第10章電磁理論

物理光學第十章光的電磁理論基礎(chǔ)（1）十九世紀中葉，麥克斯韋推測：光波是一種電磁波。

①電磁波的傳播速度等于光速；

②電磁波在不同的介質(zhì)分界面發(fā)生反射和折射，在傳播過程

出現(xiàn)干涉、衍射和偏振等現(xiàn)象；（2）20年后，赫茲通過實驗證明了麥克斯韋的理論：

光是一種電磁波，進而產(chǎn)生了光的電磁理論。（3）電磁理論的意義：

光的電磁理論的確立，推動了光學及整個物理學的發(fā)展。

它是闡明大多數(shù)光學現(xiàn)象以及掌握現(xiàn)代光學的一個重要基礎(chǔ)。光的電磁理論是解釋光波物理現(xiàn)象的理論基礎(chǔ)。光波電磁理論的建立主要內(nèi)容

1.

光的電磁性質(zhì)

3.光波的疊加

2.光在電介質(zhì)分界面上的反射和折射10.1

光的電磁性質(zhì)1.波的數(shù)學表達2.電磁場的波動性3.平面電磁波及其性質(zhì)4.球面波和柱面波5.光波的輻射和輻射能1.波的數(shù)學表達振動和波動是自然界最常見的運動形式之一。振動是與自然界的周期現(xiàn)象相聯(lián)系，波動則是振動在空間的傳播?！嚓P(guān)于波動的一般概念對于光波也是成立的。（1）振動：最簡單的周期函數(shù)為簡諧振動：根據(jù)歐拉公式，上式可以寫為復數(shù)形式：由于周期函數(shù)都可以通過傅里葉級數(shù)展開成多個頻率的

簡諧函數(shù)的疊加，∴研究簡諧振動具有普遍意義。是時間與空間的任意周期函數(shù)。

（）yx0xBc（2）波動①平面簡諧波設x=0處，質(zhì)點振動方程為：則，距0點x處的質(zhì)點振動方程為：

∵

B點為任意點，

∴上式表現(xiàn)出波線上任一點、任一瞬時質(zhì)點的位移，即為波動方程。

波動方程對t求二階偏導，有

波動方程對x求二階偏導，有

平面波動方程的一般形式：三維空間中的平面波波動方程可寫為：由拉普拉斯算子，可得平面波的波動方程：②球面波波動方程將上式化為球坐標方程形式，且各個徑向方向上的波傳播

完全相同，即可得到球面波的波動方程為：從而得到球面余弦波波動方程為：復數(shù)形式：

球面波振幅與離開振源的距離r成反比；

相位相等的面是r為常數(shù)的球面。它是一個無限長線光源發(fā)出的光波，它的等相面具有柱面形狀，

用一平面波照射一細長狹縫可獲得接近于圓柱面形的柱面波，

其強度與離開光源的距離r有關(guān)，波動方程為：復數(shù)形式：③柱面波2.電磁場的波動性

電場強度：單位電量的正電荷在電場中所受的力。

電位移：電場中某一點的電場強度與介電常數(shù)

的乘積。

對于點電荷系：※

說明電位移只與產(chǎn)生電場的電荷有關(guān)；電場強度與電介質(zhì)有關(guān)。：電場中任一給定面的電位移線總數(shù)。

預備知識：

電通量對于點電荷系：（1）麥克斯韋方程的積分形式（電場高斯定律）:

（磁場高斯定律/磁通連續(xù)定律）:

（磁場環(huán)路定律/安培環(huán)路定律）:（法拉第電磁感應定律）:（2）麥克斯韋方程的微分形式①方程組—電感強度（電位移）；—磁感應強度；—電場強度；—積分閉合回路上的傳導電流密度；—磁場強度；—位移電流密度

—封閉曲面內(nèi)的電荷密度；

描寫了物質(zhì)在場作用下特性的關(guān)系式。靜止的、各向同性媒質(zhì)中的物質(zhì)方程關(guān)系：

—電導率

—介電常數(shù)（電容率）

—磁導率②物質(zhì)方程在真空中：麥克斯韋方程組與物質(zhì)方程一起組成一組完整的方程組，用于描寫時變場情況下電磁場的普遍規(guī)律。（3）電磁場的波動性對于無限大各向同性均勻介質(zhì)，則

