《4.4數(shù)學(xué)歸納法》教案、導(dǎo)學(xué)案與同步練習(xí)

《4.4數(shù)學(xué)歸納法》教案【教材分析】本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二》第四章《數(shù)列》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法前面學(xué)生已經(jīng)通過數(shù)列一章內(nèi)容和其它相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，初步掌握了由有限多個(gè)特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法，即不完全歸納法。但由于有限多個(gè)特殊事例得出的結(jié)論不一定正確，這種推理方法不能作為一種論證方法。因此，在不完全歸納法的基礎(chǔ)上，必須進(jìn)一步學(xué)習(xí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)的論證方法——數(shù)學(xué)歸納法。數(shù)學(xué)歸納法亮點(diǎn)就在于，通過有限個(gè)步驟的推理，證明n取無限多個(gè)正整數(shù)的情形，這也是無限與有限辨證統(tǒng)一的體現(xiàn)。并且，本節(jié)內(nèi)容是培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砟芰Α⒂?xùn)練學(xué)生的抽象思維能力、體驗(yàn)數(shù)學(xué)內(nèi)在美的很好的素材。發(fā)展學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的的核心素養(yǎng)?！窘虒W(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.B.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題.1.數(shù)學(xué)抽象：數(shù)學(xué)歸納法的原理2.邏輯推理：運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題3.數(shù)學(xué)建模：運(yùn)用多米諾骨牌建立數(shù)學(xué)歸納法概念【教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)】重點(diǎn)：用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題難點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法的原理.【教學(xué)過程】教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖一、知識(shí)回顧在數(shù)列的學(xué)習(xí)過程中，我們已經(jīng)用歸納的方法得出了一些結(jié)論，例如等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=a1+n-1d等，但并沒有給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，那么，對(duì)于這類與正整數(shù)探究1.已知數(shù)列{an}滿足，a1=1,an+1=計(jì)算a2，a3，a分析：計(jì)算可得a2=1

，a3=1

，a4=1

，再結(jié)合a1=1

，由此猜想：思路1.我們可以從開始一個(gè)個(gè)往下驗(yàn)證。一般來說，與正整數(shù)n有關(guān)的命題，當(dāng)比較小時(shí)可以逐個(gè)驗(yàn)證，但n當(dāng)較大時(shí)，驗(yàn)證起來會(huì)很麻煩。特別當(dāng)n取所有正整數(shù)都成立的命題時(shí)，逐一驗(yàn)證是不可能的。因此，我們需要另辟蹊徑，尋求一種方法。問題1：多米諾骨牌都倒下的關(guān)鍵點(diǎn)是什么？我們先從多米諾骨牌游戲說起，碼放骨牌時(shí)，要保證任意相鄰的兩塊骨牌，若前一塊骨牌倒下，則一定導(dǎo)致后一塊骨牌倒下。這樣，只要推到第1塊骨牌，就可導(dǎo)致第2塊骨牌倒下；而第2塊骨牌倒下，就可導(dǎo)致第3塊骨牌倒下；……，總之，不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。問題1：多米諾骨牌都倒下的關(guān)鍵點(diǎn)是什么？（1）第一塊骨牌倒下；（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下.問題2：你認(rèn)為條件（2）的作用是什么？如何用數(shù)學(xué)語言來描述它？可以看出，條件（2）給出一個(gè)遞推根據(jù)（關(guān)系），當(dāng)?shù)趉塊倒下，相鄰的第k+1塊也倒下。探究2.你認(rèn)為證明前面的猜想“數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=1(n∈（1）第一塊骨牌倒下；（2）若第K塊骨牌倒下時(shí)，則使相鄰的第K+1塊骨牌也倒下根據(jù)（1）和（2），可知不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。（1）當(dāng)n=1時(shí)猜想成立；a1（2）若n=k時(shí)猜想成立,即ak=1則當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1=12-根據(jù)（1）和（2），可知對(duì)任意的正整數(shù)n，猜想都成立.所以，對(duì)于任意正整數(shù)n，猜想都成立，即數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=1.數(shù)學(xué)歸納法的定義一般地,證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行:歸納奠基→證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0∈N*)時(shí)命題成立歸納遞推→以當(dāng)“n=k(k≥n0,k∈N*)時(shí)命題成立”為條件,推出“當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立”只要完成這兩個(gè)步驟,就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.二、典例解析例1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果{an}是一個(gè)公差為d

