微積分 第七版 課件 4.6 不定積分第二換元法則

1第六節(jié)

不定積分第二換元法則本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)010203了解第一換元法則與第二換元法則的區(qū)別理解不定積分第二換元法則能熟練進(jìn)行不定積分第二換元法則計(jì)算一、不定積分第二換元法則∫f(φ(t))φ'(t)dt=F(φ(t))+c根據(jù)§4.4不定積分第一換元積分法則,如果對(duì)于自變量x,有不定積分∫f(x)dx=F(x)+c則對(duì)于中間變量x=φ(t),也同樣有不定積分∫f(x)dx=F(x)+c即有31.不定積分第二換元法則引入是否還成立?現(xiàn)在提出相反的問(wèn)題:如果對(duì)于自變量t,有不定積分∫f(φ(t))φ'(t)dt=F(φ(t))+c那么對(duì)于自變量x,問(wèn)不定積分∫f(x)dx=F(x)+c4不定積分第二換元積分法則給出了肯定的回答.2.不定積分第二換元法則∫f(x)dx=F(x)+c不定積分第二換元積分法則內(nèi)容已知函數(shù)f(x)連續(xù),對(duì)不定積分∫f(x)dx作變量代換x=φ(t),函數(shù)x=φ(t)單調(diào)可導(dǎo),且一階導(dǎo)數(shù)φ'(t)連續(xù),如果對(duì)于自變量t,有不定積分∫f(φ(t))φ'(t)dt=F(φ(t))+c則對(duì)于自變量x,有不定積分5不定積分第二換元法則證明dx=φ'(t)dt證:由于函數(shù)x=φ(t)單調(diào),因而它存在反函數(shù)t=φ-1(x);又由于函數(shù)x=φ(t)可導(dǎo),當(dāng)然可微,根據(jù)§2.7函數(shù)微分表達(dá)式,于是微分dx=φ'(t)dt根據(jù)§2.7定理2.4關(guān)于微分形式不變性的結(jié)論,當(dāng)變量t不是自變量而是中間變量,即變量t為自變量x的函數(shù)t=φ-1(x)時(shí),同樣有微分6f(φ(t))φ'(t)dt=dF(φ(t))對(duì)于已知不定積分∫f(φ(t))φ'(t)dt=F(φ(t))+c等號(hào)兩端皆取微分,根據(jù)§4.1定理4.2,得到關(guān)系式f(φ(t))φ'(t)dt=dF(φ(t))根據(jù)§2.7定理2.4關(guān)于微分形式不變性的結(jié)論,當(dāng)變量t不是自變量而是中間變量,即變量t為自變量x的函數(shù)t=φ-1(x)時(shí),同樣有關(guān)系式7∫f(x)dx=F(x)+c注意到函數(shù)t=φ-1(x)與x=φ(t)互為反函數(shù),它們是等價(jià)的,又微分dx=φ'(t)dt,于是得到關(guān)系式f(x)dx=dF(x)等號(hào)兩端皆取不定積分,根據(jù)§4.1定理4.3,所以對(duì)于自變量x,有不定積分8不定積分第二換元法則說(shuō)明：

對(duì)不定積分∫f(x)dx可以通過(guò)作變量代換x=φ(t)達(dá)到求解的目的.關(guān)鍵在于:變量代換x=φ(t)表達(dá)式的選擇要使得新積分變量為變量t的不定積分很容易求得結(jié)果.

9將原積分變量為自變量x的不定積分化為新積分變量為變量t的不定積分則可以令變量

即作變量代換

10例1

=2(t-ln|t+1|)+c11例2

=2ln|t+1|+c

12例3

=2arctant+c13例4

14例5

=3ln(t2+1)+c