《4.4數(shù)學歸納法》教案、導學案與同步練習

《4.4數(shù)學歸納法》教案【教材分析】本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學選擇性必修二》第四章《數(shù)列》，本節(jié)課主要學習數(shù)學歸納法前面學生已經(jīng)通過數(shù)列一章內(nèi)容和其它相關內(nèi)容的學習，初步掌握了由有限多個特殊事例得出一般結論的推理方法，即不完全歸納法。但由于有限多個特殊事例得出的結論不一定正確，這種推理方法不能作為一種論證方法。因此，在不完全歸納法的基礎上，必須進一步學習嚴謹?shù)目茖W的論證方法——數(shù)學歸納法。數(shù)學歸納法亮點就在于，通過有限個步驟的推理，證明n取無限多個正整數(shù)的情形，這也是無限與有限辨證統(tǒng)一的體現(xiàn)。并且，本節(jié)內(nèi)容是培養(yǎng)學生嚴謹?shù)耐评砟芰Α⒂柧殞W生的抽象思維能力、體驗數(shù)學內(nèi)在美的很好的素材。發(fā)展學生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)學建模的的核心素養(yǎng)?！窘虒W目標與核心素養(yǎng)】課程目標學科素養(yǎng)A.了解數(shù)學歸納法的原理.B.能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題.1.數(shù)學抽象：數(shù)學歸納法的原理2.邏輯推理：運用數(shù)學歸納法證明數(shù)學命題3.數(shù)學建模：運用多米諾骨牌建立數(shù)學歸納法概念【教學重點和難點】重點：用數(shù)學歸納法證明數(shù)學命題難點：數(shù)學歸納法的原理.【教學過程】教學過程教學設計意圖一、知識回顧在數(shù)列的學習過程中，我們已經(jīng)用歸納的方法得出了一些結論，例如等差數(shù)列{an}的通項公式an=a1+n-1d等，但并沒有給出嚴格的數(shù)學證明，那么，對于這類與正整數(shù)探究1.已知數(shù)列{an}滿足，a1=1,an+1=計算a2，a3，a分析：計算可得a2=1

，a3=1

，a4=1

，再結合a1=1

，由此猜想：思路1.我們可以從開始一個個往下驗證。一般來說，與正整數(shù)n有關的命題，當比較小時可以逐個驗證，但n當較大時，驗證起來會很麻煩。特別當n取所有正整數(shù)都成立的命題時，逐一驗證是不可能的。因此，我們需要另辟蹊徑，尋求一種方法。問題1：多米諾骨牌都倒下的關鍵點是什么？我們先從多米諾骨牌游戲說起，碼放骨牌時，要保證任意相鄰的兩塊骨牌，若前一塊骨牌倒下，則一定導致后一塊骨牌倒下。這樣，只要推到第1塊骨牌，就可導致第2塊骨牌倒下；而第2塊骨牌倒下，就可導致第3塊骨牌倒下；……，總之，不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。問題1：多米諾骨牌都倒下的關鍵點是什么？（1）第一塊骨牌倒下；（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導致后一塊倒下.問題2：你認為條件（2）的作用是什么？如何用數(shù)學語言來描述它？可以看出，條件（2）給出一個遞推根據(jù)（關系），當?shù)趉塊倒下，相鄰的第k+1塊也倒下。探究2.你認為證明前面的猜想“數(shù)列的通項公式是an=1(n∈（1）第一塊骨牌倒下；（2）若第K塊骨牌倒下時，則使相鄰的第K+1塊骨牌也倒下根據(jù)（1）和（2），可知不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。（1）當n=1時猜想成立；a1（2）若n=k時猜想成立,即ak=1則當n=k+1時,ak+1=12-根據(jù)（1）和（2），可知對任意的正整數(shù)n，猜想都成立.所以，對于任意正整數(shù)n，猜想都成立，即數(shù)列{a_n}的通項公式是a_n=1.數(shù)學歸納法的定義一般地,證明一個與正整數(shù)n有關的命題,可按下列步驟進行:歸納奠基→證明當n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立歸納遞推→以當“n=k(k≥n0,k∈N*)時命題成立”為條件,推出“當n=k+1時命題也成立”只要完成這兩個步驟,就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.這種證明方法叫做數(shù)學歸納法.二、典例解析例1.用數(shù)學歸納法證明：如果{an}是一個公差為d

