,送出能量;電容放電;p<0ui同向,電容充電;建立電場(chǎng);p>0ui反向,送出能量;電容放電;p<0電容元件和電感元件相同，只有能量交換而不耗能，因此也是儲(chǔ)能元件。結(jié)論：p為正弦波，頻率為ui的2倍；在一個(gè)周期內(nèi)，C充電吸收的電能等于它放電發(fā)出的電能。P=0，電容元件不耗能（2）平均功率（有功功率）P（3）無(wú)功功率QC無(wú)功功率QC反映了電容元件在充放電過(guò)程中與電源之間進(jìn)行能量交換的規(guī)模。即：?jiǎn)栴}與討論1.電容元件在直流、高頻電路中如何？2.電感元件和電容元件有什么異同？直流時(shí)C相當(dāng)于開(kāi)路，高頻時(shí)C相當(dāng)于短路。

L和C上都存在相位正交關(guān)系，所不同的是L上電壓超前電流，C上電流超前電壓;

L和C都是儲(chǔ)能元件；直流情況下C相當(dāng)于開(kāi)路；L相當(dāng)于短路。想想練練1.電阻元件在交流電路中電壓與電流的相位差是多少？判斷下列表達(dá)式的正誤。2.純電感元件在交流電路中電壓與電流的相位差是多少？感抗與頻率有何關(guān)系？判斷下列表達(dá)式的正誤。3.純電容元件在交流電路中電壓與電流的相位差是多少？容抗與頻率有何關(guān)系？判斷下列表達(dá)式的正誤。電阻元件上電壓與電流的相位同相，電感元件上電壓與電流的相位差感抗與頻率成正比，直流情況下f=0，L相當(dāng)于短路；高頻情況下，由于感抗很大，L相當(dāng)于開(kāi)路。高頻情況下，由于容抗近似等于零，C相當(dāng)于短路。電容元件上電壓與電流的相位差容抗與頻率成反比，直流情況下f=0，C相當(dāng)于開(kāi)路；4.2.5基爾霍夫定律的相量形式一、基爾霍夫節(jié)點(diǎn)電流定律的相量形式

正弦電路中任一節(jié)點(diǎn)，與它相連接的各支路電流的相量代數(shù)和為零，即

上式就是基爾霍夫節(jié)點(diǎn)電流定律的相量形式，簡(jiǎn)稱(chēng)KCL的相量形式。

上式就是基爾霍夫回路電壓定律的相量形式，簡(jiǎn)稱(chēng)KVL的相量形式。二、回路電壓定律的相量形式

正弦電路中，任