高考數(shù)學一輪復習 課時跟蹤檢測（五十一）直接證明與間接證明 文（含解析）蘇教版-蘇教版高三數(shù)學試題

課時跟蹤檢測（五十一）直接證明與間接證明一保高考，全練題型做到高考達標1．(2019·海門中學檢測)用反證法證明命題“若a2＋b2＝0，則a，b全為0”，其反設(shè)為“________”．解析：命題“若a2＋b2＝0，則a，b全為0”，其題設(shè)為“a2＋b2＝0”，結(jié)論是“a，b全為0”，用反證法證明該命題時，其反設(shè)為“a，b不全為0”．答案：a，b不全為02．(2018·徐州模擬)若P＝eq\r(a)＋eq\r(a＋7)，Q＝eq\r(a＋3)＋eq\r(a＋4)(a≥0)，則P，Q的大小關(guān)系是________．解析：因為P2＝2a＋7＋2eq\r(a)·eq\r(a＋7)＝2a＋7＋2eq\r(a2＋7a)，Q2＝2a＋7＋2eq\r(a＋3)·eq\r(a＋4)＝2a＋7＋2eq\r(a2＋7a＋12)，所以P2＜Q2，所以P＜Q.答案：P＜Q3．(2018·江陰調(diào)研)設(shè)a，b是兩個實數(shù)，給出下列條件：①a＋b＞2；②a2＋b2＞2.其中能推出：“a，b中至少有一個大于1”的條件的是________(填序號)．解析：①中，假設(shè)a≤1，b≤1，則a＋b≤2與已知條件a＋b＞2矛盾，故假設(shè)不成立，所以a，b中至少有一個大于1，①正確；②中，若a＝－2，b＝－3，則a2＋b2＞2成立，故②不能推出：“a，b中至少有一個大于1”．答案：①4．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x≥0時，f(x)單調(diào)遞減，若x1＋x2＞0，則f(x1)＋f(x2)________0(填“＞”“＜”或“＝”)．解析：由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x≥0時，f(x)單調(diào)遞減，可知f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，由x1＋x2＞0，可知x1＞－x2，f(x1)＜f(－x2)＝－f(x2)，則f(x1)＋f(x2)＜0.答案：＜5．(2019·呂四中學檢測)若0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b，則在a＋b,2eq\r(ab)，a2＋b2和2ab中最大的是________．解析：因為0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b，所以a＋b＞2eq\r(ab)，a2＋b2＞2ab，a＋b－(a2＋b2)＝a(1－a)＋b(1－b)＞0，所以a＋b最大．答案：a＋b6．如果aeq\r(a)＋beq\r(b)＞aeq\r(b)＋beq\r(a)，則a，b應(yīng)滿足的條件是__________．解析：aeq\r(a)＋beq\r(b)＞aeq\r(b)＋beq\r(a)，即(eq\r(a)－eq\r(b))2(eq\r(a)＋eq\r(b))＞0，需滿足a≥0，b≥0且a≠b.答案：a≥0，b≥0且a≠b7．已知點An(n，an)為函數(shù)y＝eq\r(x2＋1)圖象上的點，Bn(n，bn)為函數(shù)y＝x圖象上的點，其中n∈N*，設(shè)cn＝an－bn，則cn與cn＋1的大小關(guān)系為________．解析：由條件得cn＝an－bn＝eq\r(n2＋1)－n＝eq\f(1,\r(n2＋1)＋n)，所以cn隨n的增大而減小，所以cn＋1＜cn.答案：cn＋1＜cn8．已知x，y，z是互不相等的正數(shù)，且x＋y＋z＝1，求證：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,z)－1))＞8.證明：因為x，y，z是互不相等的正數(shù)，且x＋y＋z＝1，所以eq\f(1,x)－1＝eq\f(1－x,x)＝eq\f(y＋z,x)＞eq\f(2\r(yz),x)， ①eq\f(1,y)－1＝eq\f(1－y,y)＝eq\f(x＋z,y)＞eq\f(2\r(xz),y)， ②eq\f(1,z)－1＝eq\f(1－z,z)＝eq\f(x＋y,z)＞eq\f(2\r(xy),z)， ③又x，y，z為正數(shù)，由①×②×③，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,z)－1))＞8.9．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a3＝5，S8＝64.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)求證：eq\f(1,Sn－1)＋eq\f(1,Sn＋1)＞eq\f(2,Sn)(n≥2，n∈N*)．解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝a1＋2d＝5，,S8＝8a1＋28d＝64，))解得a1＝1，d＝2.故所求的通項公式為an＝2n－1.(2)證明：由(1)可知Sn＝n2，要證原不等式成立，只需證eq\f(1,n－12)＋eq\f(1,n＋12)＞eq\f(2,n2)，即證[(n＋1)2＋(n－1)2]n2＞2(n2－1)2，只需證(n2＋1)n2＞(n2－1)2，即證3n2＞1.