an=a1+對任何n∈N分析：因為等差數(shù)列的通項公式涉及全體正整數(shù)，所以用數(shù)學歸納法證明的第一步應證明n=1時命題成立。第二步要明確證明目標，即要證明一個新命題：如果n=k時,①式正確的，那么n=k+1時①式也是正確的.證明：（1）當n=k時，左邊=a1

，右邊=a1+0×d=（2）假設當n=k(k∈N*)時，

ak=a1根據(jù)等差數(shù)列的定義，有

ak+1-a于是ak+1=a=a=a1

=a1

即當n=k+1時，①式也成立由（1）（2）可知，①式對任何n∈N用數(shù)學歸納法證明恒等式時,應關注以下三點:(1)弄清n取第一個值n0時等式兩端項的情況;(2)弄清從n=k到n=k+1等式兩端增加了哪些項,減少了哪些項;(3)證明n=k+1時結論也成立,要設法將待證式與歸納假設建立聯(lián)系,并朝n=k+1證明目標的表達式變形.跟蹤訓練1求證:1-12+13-14+…+1證明:①當n=1時,左邊=1-12=1②假設n=k(k∈N*)時,1-12+13-那么當n=k+1時,1-12+13=1k+2+1k+3+…+=1(k+1)+1+綜上所述,對于任何n∈N*,等式都成立.例2已知數(shù)列11×4,14×7,17×10,…,1(3n-計算結果,猜想Sn的表達式,并用數(shù)學歸納法進行證明.解:S1=11×4S2=14S3=27S4=310可以看出,上面表示四個結果的分數(shù)中,分子與項數(shù)n一致,分母可用項數(shù)n表示為3n+1.于是可以猜想Sn=n3n+1下面我們用數(shù)學歸納法證明這個猜想.(1)當n=1時,左邊=S1=14右邊=n3n+1猜想成立.(2)假設當n=k(k∈N*)時猜想成立,即11×4+14×7+17×10+…+=3所以,當n=k+1時猜想也成立.根據(jù)(1)和(2),可知猜想對任何n∈N*都成立.(1)“歸納—猜想—證明”的一般環(huán)節(jié)(2)“歸納—猜想—證明”的主要題型①已知數(shù)列的遞推公式,求通項或前n項和.②由一些恒等式、不等式改編的一些探究性問題,求使命題成立的參數(shù)值是否存在.③給出一些簡單的命題(n=1,2,3,…),猜想并證明對任意正整數(shù)n都成立的一般性命題.跟蹤訓練2數(shù)列{an}滿足Sn=2n-an(Sn為數(shù)列{an}的前n項和),先計算數(shù)列的前4項,再猜想an,并證明.解:由a1=2-a1,得a1=1;由a1+a2=2×2-a2,得a2=32由a1+a2+a3=2×3-a3,得a3=74由a1+a2+a3+a4=2×4-a4,得a4=158猜想an=2n下面證明猜想正確:(1)當n=1時,由上面的計算可知猜想成立.(2)假設當n=k時猜想成立,則有ak=2k當n=k+1時,Sk+ak+1=2(k+1)-ak+1,∴ak+1=12[2(k+1)-Sk=k+1-12所以,當n=k+1時,等式也成立.由(1)和(2)可知,an=2n通等差數(shù)列通項公式的獲得，引出問題。發(fā)展學生數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。類比多米諾骨牌，經(jīng)歷觀察、分析、比較、抽象出數(shù)學歸納法的原理。發(fā)展學生數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。通過典型例題，幫助學生掌握數(shù)學歸納法在證明關于正整數(shù)有關的命題。發(fā)展學生數(shù)學抽象、數(shù)學運算、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。三、達標檢測1.用數(shù)學歸納法證明1+a+a2+…+an+1=1-an+21-a(a≠1,n∈N*),在驗證n=1A.1 B.1+aC.1+a+a2 D.1+a+a2+a3解析:當n=1時,左邊=1+a+a1+1=1+a+a2,故C正確.答案:C2.用數(shù)學歸納法證明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)時,從“n=k”到“n=k+1”,左邊需增添的代數(shù)式是()A.