第5章 剛體力學(xué)習(xí)題課

剛體力學(xué)小結(jié)一、基本概念：剛體：在任何外力作用下,形狀大小均不發(fā)生改變的物體。是特殊的質(zhì)點(diǎn)系。剛體轉(zhuǎn)動慣量：剛體的轉(zhuǎn)動動能：剛體定軸轉(zhuǎn)動角動量：力矩的功：剛體的重力勢能:2、基本原理：1）剛體定軸轉(zhuǎn)動角動量原理：2）剛體定軸轉(zhuǎn)動角動量守恒定律：3）剛體定軸轉(zhuǎn)動定律：4）剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理：合外力矩的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律和剛體定軸轉(zhuǎn)動規(guī)律的對比(一)

轉(zhuǎn)動動能

動能

力矩的功

力的功轉(zhuǎn)動慣量J，力矩M

質(zhì)量m，力F

角加速度

加速度

角速度

速度剛體的定軸轉(zhuǎn)動質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律和剛體定軸轉(zhuǎn)動規(guī)律的對比(二)動能定理：動能定理：機(jī)械能守恒：機(jī)械能守恒：角動量守恒：動量守恒：角動量原理：動量定理：轉(zhuǎn)動定律：運(yùn)動定律：剛體的定軸轉(zhuǎn)動質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動三、基本計(jì)算：本章的習(xí)題主要包括以下幾個(gè)類型：1、力矩的計(jì)算.2、轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算．３、轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用．４、剛體的角動量定理和角動量守恒定律的應(yīng)用．５、角動量守恒定律和機(jī)械能守恒定律的綜合應(yīng)用．

若質(zhì)量離散分布：（質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)系）

若質(zhì)量連續(xù)分布：

平行軸定理：

正交軸定理：?轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算：2）均勻圓盤（圓柱體）：o4）均勻球體：o3）薄圓環(huán)（薄圓筒）：o常用的轉(zhuǎn)動慣量：1)均勻細(xì)棒oo練習(xí)：求下列各剛體對O軸的轉(zhuǎn)動慣量：5）薄球殼：o?剛體定軸轉(zhuǎn)動定律：具體應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意以下問題：1)力矩和轉(zhuǎn)動慣量必須對同一轉(zhuǎn)軸而言。2)一般選取物體的實(shí)際運(yùn)動方向?yàn)檎较?，以此確定力矩及外力的正負(fù)。3)當(dāng)系統(tǒng)中既有轉(zhuǎn)動物體，又有平動物體時(shí)，對轉(zhuǎn)動物體用轉(zhuǎn)動定律建立方程，對平動物體則用牛頓運(yùn)動定律建立方程，并找到各物理量之間的聯(lián)系?；静襟E：1、選取研究對象，隔離物體，受力分析。2、建立坐標(biāo)系，確定正方向。3、根據(jù)不同規(guī)律，分別列出運(yùn)動方程。[例1]一軸承光滑的定滑輪，質(zhì)量M=1.0kg，半徑R=0.1m，一根不能伸長的輕繩，一端固定在定滑輪上，一端系有一質(zhì)量m=2.0

