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歐拉公式推導(dǎo)：圖4.3所示的兩端鉸支桿件，受軸向壓力作用而處于中性平衡微彎狀態(tài)，桿件彎曲后截面中產(chǎn)生了彎矩和剪力，在軸線任意點(diǎn)上由彎矩產(chǎn)生的橫向變形為，由剪力產(chǎn)生的橫向變形為，總變形。圖４.３兩端鉸支的軸心壓桿臨界狀態(tài)設(shè)桿件發(fā)生彎曲屈曲時(shí)截面的臨界應(yīng)力小于材料比例極限，即（對(duì)理想材料?。?。由材料力學(xué)可得：圖４.３兩端鉸支的軸心壓桿臨界狀態(tài)由剪力產(chǎn)生的軸線轉(zhuǎn)角為：式中、——桿件截面面積、慣性矩；、——材料的彈性模量、剪切模量；——與截面形狀有關(guān)的系數(shù)。因?yàn)樗杂傻茫毫畹贸Ｏ禂?shù)線性二階齊次方程其通解為：由邊界條件：，。再由得：上式成立的條件是或，其中表示桿件不出現(xiàn)任何變形，與桿件微彎的假設(shè)不符。由，得（1，2，3…），取最小值1，得，即由此式解出，即為中性平衡的臨界力（4.6）臨界狀態(tài)時(shí)桿件截面的平均應(yīng)力稱為臨界應(yīng)力（4.7）式中——單位剪力時(shí)桿件的軸線轉(zhuǎn)角，；——兩端鉸支桿得長(zhǎng)度；——桿件的長(zhǎng)細(xì)比，；——桿件截面對(duì)應(yīng)于屈曲軸的回轉(zhuǎn)半徑，。如果忽略桿件剪切變形的影響（此影響很小）則式（4.6）、（4.7）變?yōu)椋海?.8）

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