而3n2＞1在n≥2時恒成立，從而不等式eq\f(1,Sn－1)＋eq\f(1,Sn＋1)＞eq\f(2,Sn)(n≥2，n∈N*)恒成立．10.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中點．(1)求證：EC∥平面PAD；(2)求證：平面EAC⊥平面PBC.證明：(1)作線段AB的中點F，連結(jié)EF，CF(圖略)，則AF＝CD，AF∥CD，所以四邊形ADCF是平行四邊形，則CF∥AD.又EF∥AP，且CF∩EF＝F，所以平面CFE∥平面PAD.又EC?平面CEF，所以EC∥平面PAD.(2)因為PC⊥底面ABCD，所以PC⊥AC.因為四邊形ABCD是直角梯形，且AB＝2AD＝2CD＝2，所以AC＝eq\r(2)，BC＝eq\r(2).所以AB2＝AC2＋BC2，所以AC⊥BC，因為PC∩BC＝C，所以AC⊥平面PBC，因為AC?平面EAC，所以平面EAC⊥平面PBC.二上臺階，自主選做志在沖刺名校1．(2019·南通調(diào)研)已知數(shù)列{an}各項均為正數(shù)，且不是常數(shù)列．(1)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，求證：eq\r(a1)＋eq\r(a3)＜2eq\r(a2)；(2)若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，求證：1－an,1－an＋1,1－an＋2不可能成等比數(shù)列．證明：(1)要證eq\r(a1)＋eq\r(a3)＜2eq\r(a2)，只需證a1＋a3＋2eq\r(a1a3)＜4a2，∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，∴a1＋a3＝2a2，∴只需證eq\r(a1a3)＜a2，即證a1a3＜aeq\o\al(2,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1＋a3,2)))2，∵數(shù)列{an}各項均為正數(shù)，∴a1a3＜aeq\o\al(2,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1＋a3,2)))2成立，∴eq\r(a1)＋eq\r(a3)＜2eq\r(a2).(2)假設(shè)1－an,1－an＋1,1－an＋2成等比數(shù)列，則(1－an＋1)2＝(1－an)(1－an＋2)，即1－2an＋1＋aeq\o\al(2,n＋1)＝1＋anan＋2－(an＋an＋2)，∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列，∴aeq\o\al(2,n＋1)＝anan＋2，∴2an＋1＝an＋an＋2，∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，∴數(shù)列{an}是常數(shù)列，這與已知相矛盾，故假設(shè)不成立，∴1－an,1－an＋1,1－an＋2不可能成等比數(shù)列．2．若無窮數(shù)列{an}滿足：只要ap＝aq(p，q∈N*)，必有ap＋1＝aq＋1，則稱{an}具有性質(zhì)P.(1)若{an}具有性質(zhì)P，且a1＝1，a2＝2，a4＝3，a5＝2，a6＋a7＋a8＝21，求a3；(2)若無窮數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，無窮數(shù)列{cn}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，b1＝c5＝1，b5＝c1＝81，an＝bn＋cn，判斷{an}是否具有性質(zhì)P，并說明理由；(3)設(shè){bn}是無窮數(shù)列，已知an＋1＝bn＋sinan(n∈N*)，求證：“對任意a1，{an}都具有性質(zhì)P”的充要條件為“{bn}是常數(shù)列”．解：(1)因為a5＝a2，所以a6＝a3，a7＝a4＝3，a8＝a5＝2，于是a6＋a7＋a8＝a3＋3＋2.又因為a6＋a7＋a8＝21，所以a3＝16.(2)由題意，得數(shù)列{bn}的公差為20，{cn}的公比為eq\f(1,3)，所以bn＝1＋20(n－1)＝20n－19，cn＝81·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－1＝35－n，an＝bn＋cn＝20n－19＋35－n.a1＝a5＝82，但a2＝48，a6＝eq\f(304,3)，a2≠a6，所以{an}不具有性質(zhì)P.(3)證明：充分性：當{bn}為常數(shù)列時，an＋1＝b1＋sinan.對任意給定的a1，若ap＝aq，則b1＋sinap＝b1＋sinaq，即ap＋1＝aq＋1，充分性得證．必要性：假設(shè){bn}不是常數(shù)列，則存在k∈N*，使得b1＝b2＝…＝bk＝b，而bk＋1≠b.下面證明存在滿足an＋1＝bn＋sinan的數(shù)列{an}，使得a1＝a2＝…＝ak＋1，但ak＋2≠ak＋1.設(shè)f(x)＝x－sinx－b，取m∈N*，使得mπ＞|b|，則f(mπ)＝mπ