an=a1+對(duì)任何n∈N分析：因?yàn)榈炔顢?shù)列的通項(xiàng)公式涉及全體正整數(shù)，所以用數(shù)學(xué)歸納法證明的第一步應(yīng)證明n=1時(shí)命題成立。第二步要明確證明目標(biāo)，即要證明一個(gè)新命題：如果n=k時(shí),①式正確的，那么n=k+1時(shí)①式也是正確的.證明：（1）當(dāng)n=k時(shí)，左邊=a1

，右邊=a1+0×d=（2）假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)，

ak=a1根據(jù)等差數(shù)列的定義，有

ak+1-a于是ak+1=a=a=a1

=a1

即當(dāng)n=k+1時(shí)，①式也成立由（1）（2）可知，①式對(duì)任何n∈N用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式時(shí),應(yīng)關(guān)注以下三點(diǎn):(1)弄清n取第一個(gè)值n0時(shí)等式兩端項(xiàng)的情況;(2)弄清從n=k到n=k+1等式兩端增加了哪些項(xiàng),減少了哪些項(xiàng);(3)證明n=k+1時(shí)結(jié)論也成立,要設(shè)法將待證式與歸納假設(shè)建立聯(lián)系,并朝n=k+1證明目標(biāo)的表達(dá)式變形.跟蹤訓(xùn)練1求證:1-12+13-14+…+1證明:①當(dāng)n=1時(shí),左邊=1-12=1②假設(shè)n=k(k∈N*)時(shí),1-12+13-那么當(dāng)n=k+1時(shí),1-12+13=1k+2+1k+3+…+=1(k+1)+1+綜上所述,對(duì)于任何n∈N*,等式都成立.例2已知數(shù)列11×4,14×7,17×10,…,1(3n-計(jì)算結(jié)果,猜想Sn的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.解:S1=11×4S2=14S3=27S4=310可以看出,上面表示四個(gè)結(jié)果的分?jǐn)?shù)中,分子與項(xiàng)數(shù)n一致,分母可用項(xiàng)數(shù)n表示為3n+1.于是可以猜想Sn=n3n+1下面我們用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想.(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=S1=14右邊=n3n+1猜想成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)猜想成立,即11×4+14×7+17×10+…+=3所以,當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立.根據(jù)(1)和(2),可知猜想對(duì)任何n∈N*都成立.(1)“歸納—猜想—證明”的一般環(huán)節(jié)(2)“歸納—猜想—證明”的主要題型①已知數(shù)列的遞推公式,求通項(xiàng)或前n項(xiàng)和.②由一些恒等式、不等式改編的一些探究性問題,求使命題成立的參數(shù)值是否存在.③給出一些簡單的命題(n=1,2,3,…),猜想并證明對(duì)任意正整數(shù)n都成立的一般性命題.跟蹤訓(xùn)練2數(shù)列{an}滿足Sn=2n-an(Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和),先計(jì)算數(shù)列的前4項(xiàng),再猜想an,并證明.解:由a1=2-a1,得a1=1;由a1+a2=2×2-a2,得a2=32由a1+a2+a3=2×3-a3,得a3=74由a1+a2+a3+a4=2×4-a4,得a4=158猜想an=2n下面證明猜想正確:(1)當(dāng)n=1時(shí),由上面的計(jì)算可知猜想成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)猜想成立,則有ak=2k當(dāng)n=k+1時(shí),Sk+ak+1=2(k+1)-ak+1,∴ak+1=12[2(k+1)-Sk=k+1-12所以,當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立.由(1)和(2)可知,an=2n通等差數(shù)列通項(xiàng)公式的獲得，引出問題。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。類比多米諾骨牌，經(jīng)歷觀察、分析、比較、抽象出數(shù)學(xué)歸納法的原理。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過典型例題，幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)歸納法在證明關(guān)于正整數(shù)有關(guān)的命題。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測1.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+a+a2+…+an+1=1-an+21-a(a≠1,n∈N*),在驗(yàn)證n=1A.1 B.1+aC.1+a+a2 D.1+a+a2+a3解析:當(dāng)n=1時(shí),左邊=1+a+a1+1=1+a+a2,故C正確.答案:C2.