、

為常數(shù)若遠離輻射源：則

則麥克斯韋方程組簡化為：（1）（2）（3）（4）對式兩邊取旋度，則

右邊=

（3）左邊=左邊=右邊，有：令

電場波動方程：同理，可以得到磁場波動方程：電磁波的傳播速度根據(jù)電磁波的傳播速度光速：3.平面電磁波及其性質(zhì)、的解可以有多種形式：平面波、球面波、柱面波。（1）波動方程的平面波解平面波：是指與傳播方向正交的平面上各點電場或磁場具有相同值

的波，若平面波沿x、y、z坐標系的z方向傳播，則平面波

僅是z和t的函數(shù)。、則原式可化為：

（2）平面簡諧電磁波的波動公式利用物理量間的關(guān)系：波矢量其大小為：（稱為空間角頻率或波數(shù)）其方向為：波的傳播方向。則有：沿空間任一方向傳播的平面

s為坐標原點到平面的垂直距離。的方向余弦為：cos

、cos

、cos

，平面上點的坐標為:x、y、z，復數(shù)形式：若則原式為：kP（x,y,z）xyzrabgoSs=rk（3）平面電磁波的性質(zhì)根據(jù)∴

，同理

∴是橫波，其振動方向與傳播方向⊥。

①電磁波是橫波、根據(jù)麥克斯韋方程組（3）左邊=右邊，有：由（10-24d）有，代入，有：

②互成右手螺旋系、左邊右邊※

∵對光檢測器起作用的僅是電場，∴用電矢量代表光矢量。③和同相位將取標量形式有：為實數(shù)4.球面波和柱面波球面波：球面波波動方程：發(fā)散球面波：會聚球面波：rkrk柱面波波動方程：柱面波：發(fā)散球面波：會聚球面波：5.光波的輻射和輻射能（1）電偶極子輻射模型①電偶極子：兩個大小相等的正負電荷+q、-q，當兩者之間距離相對其它所涉及到的距離小很多時，+q、-q這個電荷系統(tǒng)就稱為電偶極子。②電偶極矩：方向：從負電荷→正電荷經(jīng)典電磁理論把原子發(fā)光看成是原子內(nèi)部過程形成的電偶極子輻射。若電偶極子作直線簡諧振蕩，則電偶極矩為：式中，ω—電偶極子振蕩角頻率；—振幅矢量。則遠離偶極子中心的某點的電磁場為：式中，ω—偶極子振蕩角頻率（輻射電磁波的角頻率也為ω）；

v—介質(zhì)中電磁波的傳播速度；

式中，ψ—偶極矩方向和波傳播方向的夾角。

取標量形式：③

振幅隨變化，當ψ=0時，E=B=0，此方向無輻射能量；當ψ=90時，此方向上能量最大。

④

根據(jù)上面的公式，可以推出∴

、、成右手螺旋系，、

在組成的平面內(nèi)振動；

在

此面上振動。從公式可看出：①

電磁波的角頻率與電偶極子振蕩角頻率相同，都等于ω。②輻射電磁波是以電偶極子中心為原點的發(fā)散球面波，其振幅與r成反比。表明：電磁波具有偏振性。（2）實際光波（不具偏振性）①波列實際光源發(fā)出的光波不是在時間和空間上無限延續(xù)的簡諧波，而是一定有限長度內(nèi)的衰減振動，由這些被稱為波列的光波組成實際光波。

原因：由于原子彼此間不斷碰撞，使電偶極子的輻射過程常常

中斷，因而原子發(fā)光是斷斷續(xù)續(xù)的。②實際光源輻射的光波不具有偏振性（3）輻射能

①電磁波的傳播過程，就是能量的傳遞過程。電磁場的能量分布用能量密度w表示。

場中一點，單位體積的輻射能：

②能流密度矢量(坡印亭矢量/輻射強度矢量)的方向表示能量的傳播方向；的大小，用單位時間內(nèi)通過⊥于能量傳播方向上的單位面積的能量來表示。

有，

寫成矢量形式，有：、、③光強—能流密度平均值表示光的強度I

成右手螺旋系統(tǒng)。10.2

光在電介質(zhì)分界面上的反射和折射

1.電磁場連續(xù)條件（邊界條件）2.光在兩電介質(zhì)分界面上的反射和折射3.菲涅耳公式及其討論1.電磁場連續(xù)條件（邊界條件）當電磁波由一種介質(zhì)傳播到另一種介質(zhì)時，由于介質(zhì)的物理性質(zhì)不同，