(2k+1)+(2k+2) B.(2k-1)+(2k+1)C.(2k+2)+(2k+3) D.(2k+2)+(2k+4)解析:當n=k時,左邊是共有2k+1個連續(xù)自然數(shù)相加,即1+2+3+…+(2k+1),所以當n=k+1時,左邊共有2k+3個連續(xù)自然數(shù)相加,即1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3).所以左邊需增添的代數(shù)式是(2k+2)+(2k+3).故選C.答案:C3.已知f(n)=1+12+13+…+1nf(2)=32,f(4)>2,f(8)>52,f(16)>3,f(32)>72答案:f(2n)>n+24.用數(shù)學歸納法證明:122+132+…+解析:從不等式結構看,左邊n=k+1時,最后一項為1(k+2)2,前面的分母的底數(shù)是連續(xù)的整數(shù),右邊n=k+1時,式子為12答案:1225.用數(shù)學歸納法證明:當n≥2,n∈N*時,1-141-19證明:(1)當n=2時,左邊=1-14=34,右邊=(2)假設當n=k(k≥2,k∈N*)時等式成立,即(1-14)(1-19)(1-116)…(1-1那么當n=k+1時,(1-14)(1-19)(1-116)…(1-1=k+12k·[1-1(k+1∴當n=k+1時,等式也成立.根據(jù)(1)和(2)知,對任意n≥2,n∈N*,等式都成立.通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。四、小結通過總結，讓學生進一步鞏固本節(jié)所學內(nèi)容，提高概括能力。【教學反思】由于教師不僅是知識的傳授者，而且也是學生學習的引導者、組織者和合作者。所以我采用“問題情景---建立模型---求解---解釋---應用”的教學模式，啟發(fā)引導學生通過對問題的親身動手探求、體驗，獲得不僅是知識，更重要的是掌握了在今后的發(fā)展中用這種手段去獲取更多的知識的方法。這是“教師教給學生尋找水的方法或給學生一杯水，使學生能找到一桶水乃至更多活水”的求知方式。多媒體可以使教學內(nèi)容生動、形象、鮮明地得到展示?！?.4數(shù)學歸納法》導學案【學習目標】1.了解數(shù)學歸納法的原理.2.能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題.【重點和難點】重點：用數(shù)學歸納法證明數(shù)學命題難點：數(shù)學歸納法的原理.【知識梳理】數(shù)學歸納法的定義一般地,證明一個與正整數(shù)n有關的命題,可按下列步驟進行:歸納奠基→證明當n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立歸納遞推→以當“n=k(k≥n0,k∈N*)時命題成立”為條件,推出“當n=k+1時命題也成立”只要完成這兩個步驟,就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.這種證明方法叫做數(shù)學歸納法.【學習過程】一、新知探究在數(shù)列的學習過程中，我們已經(jīng)用歸納的方法得出了一些結論，例如等差數(shù)列{an}的通項公式an=a1+n-1d探究1.已知數(shù)列{an}滿足，a1=1,an+1=計算a2，a3，a問題1：多米諾骨牌都倒下的關鍵點是什么？我們先從多米諾骨牌游戲說起，碼放骨牌時，要保證任意相鄰的兩塊骨牌，若前一塊骨牌倒下，則一定導致后一塊骨牌倒下。這樣，只要推到第1塊骨牌，就可導致第2塊骨牌倒下；而第2塊骨牌倒下，就可導致第3塊骨牌倒下；……，總之，不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。問題1：多米諾骨牌都倒下的關鍵點是什么？問題2：你認為條件（2）的作用是什么？如何用數(shù)學語言來描述它？探究2.你認為證明前面的猜想“數(shù)列的通項公式是an=1(n∈二、典例解析例1.用數(shù)學歸納法證明：如果{an}是一個公差為d