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)時(shí),從“n=k”到“n=k+1”,左邊需增添的代數(shù)式是()A.(2k+1)+(2k+2) B.(2k-1)+(2k+1)C.(2k+2)+(2k+3) D.(2k+2)+(2k+4)解析:當(dāng)n=k時(shí),左邊是共有2k+1個(gè)連續(xù)自然數(shù)相加,即1+2+3+…+(2k+1),所以當(dāng)n=k+1時(shí),左邊共有2k+3個(gè)連續(xù)自然數(shù)相加,即1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3).所以左邊需增添的代數(shù)式是(2k+2)+(2k+3).故選C.答案:C3.已知f(n)=1+12+13+…+1nf(2)=32,f(4)>2,f(8)>52,f(16)>3,f(32)>72答案:f(2n)>n+24.用數(shù)學(xué)歸納法證明:122+132+…+解析:從不等式結(jié)構(gòu)看,左邊n=k+1時(shí),最后一項(xiàng)為1(k+2)2,前面的分母的底數(shù)是連續(xù)的整數(shù),右邊n=k+1時(shí),式子為12答案:1225.用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n≥2,n∈N*時(shí),1-141-19證明:(1)當(dāng)n=2時(shí),左邊=1-14=34,右邊=(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2,k∈N*)時(shí)等式成立,即(1-14)(1-19)(1-116)…(1-1那么當(dāng)n=k+1時(shí),(1-14)(1-19)(1-116)…(1-1=k+12k·[1-1(k+1∴當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立.根據(jù)(1)和(2)知,對(duì)任意n≥2,n∈N*,等式都成立.通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。【教學(xué)反思】由于教師不僅是知識(shí)的傳授者，而且也是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、組織者和合作者。所以我采用“問題情景---建立模型---求解---解釋---應(yīng)用”的教學(xué)模式，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)問題的親身動(dòng)手探求、體驗(yàn)，獲得不僅是知識(shí)，更重要的是掌握了在今后的發(fā)展中用這種手段去獲取更多的知識(shí)的方法。這是“教師教給學(xué)生尋找水的方法或給學(xué)生一杯水，使學(xué)生能找到一桶水乃至更多活水”的求知方式。多媒體可以使教學(xué)內(nèi)容生動(dòng)、形象、鮮明地得到展示?！?.4數(shù)學(xué)歸納法》導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題.【重點(diǎn)和難點(diǎn)】重點(diǎn)：用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題難點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法的原理.【知識(shí)梳理】數(shù)學(xué)歸納法的定義一般地,證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行:歸納奠基→證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0∈N*)時(shí)命題成立歸納遞推→以當(dāng)“n=k(k≥n0,k∈N*)時(shí)命題成立”為條件,推出“當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立”只要完成這兩個(gè)步驟,就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.【學(xué)習(xí)過程】一、新知探究在數(shù)列的學(xué)習(xí)過程中，我們已經(jīng)用歸納的方法得出了一些結(jié)論，例如等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=a1+n-1d探究1.已知數(shù)列{an}滿足，a1=1,an+1=計(jì)算a2，a3，a問題1：多米諾骨牌都倒下的關(guān)鍵點(diǎn)是什么？我們先從多米諾骨牌游戲說起，碼放骨牌時(shí)，要保證任意相鄰的兩塊骨牌，若前一塊骨牌倒下，則一定導(dǎo)致后一塊骨牌倒下。這樣，只要推到第1塊骨牌，就可導(dǎo)致第2塊骨牌倒下；而第2塊骨牌倒下，就可導(dǎo)致第3塊骨牌倒下；……，總之，不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。問題1：多米諾骨牌都倒下的關(guān)鍵點(diǎn)是什么？問題2：你認(rèn)為條件（2）的作用是什么？如何用數(shù)學(xué)語言來描述它？探究2.你認(rèn)為證明前面的猜想“數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=1(n∈二、典例解析例1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果{an}是一個(gè)公差為d