即n（以

，

表征）不同，電磁場在界面上并不連續(xù)，但在分界面兩側(cè)其

、、、滿足一定的條件，通常把這種條件稱為電磁場邊界條件。（1）電磁場的邊界條件：在沒有傳導電流和自由電荷的介質(zhì)中，磁感強度和電感強度

的法向分量在界面上連續(xù)，而電場強度和磁場強度的切向分量

在界面上連續(xù)。即：建立兩種介質(zhì)界面兩邊場量的關(guān)系。意義：（2）電磁場連續(xù)條件（邊界條件）證明推導①當界面上不存在電荷和傳導電流，則麥克斯韋方程為：②將麥克斯韋方程組的積分取在邊界附近很小的范圍內(nèi)L1L2L12圖（2）入射S1S1212圖（1）S2

圖（1）為封閉柱面

S；圖（2）為矩形周線

L。

使S12、L12→0，則封閉柱面上的積分，可以由S1、S2的積分來代替；

沿周線的積分，可以由L1、L2線段上的積分代替。且可認為S1、S2面上和L1、L2線段上的電磁矢量不變。（）S→0，

∴右邊=0

③麥克斯韋方程組第一式有∴說明在界面法線上投影相等，，同理、則④麥克斯韋方程組第三式有

∴2.光在兩電介質(zhì)分界面上的反射和折射①光波入射面

—法線與入射光線組成的面；②光波振動面

—電場矢量與入射光線組成的平面；③方位角α—振動面與入射面的交角；④光矢量的分量：

∥入射面——p分量記：Ep

⊥入射面——s分量記：Es名詞與約定：反射定律和折射定律的證明：

反射光線和入射光線都在法線與入射光線組成的平面內(nèi)反射角=入射角

已知：，

單色平面入射波其反射和折射波也為平面波

入射光、反射光和折射光的波矢量分別為：

、、；入射角、反射角和折射角分別為：、、；入射光、反射光和折射光的角頻率分別為：、、；（1）入射光波、反射光波、折射光波表達式為：證明：（2）根據(jù)邊界條件有：

若想在任意時刻t，平面任意位置（x，y），連續(xù)條件都成立，則必有：根據(jù)式（2），有則和在分界面上的投影等于0，因此，、、均在入射面內(nèi)。（3）根據(jù)式（2）可以得到如右圖結(jié)果有，

∵

∴∴

反射定律。

又∵∴

折射定律。

3.菲涅耳公式及其討論（1）菲涅耳公式利用電磁場的邊界條件可以導出表示入射波、反射波、折射波的

振幅和相位關(guān)系的公式，即菲涅耳公式?！叻颇绞窃谔囟ǖ膱鍪噶咳∠蛳峦频玫?，∴我們先要規(guī)定電磁場的方向。規(guī)定：、的正向由右手螺旋關(guān)系給出。

入射面內(nèi)的s波、

的正向沿y軸方向；

①s波由邊界條件式，有：（H分量在切面上連續(xù)）（E分量在切面上連續(xù)）（1）（2）∵

∴由（2）（3）得：（3）（4）又∵代入(4)有：

（5）將（1）代入（5）式，有

則，s波的振幅反射系數(shù)rs

和振幅透射

ts

系數(shù)可寫為：上述兩式稱為s波的菲涅耳公式。它們是研究光反射和薄膜光學的基本公式。（4）除了鐵磁質(zhì)外，大多數(shù)物質(zhì)只有很弱的磁性，可以認為則上述公式可以簡化為：由折射定律，有：②p波由邊界條件式，有：（H分量在切面上連續(xù)）（E分量在切面上連續(xù)）（1）（2）∵

