專題05誘導公式（6種題型）（原卷版）

專題05誘導公式（6種題型）思維導圖核心考點聚焦題型一：給角求值問題題型二：給值(式)求值問題題型三：利用誘導公式化簡問題題型四：利用誘導公式化簡求值題型五：利用誘導公式證明恒等式題型六：誘導公式的綜合應用（），，，這些角都與角有特殊的關系.已知角的正弦、余弦、正切及余切值，能夠快速求出上述這些角的正弦、余弦、正切及余切值？這就是誘導公式要解決的問題.由于角（）的終邊與角的終邊重合，因此由定義有如下誘導公式：，，，（）.由這組誘導公式，求任意角的正弦、余弦、正切及余切值可以轉化為求范圍內(nèi)一個角的相應值.角的終邊與角的終邊關于周對稱，角的終邊與單位圓交于點，而角的終邊與單位圓交于點.由于點與點關于軸對稱，其橫坐標相等，而縱坐標互為相反數(shù)，因此有如下誘導公式：，，，.由這組誘導公式，求負角的正弦、余弦、正切及余切值可以轉化為求正角的相應值.將角的終邊繞著原點按逆時針方向旋轉弧度，得到角的終邊，這說明角和角的終邊在同一條直線上，但方向相反.角的終邊與單位圓交于點.由于點與點關于原點對稱，其橫坐標和縱坐標都互為相反數(shù)，因此有如下誘導公式：，，，.由這組誘導公式，求范圍內(nèi)的角的正弦、余弦、正切及余切值可以轉化到范圍內(nèi)一個角的相應值.角的終邊與角的終邊關于軸對稱，角的終邊與單位圓交于點，而角的終邊與單位圓交于點.由于點與點關于軸對稱，其橫坐標互為相反數(shù)，而縱坐標互相等，因此有如下誘導公式：，，，.由這組誘導公式，求范圍內(nèi)的角的正弦、余弦、正切及余切值可以轉化到范圍內(nèi)一個角的相應值.以上四組誘導公式說明，（），，的正弦、余弦、正切及余切值的絕對值等于角的相應量的絕對值【名稱不變】，但這兩個值之間可能差一個正負號.由于誘導公式較多，記憶其中的正負號并不容易，但有一個簡單的方法可以加以判斷，即：當為銳角時，等式兩邊必須同正或同負.例如，的絕對值應該與的絕對值相等，即成立.但當為銳角時，是第二象限的角【符號看象限】，這時，而，所以前式中應該取負號，即有.角的終邊與角關于直線對稱，角的終邊與單位圓交于點，而角的終邊與單位圓交于點.由于點與點關于直線對稱，則點的橫坐標與點的縱坐標相等，而點的縱坐標與點的橫坐標相等，因此有如下誘導公式：，，，.在以上公式中將用代換，就有.同理，有如下誘導公式：，，，.上述兩組誘導公式說明正弦和余弦可以相互轉化，正切和余切也可以相互轉化.以上兩組誘導公式說明角的正（余）弦、正（余）切值的絕對值，必等于角的余（正）弦、余（正）切值的絕對值【名稱改變】，但這兩者可能差一個正負號.這個正負號的確定方法是：當角為銳角時，等式兩邊必須同正或同負.例如，的絕對值應該同的絕對值相等，即成立.但當為銳角時，是第二象限的角【符號看象限】，這時，而，所以前式中應該取負號，即有.奇變偶不變，符號看象限.例如，及都是的奇數(shù)倍，如果等式左邊是，的正弦、余弦、正切、余切之一，那么等式右邊相應的必定是的余弦、正弦、余切、正切，這就是“奇變”；而（）、、都是的偶數(shù)倍，等式兩邊的正弦、余弦、正切及余切的名稱就應該相同，這就是“偶不變”.等式右邊角正弦、余弦、正切及余切前的符號可以將視為銳角（實際上此時可以為任意角），由等式左邊的角所在的象限的正弦、余弦、正切及余切值的符號來確定，即“符號看象限”.題型一：給角求值問題【例1】求下列各三角函數(shù)值：(1)sin1320°；(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6)))；(3)tan(－945°)．【變式】計算：(1)coseq\f(π,5)＋coseq\f(2π,5)＋coseq\f(3π,5)＋coseq\f(4π,5)；(2)tan10°＋tan170°＋sin1866°－sin(－606°)．題型二：給值(式)求值問題【例2】(1)已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，則sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于()A.eq\f(m2－1,2) B.eq\f(m2＋1,2)C.eq\f(1－m2,2) D．－eq\f(m2＋1,2)(2)已知cos(α－75°)＝－eq\f(1,3)，且α為第四象限角，求sin(105°＋α)的值．題型三：利用誘導公式化簡問題【例3】設k為整數(shù)，化簡：eq\f(sinkπ－αcos[k－1π－α],sin[k＋1π＋α]coskπ＋α).【變式】．化簡：(1)eq\f(tan2π－αsin－2π－αcos6π－α,cosα－πsin5π－α)；(2)eq\f(sin1440°＋α·cos1080°－α,cos－180°－α·sin－α－180°).題型四：利用誘導公式化簡求值【例4】(1)已知cos31°＝m，則sin239°tan149°的值是()A.eq\f(1－m2,m) B.eq\r(1－m2)C．－eq\f(1－m2,m) D．－eq\r(1－m2)(2)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,2)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))的值為________．題型五：利用誘導公式證明恒等式【例5】(1)求證：eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝eq\f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3π,2)))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,2)))－1,1－2sin2π＋θ).(2)求證：eq\f(cos6π＋θsin－2π－θtan2π－θ,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ)))＝－tanθ.【變式】．求證：eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋x)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5π,2)))tan6π－x)＝－1.題型六：誘導公式的綜合應用【例6】已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(3,2)π))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))·tan2(π－α)的值．【變式】．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)－α))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,2)－α))＝eq\f(60,169)，且eq\f(π,4)＜α＜eq\f(π,2)，求sinα與cosα的值．一、填空題1、化簡：________2、化簡=3、計算__________________4、已知，則的值為5、已知，且是第二象限角，則的值等于_______6、計算：sin585°cos1290°＋cos(－30°)sin210°＋tan135°=7、若，則__________8、若，則9、化簡：___________.10、已知角α終邊上一點P(－4，3)，則eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sin－π－α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,2)＋α)))的值為____________．11、若＝，則的值是________．12．已知cosα＝eq\f(1,5)，且α為第四象限角，那么coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝________.二、選擇題13、已知，則（）A．0 B．m C．m D．不確定14、已知，化簡：（）A．B．C． D．隨k的變化而變化15、已知，則的值是 ()A.B. C.D.16、化簡，得（）A．1B． C．D．三、解答題17、已知，（1）求的值；（2）求：的值；18.如圖，已知點的坐標為，將繞坐標原點逆時針旋轉至.求點的坐標.19、已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，且α為第三象限角，求：eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3π,2)))·sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))·tan22π－α·tanπ－α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))·cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))的值20、已知α是第三象限角，且f(