an=a1+對(duì)任何n∈N用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式時(shí),應(yīng)關(guān)注以下三點(diǎn):(1)弄清n取第一個(gè)值n0時(shí)等式兩端項(xiàng)的情況;(2)弄清從n=k到n=k+1等式兩端增加了哪些項(xiàng),減少了哪些項(xiàng);(3)證明n=k+1時(shí)結(jié)論也成立,要設(shè)法將待證式與歸納假設(shè)建立聯(lián)系,并朝n=k+1證明目標(biāo)的表達(dá)式變形.跟蹤訓(xùn)練1求證:1-12+13-14+…+1例2已知數(shù)列11×4,14×7,17×10,…,1(3n-計(jì)算結(jié)果,猜想Sn的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.(1)“歸納—猜想—證明”的一般環(huán)節(jié)(2)“歸納—猜想—證明”的主要題型①已知數(shù)列的遞推公式,求通項(xiàng)或前n項(xiàng)和.②由一些恒等式、不等式改編的一些探究性問題,求使命題成立的參數(shù)值是否存在.③給出一些簡單的命題(n=1,2,3,…),猜想并證明對(duì)任意正整數(shù)n都成立的一般性命題.跟蹤訓(xùn)練2數(shù)列{an}滿足Sn=2n-an(Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和),先計(jì)算數(shù)列的前4項(xiàng),再猜想an,并證明.【達(dá)標(biāo)檢測】1.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+a+a2+…+an+1=1-an+21-a(a≠1,n∈N*),在驗(yàn)證n=1A.1 B.1+aC.1+a+a2 D.1+a+a2+a32.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)時(shí),從“n=k”到“n=k+1”,左邊需增添的代數(shù)式是()A.(2k+1)+(2k+2) B.(2k-1)+(2k+1)C.(2k+2)+(2k+3) D.(2k+2)+(2k+4)3.已知f(n)=1+12+13+…+1n(n∈N*),計(jì)算得f(2)=32,f(4)>2,f(8)>4.用數(shù)學(xué)歸納法證明:122+132+…+5.用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n≥2,n∈N*時(shí),1-141-19【課堂小結(jié)】【參考答案】知識(shí)梳理學(xué)習(xí)過程一、新知探究探究1.分析：計(jì)算可得a2=1

，a3=1

，a4=1

，再結(jié)合a1=1

，由此猜想：思路1.我們可以從開始一個(gè)個(gè)往下驗(yàn)證。一般來說，與正整數(shù)n有關(guān)的命題，當(dāng)比較小時(shí)可以逐個(gè)驗(yàn)證，但n當(dāng)較大時(shí)，驗(yàn)證起來會(huì)很麻煩。特別當(dāng)n取所有正整數(shù)都成立的命題時(shí)，逐一驗(yàn)證是不可能的。因此，我們需要另辟蹊徑，尋求一種方法。問題2：可以看出，條件（2）給出一個(gè)遞推根據(jù)（關(guān)系），當(dāng)?shù)趉塊倒下，相鄰的第k+1塊也倒下。探究2.（1）第一塊骨牌倒下；（2）若第K塊骨牌倒下時(shí)，則使相鄰的第K+1塊骨牌也倒下根據(jù)（1）和（2），可知不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。（1）當(dāng)n=1時(shí)猜想成立；a1（2）若n=k時(shí)猜想成立,即ak=1則當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1=12-ak根據(jù)（1）和（2），可知對(duì)任意的正整數(shù)n，猜想都成立.所以對(duì)于任意正整數(shù)n，猜想都成立，即數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an二、典例解析例1.分析：因?yàn)榈炔顢?shù)列的通項(xiàng)公式涉及全體正整數(shù)，所以用數(shù)學(xué)歸納法證明的第一步應(yīng)證明n=1時(shí)命題成立。第二步要明確證明目標(biāo)，即要證明一個(gè)新命題：如果n=k時(shí),①式正確的，那么n=k+1時(shí)①式也是正確的.證明：（1）當(dāng)n=k時(shí)，左邊=a1