∴由（2）（3）得：（3）（4）又∵代入(4)有：

（5）將（5）代入（1）式，有

則，p波的振幅反射系數(shù)rp

和振幅透射

tp

系數(shù)可寫為：若，則上述公式可以簡化為：由折射定律，有：對于時，即垂直入射，有：

相對折射率（2）反射和折射時的振幅關(guān)系即s波、p波（根據(jù)菲涅耳公式）隨入射角

1

的變化規(guī)律。以相對折射率n=1.5和n=1/1.5為例。n=1.5n=1/1.5

1=0

都不為0

存在反射波和折射波

沒有折射波

當

1=B

時（即B滿足

B+

2=90），rp=0，形成全偏振現(xiàn)象。由折射定律可知：此時tg

B=n，

B稱為起偏角（布儒斯特角）

①n=1.5時，光疏→光密

1=90

1=0~90

1=0

1=c時，即

c為

2=90對應的入射角

|rs|=|rp|=1

發(fā)生全反射。

ts、tp都>1，且隨1

而。②n=1/1.5時，光密→光疏都不為0

存在反射波和折射波

當

1=B

時，同樣存在全偏振現(xiàn)象。n=1.5n=1/1.5（3）相位變化當光波在介質(zhì)表面發(fā)生反射和折射時，rp、rs、tp、ts會隨著入射角

1的變化出現(xiàn)正值或負值的情況，表明所考慮的兩個場同相位（振幅比取正值），或者反相（振幅比取負值），其相應的相位變化就是零或者是π。①對于折射波由菲涅耳公式可知：

對于任意

1，tp、ts都是>0，

∴折射波和入射波的相位總是相同。②對于反射波分兩種情況：a．n1<n2

（光疏→光密）

對于rs分量，任意

1

rs<0，

s波在界面上發(fā)生了π的相位變化；

對于rp分量，n=1.5n=1/1.5※討論一下半波損失：當平面波在接近正入射或掠射時，從光疏介質(zhì)與光密介質(zhì)的分界面反射時，反射光電矢量相對于入射光電矢量發(fā)生了相位突變π，通常把反射時發(fā)生的相位突變π稱為“半波損失”，即反射時損失了半個波長。這一結(jié)論對討論光的干涉現(xiàn)象極為重要。說明原因：

入射角→0（或正入射）

一方面，根據(jù)相位變化圖（書192頁圖10-9）可知和的相位差π，由于規(guī)定的正向相同，所以和的方向相反；

另一方面，根據(jù)相位變化圖可知和的相位相同，和的方向相反；根據(jù)p波正向規(guī)定，可知由于傳播方向的不同，產(chǎn)生

∴和的方向正好相反

入射角接近90°（或掠射）根據(jù)相位變化圖可知：和的相位差π、和的相位也差π，又由于傳播方向相同，∴和的方向正好相反n=1.5n=1/1.5b．n1>n2

（光密→光疏）

對于rs分量，

1<c

rs>0，

相位不變化；

1>c

全反射；

對于rp分量，當時，相位改變既不是π也不是0，而是隨著入射角的增加有一個緩慢變化的過程，這是發(fā)生全反射現(xiàn)象之故。

※全反射現(xiàn)象實際上，全反射并不象幾何光學描述的那樣簡單，而是光波透過分界面，進入第2介質(zhì)很薄的一層表面（深度約為光波波長），并沿界面移動半個波長再返回到第1介質(zhì)。透入第2個介質(zhì)的這個波稱為瞬逝波。瞬逝波的存在從滿足電磁場的邊界條件來看也是必然的，通常在界面處入射波矢量與反射波矢量一般不會反向，故界面上表面的總波場并非為零，依，的切向連續(xù)性，∴在第2介質(zhì)中就一定會存在透射波。（4）反射比和透射比設入射波、反射波和折射波的光強分別為、、，

則界面上單位面積的光能為：入射波反射波折射波∴

反射波與入射波能流之比：

折射波與入射波能流之比：

()若不考慮能量損失，則有由菲涅耳公式，可得：同樣根據(jù)能量守恒定律，有（5）反射和折射的偏振關(guān)系從前面的分析中可知：當時，發(fā)生全偏振，