an=a1+對任何n∈N用數(shù)學歸納法證明恒等式時,應關注以下三點:(1)弄清n取第一個值n0時等式兩端項的情況;(2)弄清從n=k到n=k+1等式兩端增加了哪些項,減少了哪些項;(3)證明n=k+1時結論也成立,要設法將待證式與歸納假設建立聯(lián)系,并朝n=k+1證明目標的表達式變形.跟蹤訓練1求證:1-12+13-14+…+1例2已知數(shù)列11×4,14×7,17×10,…,1(3n-計算結果,猜想Sn的表達式,并用數(shù)學歸納法進行證明.(1)“歸納—猜想—證明”的一般環(huán)節(jié)(2)“歸納—猜想—證明”的主要題型①已知數(shù)列的遞推公式,求通項或前n項和.②由一些恒等式、不等式改編的一些探究性問題,求使命題成立的參數(shù)值是否存在.③給出一些簡單的命題(n=1,2,3,…),猜想并證明對任意正整數(shù)n都成立的一般性命題.跟蹤訓練2數(shù)列{an}滿足Sn=2n-an(Sn為數(shù)列{an}的前n項和),先計算數(shù)列的前4項,再猜想an,并證明.【達標檢測】1.用數(shù)學歸納法證明1+a+a2+…+an+1=1-an+21-a(a≠1,n∈N*),在驗證n=1A.1 B.1+aC.1+a+a2 D.1+a+a2+a32.用數(shù)學歸納法證明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)時,從“n=k”到“n=k+1”,左邊需增添的代數(shù)式是()A.(2k+1)+(2k+2) B.(2k-1)+(2k+1)C.(2k+2)+(2k+3) D.(2k+2)+(2k+4)3.已知f(n)=1+12+13+…+1n(n∈N*),計算得f(2)=32,f(4)>2,f(8)>4.用數(shù)學歸納法證明:122+132+…+5.用數(shù)學歸納法證明:當n≥2,n∈N*時,1-141-19【課堂小結】【參考答案】知識梳理學習過程一、新知探究探究1.分析：計算可得a2=1

，a3=1

，a4=1

，再結合a1=1

，由此猜想：思路1.我們可以從開始一個個往下驗證。一般來說，與正整數(shù)n有關的命題，當比較小時可以逐個驗證，但n當較大時，驗證起來會很麻煩。特別當n取所有正整數(shù)都成立的命題時，逐一驗證是不可能的。因此，我們需要另辟蹊徑，尋求一種方法。問題2：可以看出，條件（2）給出一個遞推根據(jù)（關系），當?shù)趉塊倒下，相鄰的第k+1塊也倒下。探究2.（1）第一塊骨牌倒下；（2）若第K塊骨牌倒下時，則使相鄰的第K+1塊骨牌也倒下根據(jù)（1）和（2），可知不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。（1）當n=1時猜想成立；a1（2）若n=k時猜想成立,即ak=1則當n=k+1時,ak+1=12-ak根據(jù)（1）和（2），可知對任意的正整數(shù)n，猜想都成立.所以對于任意正整數(shù)n，猜想都成立，即數(shù)列{an}的通項公式是an二、典例解析例1.分析：因為等差數(shù)列的通項公式涉及全體正整數(shù)，所以用數(shù)學歸納法證明的第一步應證明n=1時命題成立。第二步要明確證明目標，即要證明一個新命題：如果n=k時,①式正確的，那么n=k+1時①式也是正確的.證明：（1）當n=k時，左邊=a1