，右邊=a1+0×d=（2）假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)，

ak=a1根據(jù)等差數(shù)列的定義，有

ak+1-a于是ak+1=a=a=a1

=a1

即當(dāng)n=k+1時(shí)，①式也成立由（1）（2）可知，①式對(duì)任何n∈N跟蹤訓(xùn)練1證明:①當(dāng)n=1時(shí),左邊=1-12=1②假設(shè)n=k(k∈N*)時(shí),1-12+13-那么當(dāng)n=k+1時(shí),1-12+13=1k+2+1k+3+…+=1(k+1)+1+綜上所述,對(duì)于任何n∈N*,等式都成立.例2解:S1=11×4S2=14S3=27S4=310可以看出,上面表示四個(gè)結(jié)果的分?jǐn)?shù)中,分子與項(xiàng)數(shù)n一致,分母可用項(xiàng)數(shù)n表示為3n+1.于是可以猜想Sn=n3n+1下面我們用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想.(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=S1=14右邊=n3n+1猜想成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)猜想成立,即11×4+14×7+17×10+…+1所以,當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立.根據(jù)(1)和(2),可知猜想對(duì)任何n∈N*都成立.跟蹤訓(xùn)練2解:由a1=2-a1,得a1=1;由a1+a2=2×2-a2,得a2=32由a1+a2+a3=2×3-a3,得a3=74由a1+a2+a3+a4=2×4-a4,得a4=158猜想an=2n下面證明猜想正確:(1)當(dāng)n=1時(shí),由上面的計(jì)算可知猜想成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)猜想成立,則有ak=2k當(dāng)n=k+1時(shí),Sk+ak+1=2(k+1)-ak+1,∴ak+1=12[2(k+1)-Sk=k+1-12所以,當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立.由(1)和(2)可知,an=2n達(dá)標(biāo)檢測1.解析:當(dāng)n=1時(shí),左邊=1+a+a1+1=1+a+a2,故C正確.答案:C2.解析:當(dāng)n=k時(shí),左邊是共有2k+1個(gè)連續(xù)自然數(shù)相加,即1+2+3+…+(2k+1),所以當(dāng)n=k+1時(shí),左邊共有2k+3個(gè)連續(xù)自然數(shù)相加,即1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3).所以左邊需增添的代數(shù)式是(2k+2)+(2k+3).故選C.答案:C3．答案:f(2n)>n4.解析:從不等式結(jié)構(gòu)看,左邊n=k+1時(shí),最后一項(xiàng)為1(k+2)2,前面的分母的底數(shù)是連續(xù)的整數(shù),右邊n=k+1時(shí),式子為1答案:1225.證明:(1)當(dāng)n=2時(shí),左邊=1-14=34,右邊=(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2,k∈N*)時(shí)等式成立,即(1-14)(1-19)(1-116)…(1-1那么當(dāng)n=k+1時(shí),(1-14)(1-19)(1-116)…(1-1=k+12k·[1-1∴當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立.根據(jù)(1)和(2)知,對(duì)任意n≥2,n∈N*,等式都成立.《4.4數(shù)學(xué)歸納法》基礎(chǔ)同步練習(xí)一、選擇題1．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證的不等式是（）A．B．C．D．2．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式（n∈N*）的過程中，第二步假設(shè)n=k時(shí)等式成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)應(yīng)得到（）A．B．C．D．3．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，以下說法正確的是（）A．第一步應(yīng)該驗(yàn)證當(dāng)時(shí)不等式成立B．從“到”左邊需要增加的代數(shù)式是C．從“到”左邊需要增加項(xiàng)D．以上說法都不對(duì)4．用數(shù)學(xué)歸納法證明“能被整除”的過程中，時(shí)，為了使用假設(shè)，應(yīng)將變形為（）A．B．C．D．5．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：，從到，不等式左邊需要（）A．增加一項(xiàng)B．增加兩項(xiàng)、C．增加，且減少一項(xiàng)D．增加、，且減少一項(xiàng)6．（多選題）用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)任意的自然數(shù)都成立，則以下滿足條件的的值為（）A．B．C．D．二、填空題7．用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“1++…+(n∈N+，且n≥2)”時(shí)，第一步要證明的結(jié)論是________.8．用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于的恒等式，當(dāng)時(shí)，表達(dá)式為，則當(dāng)時(shí)，表達(dá)式為_______.9．用數(shù)學(xué)歸納法證明能被整除時(shí)，從到添加的項(xiàng)數(shù)共有__________項(xiàng)（填多少項(xiàng)即可）．10．已知，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，_________．三、解答題11．在數(shù)列中，（1）求出并猜想的通項(xiàng)公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納方證明你的猜想.12．觀察下列等式：．．．．．．