此時反射光中只有s波，透射光中含有全部p

波和部分s波。以角入射時，經(jīng)過多層玻璃的多次反射，透射光中s波越來越少，從而得到偏振程度相當高的平行于入射面振動的透射光。10.3光波的疊加1．波的疊加原理2．兩個頻率相同、振動方向相同的單色光波疊加3．駐波4．兩個頻率相同、振動方向互相垂直的單色光波疊加5．頻率不同的單色光波的疊加1.波的疊加原理幾個波在相遇點產(chǎn)生的合振動是各個波單獨在該點產(chǎn)生的振動的矢量和。光波同樣也服從波的疊加原理。表述：如果兩個光波和在空間P點相遇，根據(jù)波的疊加原理，在P點的合振動為：※從數(shù)學公式角度看通常，波動方程是線性微分方程，簡諧波的表達式是它的一個解。如果有兩個獨立的函數(shù)都能滿足同一個給定的微分方程（即同時是此方程的解），那么這兩個函數(shù)的和也必然是這個微分方程的解，這就是兩個具有獨立性的波的疊加的數(shù)學意義。光波的疊加原理表明了光傳播時的獨立性。2.兩個頻率相同、振動方向相同的單色光波疊加（1）代數(shù)迭加法已知兩個頻率相同、振動方向相同的單色光波分別發(fā)自

光源S1和S2，它們在空間P點相遇，兩光波各自在P點

產(chǎn)生的光振動可以寫為：令，在P點產(chǎn)生的合振動為：其中：疊加結(jié)果分析：設兩光波在P點的振幅相等，A1=A2=A0，令I(lǐng)0=A02表示單個光波

在P點的強度，

=

2-1兩光波在P點的相位差，則P點合振動光強為：此式表明：疊加后的合振動的光強I，取決于兩光波在疊加點的相位差

，

①

當

=2m

（m=0，±1，±2，…）I=4I0

P點光強最大；

當

=(2m+1)

（m=0，±1，±2，…）I=0P點光強最??；

相位介于兩者之間時，光強在0~4I0之間；

②兩光波在P點的相位差又可寫成：

式中為光程差，用

表示（m=0，±1，±2，…）P點光強最大；（m=0，±1，±2，…）P點光強最??；當

兩光波在空間相遇，如果它們在源點發(fā)出時的初相位相同，則光波在疊加區(qū)相遇點的強度將取決于兩光波在該點的光程差或相位差。

若在考察時間內(nèi)，兩光波的初相位保持不變，光程差也恒定，則該點強度不變，疊加區(qū)內(nèi)各點的強度也不變，在疊加區(qū)內(nèi)將看到強弱穩(wěn)定的強度分布，形成干涉現(xiàn)象。產(chǎn)生干涉的波叫相干光波，其光源稱為相干光源。（2）相幅矢量法（圖解法）它的長度表示某一光振動的振幅大小，

它與給定軸的夾角等于該光振動的位相，

當它以角速度ω繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)時，

該矢量末端在給定軸上的投影運動就表示該簡諧振動。

定義：兩個矢量的投影和等于這兩個矢量和的投影。所以兩光波在某點的光振動的疊加可以通過其相幅矢量相加求取。數(shù)學關(guān)系：3.駐波

兩個頻率相同、振動方向相同，傳播方向相反的單色光源。垂直入射到兩種介質(zhì)分界面的單色光波與其反射波即為駐波。若入射光波與反射光波的振幅相等，則有：

為反射波與入射波的相位差。疊加后：由上式可以看出：z

軸上每一點隨時間的振動，是以

為頻率，振幅隨z的位置而變化的簡諧振動。①振幅波腹波節(jié)不隨時間而變。②相鄰波節(jié)（波腹）間距為

/2※若反射率不等于1，合成波為—駐波+行波（行波伴隨著能量的傳遞）則兩個波的振幅不同，有：駐波行波4.兩個頻率相同、振動方向互相垂直的單色光波疊加光源S1、S2發(fā)出兩個頻率相同而振動方向相互垂直的單色光波，其振動方向分別平行于x

軸、y軸，并沿z軸方向傳播。在P點處，兩光波的振動為（初相位為0