kg的物體，已知定滑輪的轉(zhuǎn)動慣量,

其初角速度ω0=5.0rad/s

，方向垂直紙面向里。求：1）定滑輪的角加速度。

2）定滑輪角速度變化到零時(shí)，物體上升的高度。解：1）研究定滑輪的轉(zhuǎn)動。分析所受力矩。取滑輪轉(zhuǎn)動方向?yàn)檎?。由轉(zhuǎn)動定律：研究物體的運(yùn)動。分析受力。取向上為正。關(guān)聯(lián)方程：聯(lián)立解得：2）研究物體、定滑輪和地球組成的系統(tǒng)，在整個(gè)運(yùn)動過程中，機(jī)械能守恒。取物體的初位置為勢能零點(diǎn)。[法2]由剛體的運(yùn)動公式：[例2]物體A和B疊放在水平面上，由跨過定滑輪的不可伸長的輕質(zhì)細(xì)繩相互連接。今用大小為F的水平力拉A。設(shè)A、B和滑輪的質(zhì)量都為m，滑輪的半徑為R，對軸的轉(zhuǎn)動慣量。所有的摩擦都不計(jì)。已知F=10N，m=8.0kg，R=0.05m。求：滑輪的角加速度及繩中的張力。解：隔離定滑輪和物體A、B，分析受力。規(guī)定物體運(yùn)動方向?yàn)檎较颉τ谖矬wA，應(yīng)用牛頓第二定律，得：對于物體B，應(yīng)用牛頓第二定律，得：對定滑輪，應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律，得關(guān)聯(lián)方程：聯(lián)立上式求解，得：［例3］一物體組。其中滑輪A可隨m的下降而上升。兩滑輪的質(zhì)量均為M

，且均勻分布，半徑為R，繩子的質(zhì)量及軸上的摩擦不計(jì)。試求：m下降的加速度及繩中的張力。解:選取地面為參考系，隔離動滑輪A、定滑輪B和物體m，分析受力。規(guī)定物體運(yùn)動方向?yàn)檎较?。對物體m

應(yīng)用牛頓第二定律，得：對定滑輪B，應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律，得對動滑輪A的質(zhì)心運(yùn)動應(yīng)用牛頓第二定律，得:對動滑輪A的定軸轉(zhuǎn)動應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律，得：滑輪的轉(zhuǎn)動慣量：關(guān)聯(lián)方程：聯(lián)立上式求解，得：［例4］已知m1，m2

，M1，M2，R1，R2且m1＞

m2

。求：m2的加速度和張力T1

，T2，T3解：設(shè)m2的加速度大小為a，方向向上，

m1的加速度大小也為a，方向向下。對兩滑輪分析力矩，由轉(zhuǎn)動定律：分析m1、m2

受力。由牛頓第二定律：關(guān)聯(lián)方程：聯(lián)立得：?剛體定軸轉(zhuǎn)動角動量原理與角動量守恒定律：(1)光滑水平面上有一靜止的細(xì)桿，若在細(xì)桿兩端施加一對大小相等，方向相反的力，問在細(xì)桿運(yùn)動過程中，細(xì)桿的動量是否守恒，對桿中心點(diǎn)O的角動量是否守恒？動能是否守恒？注意區(qū)分：角動量守恒與動量守恒的條件。合外力為零，則系統(tǒng)的動量守恒。合外力矩不為零，則系統(tǒng)的角動量不守恒。合外力矩作正功，則系統(tǒng)的動能不守恒。(2)質(zhì)量為M，長為l的均勻細(xì)桿，可繞垂直于棒一端點(diǎn)的軸O

無摩擦地轉(zhuǎn)動。若細(xì)桿豎直懸掛，現(xiàn)有一質(zhì)量為m的彈性小球飛來，與細(xì)桿作完全非彈性碰撞，問:1)在小球與細(xì)桿相碰過程中;2)在小球與細(xì)桿一起轉(zhuǎn)動的過程中,球與桿組成的系統(tǒng)的動量是否守恒？對于過O點(diǎn)的軸的角動量是否守恒？機(jī)械能是否守恒？合外力不為零，則系統(tǒng)的動量不守恒。合外力矩為零，則系統(tǒng)的角動量守恒。發(fā)生的是完全非彈性碰撞，則系統(tǒng)的機(jī)械能不守恒。合外力不為零，則系統(tǒng)的動量不守恒。合外力矩不為零，則系統(tǒng)的角動量不守恒。在轉(zhuǎn)動過程中只有重力作功，則系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。[例5]質(zhì)量為M，長為l的均勻細(xì)桿，可繞垂直于棒的一端的水平軸O無摩擦地轉(zhuǎn)動。現(xiàn)有一質(zhì)量為m的子彈以速度水平射入桿中。求：子彈與桿一起運(yùn)動時(shí)的角速度ω及轉(zhuǎn)過的最大角度θ？解：第一階段：取子彈與細(xì)桿為一個(gè)系統(tǒng)。在碰撞過程中，合外力不為零，而合外力矩為零。系統(tǒng)相對于O軸的角動量守恒。第二階段：系統(tǒng)繞O軸轉(zhuǎn)動過程中，合外力不為零，合外力矩也不為零，但只有重力做功，則系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。選棒的最低點(diǎn)為勢能零點(diǎn)。解得：子彈與桿一起運(yùn)動時(shí)的角速度ω：子彈隨桿轉(zhuǎn)過的最大角度θ：[例6]質(zhì)量分別為M1、M2,半徑分別為R1