按照以上式子的規(guī)律：（1）寫出第5個(gè)等式，并猜想第個(gè)等式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明上述所猜想的第個(gè)等式成立．《4.4數(shù)學(xué)歸納法》答案解析一、選擇題1．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證的不等式是（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】∵，，∴所取的第一個(gè)正整數(shù)為2，又，故第一步應(yīng)驗(yàn)證．故選：B2．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式（n∈N*）的過程中，第二步假設(shè)n=k時(shí)等式成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)應(yīng)得到（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由數(shù)學(xué)歸納法知第二步假設(shè)n=k時(shí)等式成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)應(yīng)得到3．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，以下說法正確的是（）A．第一步應(yīng)該驗(yàn)證當(dāng)時(shí)不等式成立B．從“到”左邊需要增加的代數(shù)式是C．從“到”左邊需要增加項(xiàng)D．以上說法都不對(duì)【答案】D【詳解】第一步應(yīng)該驗(yàn)證當(dāng)時(shí)不等式成立,所以不正確；因?yàn)椋詮摹暗健弊筮呅枰黾拥拇鷶?shù)式是，所以不正確；所以從“到”左邊需要增加項(xiàng)，所以不正確。故選：D4．用數(shù)學(xué)歸納法證明“能被整除”的過程中，時(shí)，為了使用假設(shè)，應(yīng)將變形為（）A．B．C．D．【答案】A【詳解】解：假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即能被3整除，則當(dāng)時(shí)，．故選：A.5．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：，從到，不等式左邊需要（）A．增加一項(xiàng)B．增加兩項(xiàng)、C．增加，且減少一項(xiàng)D．增加、，且減少一項(xiàng)【答案】D【詳解】由數(shù)學(xué)歸納法知：若時(shí)，不等式成立，則有：成立，那么時(shí)，有：，∴，綜上知：不等式左邊需要增加、，且減少一項(xiàng),故選：D6．（多選題）用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)任意的自然數(shù)都成立，則以下滿足條件的的值為（）A．B．C．D．【答案】CD【詳解】取，則，不成立；取，則，不成立；取，則，成立；取，則，成立；下證：當(dāng)時(shí)，成立.當(dāng)，則，成立；設(shè)當(dāng)時(shí)，有成立，則當(dāng)時(shí)，有，令，則，因?yàn)?，故，因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，不等式也成立，由數(shù)學(xué)歸納法可知，對(duì)任意的都成立.故選：CD.二、填空題7．用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“1++…+(n∈N+，且n≥2)”時(shí)，第一步要證明的結(jié)論是________.【答案】【詳解】因?yàn)閚≥2，所以第一步要證的是當(dāng)n=2時(shí)結(jié)論成立，即1+.8．用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于的恒等式，當(dāng)時(shí)，表達(dá)式為，則當(dāng)時(shí)，表達(dá)式為_______.【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，表達(dá)式左側(cè)為：，表達(dá)式右側(cè)為：，則當(dāng)時(shí)，表達(dá)式為.9．用數(shù)學(xué)歸納法證明能被整除時(shí)，從到添加的項(xiàng)數(shù)共有__________________項(xiàng)（填多少項(xiàng)即可）．【答案】5【詳解】當(dāng)時(shí)，原式為：，當(dāng)時(shí)，原式為，比較后可知多了，共5項(xiàng).10．已知，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，_________．【答案】【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以三、解答題11．在數(shù)列中，（1）求出并猜想的通項(xiàng)公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納方證明你的猜想.【詳解】解：(1)∵，∴因此可猜想:；(2)當(dāng)時(shí)，，等式成立，假設(shè)時(shí)，等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，等式也成立，綜上所述，對(duì)任意自然數(shù)，.12．觀察下列等式：．．．．．．按照以上式子的規(guī)律：（1）寫出第5個(gè)等式，并猜想第個(gè)等式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明上述所猜想的第個(gè)等式成立．【詳解】解析（1）第5個(gè)等式為．第個(gè)等式為，．（2）證明：①當(dāng)時(shí)，等式左邊，等式右邊，所以等式成立．②假設(shè)時(shí)，命題成立，即，則當(dāng)時(shí)，，即時(shí)等式成立．根據(jù)①和②，可知對(duì)任意等式都成立．《4.4數(shù)學(xué)歸納法》提高同步練習(xí)一、選擇題1．用數(shù)學(xué)歸納法證明“對(duì)于的正整數(shù)成立”時(shí)，第一步證明中的起始值應(yīng)?。ǎ〢．B．C．D．2．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，時(shí)，由到時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是（）A．