，右邊=a1+0×d=（2）假設當n=k(k∈N*)時，

ak=a1根據(jù)等差數(shù)列的定義，有

ak+1-a于是ak+1=a=a=a1

=a1

即當n=k+1時，①式也成立由（1）（2）可知，①式對任何n∈N跟蹤訓練1證明:①當n=1時,左邊=1-12=1②假設n=k(k∈N*)時,1-12+13-那么當n=k+1時,1-12+13=1k+2+1k+3+…+=1(k+1)+1+綜上所述,對于任何n∈N*,等式都成立.例2解:S1=11×4S2=14S3=27S4=310可以看出,上面表示四個結果的分數(shù)中,分子與項數(shù)n一致,分母可用項數(shù)n表示為3n+1.于是可以猜想Sn=n3n+1下面我們用數(shù)學歸納法證明這個猜想.(1)當n=1時,左邊=S1=14右邊=n3n+1猜想成立.(2)假設當n=k(k∈N*)時猜想成立,即11×4+14×7+17×10+…+1所以,當n=k+1時猜想也成立.根據(jù)(1)和(2),可知猜想對任何n∈N*都成立.跟蹤訓練2解:由a1=2-a1,得a1=1;由a1+a2=2×2-a2,得a2=32由a1+a2+a3=2×3-a3,得a3=74由a1+a2+a3+a4=2×4-a4,得a4=158猜想an=2n下面證明猜想正確:(1)當n=1時,由上面的計算可知猜想成立.(2)假設當n=k時猜想成立,則有ak=2k當n=k+1時,Sk+ak+1=2(k+1)-ak+1,∴ak+1=12[2(k+1)-Sk=k+1-12所以,當n=k+1時,等式也成立.由(1)和(2)可知,an=2n達標檢測1.解析:當n=1時,左邊=1+a+a1+1=1+a+a2,故C正確.答案:C2.解析:當n=k時,左邊是共有2k+1個連續(xù)自然數(shù)相加,即1+2+3+…+(2k+1),所以當n=k+1時,左邊共有2k+3個連續(xù)自然數(shù)相加,即1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3).所以左邊需增添的代數(shù)式是(2k+2)+(2k+3).故選C.答案:C3．答案:f(2n)>n4.解析:從不等式結構看,左邊n=k+1時,最后一項為1(k+2)2,前面的分母的底數(shù)是連續(xù)的整數(shù),右邊n=k+1時,式子為1答案:1225.證明:(1)當n=2時,左邊=1-14=34,右邊=(2)假設當n=k(k≥2,k∈N*)時等式成立,即(1-14)(1-19)(1-116)…(1-1那么當n=k+1時,(1-14)(1-19)(1-116)…(1-1=k+12k·[1-1∴當n=k+1時,等式也成立.根據(jù)(1)和(2)知,對任意n≥2,n∈N*,等式都成立.《4.4數(shù)學歸納法》基礎同步練習一、選擇題1．用數(shù)學歸納法證明時，第一步應驗證的不等式是（）A．B．C．D．2．用數(shù)學歸納法證明等式（n∈N*）的過程中，第二步假設n=k時等式成立，則當n=k+1時應得到（）A．B．C．D．3．用數(shù)學歸納法證明不等式時，以下說法正確的是（）A．第一步應該驗證當時不等式成立B．從“到”左邊需要增加的代數(shù)式是C．從“到”左邊需要增加項D．以上說法都不對4．用數(shù)學歸納法證明“能被整除”的過程中，時，為了使用假設，應將變形為（）A．B．C．D．5．用數(shù)學歸納法證明不等式：，從到，不等式左邊需要（）A．增加一項B．增加兩項、C．增加，且減少一項D．增加、，且減少一項6．（多選題）用數(shù)學歸納法證明對任意的自然數(shù)都成立，則以下滿足條件的的值為（）A．B．C．D．二、填空題7．用數(shù)學歸納法證明命題“1++…+(n∈N+，且n≥2)”時，第一步要證明的結論是________.8．用數(shù)學歸納法證明關于的恒等式，當時，表達式為，則當時，表達式為_______.9．用數(shù)學歸納法證明能被整除時，從到添加的項數(shù)共有__________項（填多少項即可）．