、R2的兩均勻圓柱,可分別繞它們本身的軸轉(zhuǎn)動,二軸平行。原來它們沿同一轉(zhuǎn)向分別以

10，

20的角速度勻速轉(zhuǎn)動,然后平移二軸使它們的邊緣相接觸,如圖所示.求最后在接觸處無相對滑動時(shí),每個(gè)圓柱的角速度

1，

2。二圓柱系統(tǒng)角動量守恒故有解：在接觸處無相對滑動時(shí)R1M1R2M2R2M2R1M1由以上二式就可解出

1、

2答：原解認(rèn)為系統(tǒng)的總角動量為二圓柱各自對自己的軸的角動量之和是錯(cuò)誤的，因?yàn)橄到y(tǒng)的總角動量只能對某一個(gè)軸進(jìn)行計(jì)算。當(dāng)兩柱體邊緣沒有相對滑動時(shí)

1，

2方向相反，所以應(yīng)為正確的解法：對兩圓柱分別使用角動量定理，由于兩柱接觸時(shí)摩擦力大小相等、方向相反,力矩和沖量矩的大小正比于半徑,方向相同,則:這種解法對嗎?由此可解得:[例7]已知棒的質(zhì)量M、長度l,其上套有兩環(huán)，質(zhì)量均為m,可滑動。m受阻力正比于速度。初始兩環(huán)固定,距離O是r，隨棒以ω1

轉(zhuǎn)動。求：(1)松開兩環(huán)，當(dāng)其達(dá)棒端A、B時(shí)，系統(tǒng)角速度？

(2)兩環(huán)飛離時(shí)，棒的角速度？解：(1)阻力通過固定軸動力矩為零。系統(tǒng)角動量守恒,（2）兩環(huán)飛離時(shí)，對棒無力矩作用，因而棒的角速度仍為ω2[例8]如圖所示，將單擺和一等長的勻質(zhì)直桿懸掛在同一點(diǎn)，桿的質(zhì)量m與單擺的擺錘相等。開始時(shí)直桿自然下垂，將單擺的擺錘拉到h0高度，令它自靜止?fàn)顟B(tài)下垂,于鉛垂位置和直桿作彈性碰撞。求碰撞后直桿下端達(dá)到的高度h。chch’hmlhol解:碰撞前單擺擺錘的速度為令碰撞后直桿的角速度為

，擺錘的速度為v＇由角動量守恒，有①在彈性碰撞過程中機(jī)械能守恒:二式聯(lián)立解得：②按機(jī)械能守恒,碰撞后擺錘達(dá)到的高度顯然為：而桿的質(zhì)心達(dá)到的高度滿足：由此得：1、一輕繩繞于半徑為

r

的飛輪邊緣，并以質(zhì)量為m的物體掛在繩端，飛輪對過輪心且與輪面垂直的水平固定軸的轉(zhuǎn)動慣量為J，若不計(jì)算摩擦，飛輪的角加速度β=()2、一輕繩繞于半徑

r=0.2

m

的飛輪邊緣，并施以F=98

N

的拉力，若不計(jì)摩擦，飛輪的角加速度等于39.2rad?s-2，

此飛輪的轉(zhuǎn)動慣量為（）[練習(xí)題]4、幾個(gè)力同時(shí)作用在一個(gè)具有固定轉(zhuǎn)軸的剛體上，如果這幾個(gè)力的矢量和為零，則此剛體