B．C．D．3．已知，則（）A．中共有項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，B．中共有項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，C．中共有項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，D．中共有項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，4．平面內(nèi)有個(gè)圓，其中每兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，且每三個(gè)圓都無公共點(diǎn)，用表示這個(gè)圓把平面分割的區(qū)域數(shù)，那么與之間的關(guān)系為（）A．B．C．D．5．用數(shù)學(xué)歸納法證明：的過程中，從到時(shí)，比共增加了（）A．1項(xiàng)B．項(xiàng)C．項(xiàng)D．項(xiàng)6.（多選題）數(shù)列滿足，，則以下說法正確的為（）A.；B.；C.對(duì)任意正數(shù)，都存在正整數(shù)使得成立；D..二、填空題7．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證的等式是________．8．凸邊形內(nèi)角和為，則凸邊形的內(nèi)角為______.9．用數(shù)學(xué)歸納法證明：，從到，等式左邊需增加的代數(shù)式為________10．已知為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，若已假設(shè)（為偶數(shù)）時(shí)命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證____________時(shí)等式成立.三、解答題11．漢諾塔問題是源于印度一個(gè)古老傳說的益智游戲.這個(gè)游戲的目的是將圖（1）中按照直徑從小到大依次擺放在①號(hào)塔座上的盤子，移動(dòng)到③號(hào)塔座上，在移動(dòng)的過程中要求：每次只可以移動(dòng)一個(gè)盤子，并且保證任何一個(gè)盤子都不可以放在比自己小的盤子上.記將n個(gè)直徑不同的盤子從①號(hào)塔座移動(dòng)到③號(hào)塔座所需要的最少次數(shù)為an.（1）試寫出a1，a2，a3，a4值，并猜想出an；（無需給出證明）（2）著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出了形數(shù)的概念.他們利用小石子擺放出了圖（2）的形狀，此時(shí)小石子的數(shù)目分別為1，4，9，16，由于小石子圍成的圖形類似正方形，于是稱bn＝n2這樣的數(shù)為正方形數(shù).當(dāng)n≥2時(shí)，試比較an與bn的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.12．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意的正整數(shù)都滿足．（1）求，，的值，猜想的表達(dá)式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中猜想的的表達(dá)式的正確性．《4.4數(shù)學(xué)歸納法》答案解析一、選擇題1．用數(shù)學(xué)歸納法證明“對(duì)于的正整數(shù)成立”時(shí)，第一步證明中的起始值應(yīng)?。ǎ〢．B．C．D．【答案】D【詳解】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟，首先要驗(yàn)證當(dāng)取第一個(gè)值時(shí)命題成立，結(jié)合本題，當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，不成立；當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，不成立；當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，不成立；當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，不成立；當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，成立.因此當(dāng)時(shí)，命題成立．所以第一步證明中的起始值應(yīng)?。蔬x：D．2．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，時(shí)，由到時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)橐C明等式的左邊是連續(xù)正整數(shù)，所以當(dāng)由到時(shí)，等式左邊增加了，故選C.3．已知，則（）A．中共有項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，B．中共有項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，C．中共有項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，D．中共有項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，【答案】C【詳解】中共有項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，.4．平面內(nèi)有個(gè)圓，其中每兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，且每三個(gè)圓都無公共點(diǎn)，用表示這個(gè)圓把平面分割的區(qū)域數(shù)，那么與之間的關(guān)系為（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】依題意得，由個(gè)圓增加到個(gè)圓，增加了個(gè)交點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)將新增的圓分成段弧，而每一段弧都將原來的一塊區(qū)域分成了2塊，故增加了塊區(qū)域，因此．5．用數(shù)學(xué)歸納法證明：的過程中，從到時(shí)，比共增加了（）A．1項(xiàng)B．項(xiàng)C．項(xiàng)D．項(xiàng)【答案】D【詳解】由題意，時(shí)，最后