10．已知，用數(shù)學歸納法證明時，_________．三、解答題11．在數(shù)列中，（1）求出并猜想的通項公式；（2）用數(shù)學歸納方證明你的猜想.12．觀察下列等式：．．．．．．按照以上式子的規(guī)律：（1）寫出第5個等式，并猜想第個等式；（2）用數(shù)學歸納法證明上述所猜想的第個等式成立．《4.4數(shù)學歸納法》答案解析一、選擇題1．用數(shù)學歸納法證明時，第一步應驗證的不等式是（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】∵，，∴所取的第一個正整數(shù)為2，又，故第一步應驗證．故選：B2．用數(shù)學歸納法證明等式（n∈N*）的過程中，第二步假設n=k時等式成立，則當n=k+1時應得到（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由數(shù)學歸納法知第二步假設n=k時等式成立，則當n=k+1時應得到3．用數(shù)學歸納法證明不等式時，以下說法正確的是（）A．第一步應該驗證當時不等式成立B．從“到”左邊需要增加的代數(shù)式是C．從“到”左邊需要增加項D．以上說法都不對【答案】D【詳解】第一步應該驗證當時不等式成立,所以不正確；因為，所以從“到”左邊需要增加的代數(shù)式是，所以不正確；所以從“到”左邊需要增加項，所以不正確。故選：D4．用數(shù)學歸納法證明“能被整除”的過程中，時，為了使用假設，應將變形為（）A．B．C．D．【答案】A【詳解】解：假設當時，命題成立，即能被3整除，則當時，．故選：A.5．用數(shù)學歸納法證明不等式：，從到，不等式左邊需要（）A．增加一項B．增加兩項、C．增加，且減少一項D．增加、，且減少一項【答案】D【詳解】由數(shù)學歸納法知：若時，不等式成立，則有：成立，那么時，有：，∴，綜上知：不等式左邊需要增加、，且減少一項,故選：D6．（多選題）用數(shù)學歸納法證明對任意的自然數(shù)都成立，則以下滿足條件的的值為（）A．B．C．D．【答案】CD【詳解】取，則，不成立；取，則，不成立；取，則，成立；取，則，成立；下證：當時，成立.當，則，成立；設當時，有成立，則當時，有，令，則，因為，故，因為，所以，所以當時，不等式也成立，由數(shù)學歸納法可知，對任意的都成立.故選：CD.二、填空題7．用數(shù)學歸納法證明命題“1++…+(n∈N+，且n≥2)”時，第一步要證明的結論是________.【答案】【詳解】因為n≥2，所以第一步要證的是當n=2時結論成立，即1+.8．用數(shù)學歸納法證明關于的恒等式，當時，表達式為，則當時，表達式為_______.【答案】【詳解】當時，表達式左側為：，表達式右側為：，則當時，表達式為.9．用數(shù)學歸納法證明能被整除時，從到添加的項數(shù)共有__________________項（填多少項即可）．【答案】5【詳解】當時，原式為：，當時，原式為，比較后可知多了，共5項.10．已知，用數(shù)學歸納法證明時，_________．【答案】【詳解】因為當時，，當時，，所以三、解答題11．在數(shù)列中，（1）求出并猜想的通項公式；（2）用數(shù)學歸納方證明你的猜想.【詳解】解：(1)∵，∴因此可猜想:；(2)當時，，等式成立，假設時，等式成立，即，則當時，，即當時，等式也成立，綜上所述，對任意自然數(shù)，.12．觀察下列等式：．．．．．．按照以上式子的規(guī)律：（1）寫出第5個等式，并猜想第個等式；（2）用數(shù)學歸納法證明上述所猜想的第個等式成立．【詳解】解析（1）第5個等式為．第個等式為，．（2）證明：①當時，等式左邊，等式右邊，所以等式成立．②假設時，命題成立，即，則當時，，即時等式成立．根據(jù)①和②，可知對任意等式都成立．《4.4數(shù)學歸納法》提高同步練習一、選擇題1．用數(shù)學歸納法證明“對于的正整數(shù)成立”時，第一步證明中的起始值應?。