A）必然不會轉(zhuǎn)動B）轉(zhuǎn)速必然不變

C）轉(zhuǎn)速必然改變D）轉(zhuǎn)速可能改變，也可能不變。5、一個(gè)物體正在繞固定光滑軸自由轉(zhuǎn)動，

A）它受熱膨脹或遇冷收縮時(shí)，角速度不變．

B）它受熱時(shí)角速度變大，遇冷時(shí)角速度變?。?/p>

C）它受熱或遇冷時(shí)，角速度均變大．

D）它受熱時(shí)角速度變小，遇冷時(shí)角速度變大．3、質(zhì)量分別為m、2m的兩物體，用一長為l的輕質(zhì)剛性細(xì)桿相連，系統(tǒng)繞通過桿且與桿垂直的豎直固定轉(zhuǎn)軸O轉(zhuǎn)動，已知O軸離質(zhì)量為2m的質(zhì)點(diǎn)距離為l/3，質(zhì)量為m

的質(zhì)點(diǎn)的線速度為v且與桿垂直，則該系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸的角動量大小為√√6、一個(gè)人站在有光滑固定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動平臺上，雙臂水平地舉兩啞鈴．在該人把此兩啞鈴水平收縮到胸前的過程中，人、啞鈴與轉(zhuǎn)動平臺組成的系統(tǒng)的

A）機(jī)械能守恒，角動量守恒．

B）機(jī)械能守恒，角動量不守恒．

C）機(jī)械能不守恒，角動量守恒．

D）機(jī)械能不守恒，角動量也不守恒．7、一圓盤正繞垂直于盤面的水平光滑固定軸O轉(zhuǎn)動，射來兩個(gè)質(zhì)量相同，速度大小相同，方向相反的子彈，子彈射入圓盤并留在盤內(nèi)，則子彈射入后的瞬間，圓盤的角速度：A）增大；B）不變；C）減??；D）不能確定?！獭?、均勻細(xì)棒OA可繞通過其一端O而與棒垂直的水平固定光滑軸轉(zhuǎn)動，今使棒從水平位置由靜止開始自由下落，在棒擺動到豎直位置的過程中，下述說法哪一種是正確的？

A）角速度從小到大，角加速度從大到小．

B）角速度從小到大，角加速度從小到大．

C）角速度從大到小，角加速度從大到?。?/p>

D）角速度從大到小，角加速度從小到大．√9、關(guān)于剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量，下列說法中正確的是[]A）取決于剛體的質(zhì)量，與質(zhì)量的空間分布和軸的位置無關(guān)。B）取決于剛體的質(zhì)量和質(zhì)量的空間分布，與軸的位置無關(guān)。C）取決于剛體的質(zhì)量、質(zhì)量的空間分布和軸的位置。D）取決于轉(zhuǎn)軸的位置，與剛體的質(zhì)量和質(zhì)量的空間分布無關(guān)。

10.如圖所示，A、B為兩個(gè)相同的繞著輕繩的定滑輪．A滑輪掛一質(zhì)量為M的物體，B滑輪受拉力F，而且F＝Mg．設(shè)A、B兩滑輪的角加速度分別為bA和bB，不計(jì)滑輪軸的摩擦，則有

(A)bA＝bB．(B)bA＞bB．

(C)bA＜bB．(D)開始時(shí)bA＝bB，以后bA＜bB．11.一水平的勻質(zhì)圓盤，可繞通過盤心的豎直光滑固定軸自由轉(zhuǎn)動．圓盤質(zhì)量為M，半徑為R，對軸的轉(zhuǎn)動慣量J＝(1/2)MR2．當(dāng)圓盤以角速度ω0轉(zhuǎn)動時(shí)，有一質(zhì)量為m的子彈沿盤的直徑方向射入而嵌在盤的邊緣上．子彈射入后，圓盤的角速度ω

＝______________．

M

0/(M+2m)

12.長為l、質(zhì)量為M的勻質(zhì)桿可繞通過桿一端O的水平光滑固定軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動慣量為開始時(shí)桿豎直下垂，如圖所示．有一質(zhì)量為m