ǎ〢．B．C．D．2．用數(shù)學歸納法證明等式，時，由到時，等式左邊應添加的項是（）A．B．C．D．3．已知，則（）A．中共有項，當n=2時，B．中共有項，當n=2時，C．中共有項，當n=2時，D．中共有項，當n=2時，4．平面內(nèi)有個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，且每三個圓都無公共點，用表示這個圓把平面分割的區(qū)域數(shù)，那么與之間的關系為（）A．B．C．D．5．用數(shù)學歸納法證明：的過程中，從到時，比共增加了（）A．1項B．項C．項D．項6.（多選題）數(shù)列滿足，，則以下說法正確的為（）A.；B.；C.對任意正數(shù)，都存在正整數(shù)使得成立；D..二、填空題7．用數(shù)學歸納法證明時，第一步應驗證的等式是________．8．凸邊形內(nèi)角和為，則凸邊形的內(nèi)角為______.9．用數(shù)學歸納法證明：，從到，等式左邊需增加的代數(shù)式為________10．已知為正偶數(shù)，用數(shù)學歸納法證明時，若已假設（為偶數(shù)）時命題為真，則還需要用歸納假設再證____________時等式成立.三、解答題11．漢諾塔問題是源于印度一個古老傳說的益智游戲.這個游戲的目的是將圖（1）中按照直徑從小到大依次擺放在①號塔座上的盤子，移動到③號塔座上，在移動的過程中要求：每次只可以移動一個盤子，并且保證任何一個盤子都不可以放在比自己小的盤子上.記將n個直徑不同的盤子從①號塔座移動到③號塔座所需要的最少次數(shù)為an.（1）試寫出a1，a2，a3，a4值，并猜想出an；（無需給出證明）（2）著名的畢達哥拉斯學派提出了形數(shù)的概念.他們利用小石子擺放出了圖（2）的形狀，此時小石子的數(shù)目分別為1，4，9，16，由于小石子圍成的圖形類似正方形，于是稱bn＝n2這樣的數(shù)為正方形數(shù).當n≥2時，試比較an與bn的大小，并用數(shù)學歸納法加以證明.12．設數(shù)列的前項和為，且對任意的正整數(shù)都滿足．（1）求，，的值，猜想的表達式；（2）用數(shù)學歸納法證明（1）中猜想的的表達式的正確性．《4.4數(shù)學歸納法》答案解析一、選擇題1．用數(shù)學歸納法證明“對于的正整數(shù)成立”時，第一步證明中的起始值應?。ǎ〢．B．C．D．【答案】D【詳解】根據(jù)數(shù)學歸納法的步驟，首先要驗證當取第一個值時命題成立，結合本題，當時，左邊，右邊，不成立；當時，左邊，右邊，不成立；當時，左邊，右邊，不成立；當時，左邊，右邊，不成立；當時，左邊，右邊，成立.因此當時，命題成立．所以第一步證明中的起始值應取．故選：D．2．用數(shù)學歸納法證明等式，時，由到時，等式左邊應添加的項是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為要證明等式的左邊是連續(xù)正整數(shù)，所以當由到時，等式左邊增加了，故選C.3．已知，則（）A．中共有項，當n=2時，B．中共有項，當n=2時，C．中共有項，當n=2時，D．中共有項，當n=2時，【答案】C【詳解】中共有項，當n=2時，.4．平面內(nèi)有個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，且每三個圓都無公共點，用表示這個圓把平面分割的區(qū)域數(shù)，那么與之間的關系為（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】依題意得，由個圓增加到個圓，增加了個交點，這個交點將新增的圓分成段弧，而每一段弧都將原來的一塊區(qū)域分成了2塊，故增加了塊區(qū)域，因此．5．用數(shù)學歸納法證明：的過程中，從到時，比共增加了（）A．1項B．項C．項D．項【答案】D【詳解】由題意，時，最后