2018年高考數(shù)學(xué)全國(guó)1卷第12題出處及變式

1.208全國(guó)1卷理科第12題——對(duì)正方體結(jié)構(gòu)的認(rèn)知和運(yùn)用+截面面積計(jì)算1（2018全國(guó)1卷理科第12題）已知正方體的棱長(zhǎng)為1每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為（ ）A．334

B．233

C．324

D．32【解析】注意到正方體12條棱分為三組平行的棱，則只需與共頂點(diǎn)的三條棱所成角相等即可，注意到正方體的結(jié)構(gòu)，則平面應(yīng)為圖1中所示，所以只需由圖中平面平移即可。最大面積截面如圖2所示，，故本題正確答案為A。變式（1994全國(guó)聯(lián)賽填空題第5題已知一平面與一正方體的12條棱的夾角都等于，則sn= 【解析】如上圖1，頂點(diǎn)到平面ABC的距離為體對(duì)角線的1，則sin3

3a3 3.a 3變式：（2004湖南數(shù)學(xué)競(jìng)賽第8題）過(guò)正方體ABCD111的對(duì)角線B1的截面面積為S，則Smax的值為（ ）Smin3 6 23 26A. B. C. D.2 2 3 3【解析】如圖，因?yàn)檎襟w對(duì)面平行，所以截面BE1F為平行四邊形，則11S2SBED1

22

B1h此時(shí)E到B1的最小值為C1與B1的距離即當(dāng)E為中點(diǎn)時(shí)，h

2a（a為正方體棱長(zhǎng)，S

21

a

2a

6a2又因?yàn)镾 為min 2

min 2 2 2

max四邊形B11F的面積，選C.變式（2005全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第4題在正方體D'B'C'D'中任作平面與對(duì)角線C'垂直，使得與每個(gè)面都有公共點(diǎn)，記這樣得到的截面多邊形的面積為S，周長(zhǎng)為l，則（）A.S為定值，l不為定值 B.S不為定值，l為定值C.S與l均為定值 D.S與l均不為定值【解析】選B，將正方體切去兩個(gè)正三棱錐A'BD與CD'B'C后,得到一個(gè)以平行平面'BD與D'B'C為上下底面的幾何體V,V的每個(gè)側(cè)面都是等腰直角三角形截面多邊形W的每一條邊分別與V的底面上的一條邊平行,將V的側(cè)面沿棱'B'剪開(kāi),展平在一張平面上,得到一個(gè)平行四邊形'B'11,如圖而多邊形W的周界展開(kāi)后便成為一條與'1平行的線段(如圖中E'1,顯然E'1'A,故l為定值.當(dāng)E位于'B'中點(diǎn)時(shí),多邊形W為正六邊形,而當(dāng)E'移至A處時(shí),W為正三角形易知周長(zhǎng)為定值l的正六邊形與正三角形面積分別為

3l2與24

3l2,故S不為定值.36變式4：在長(zhǎng)方體ABCD1111中，ABAD,A12，過(guò)點(diǎn)1作平面與1AB,AD分別交于M,N兩點(diǎn)，若AA與平面所成角為450，則截面面積的最小值 ．1解析：過(guò)A作N的垂線，垂足為T(mén)，第一步：尋找T的軌跡：T的軌跡是平面D內(nèi)，以A為圓心，2為半徑的圓法一（直觀感知作出線面角并證明連接T因?yàn)锳1MN所以N平面AT，0過(guò)A作T的垂線垂足為Q易證AQ平面1MN所以AT450

則AT2。1法二（運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)探求軌跡問(wèn)題作一個(gè)以AA為軸母線與對(duì)稱(chēng)軸所成角為450的1圓錐，過(guò)任意一條母線作圓錐的切面1MN，與平面D的交線為N，則AT2。第二步：求最值法一（注意運(yùn)動(dòng)中的不變性因?yàn)門(mén)2

2為定值且TMN則要求截面面積的最小值，只需求N 的最小值，

AT2MTNT4

，所以MNMTTN2TT。

MTTN

4則S

MN

1422

24

2等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)1法二：（利用二面角實(shí)現(xiàn)面積的轉(zhuǎn)化）切面AMN與平面D所成角為450，由射影面1積法知cos450

SAMN1SAMN1

所以S

MN

2SAMN

21MNAT2111

2MN4211法三（等體積法實(shí)現(xiàn)面積的轉(zhuǎn)化由VA1

AMN

VA

AMN得

SAMN3

A1

3SMN

d，1因?yàn)榫€面角為450，所以dAA1

sin450，所以S

MN

2S

AMN

，同上。法四：（類(lèi)比勾股定理）設(shè)切點(diǎn)Tx0,y0，則切線N方程為x0xy0y4，則求得4

4M ,0,M,

類(lèi)比直角三角的勾股定理猜想截面的平方等于三角直角面的平方x0

y0

64 16 16

64

16x2y2

128和，從而把截面面積的平方化為

x2y2

x2 y2

x2y2

0 0x2y2

x2y200 0 0 00 00 002 2因?yàn)閤0y0

42x0y0，即0x0y02，128所以面積平方的最小值為 32，面積是最小為424變式已知正四面體D的棱長(zhǎng)為2

6四個(gè)頂點(diǎn)都在球心為O的球面上P為棱BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作求O的截面，則截面面積的最小值為 【解析當(dāng)截面與PO垂直時(shí)面積最小設(shè)截面半徑為

OA2OP2

PA

6答案為變式6棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD1111中，E為棱AD的中點(diǎn)，過(guò)1點(diǎn)，且與平面1BE平行的正方體截面的面積為（ ）A.5 B.25

C.26

D.6【分析對(duì)正方體結(jié)構(gòu)和截面的認(rèn)知根據(jù)平行作圖得到一個(gè)菱形對(duì)角線分別為面對(duì)角線和體對(duì)角線，選C.變式在一個(gè)密封的容積為1的透明正方體容器內(nèi)裝有部分液體如果任意轉(zhuǎn)動(dòng)該正方體，液面的形狀都不可能是三角形，那么液體體積的取值范圍是 .解析：如圖，正方體ABC-EFH，此時(shí)若要使液面不為三角形，則液面必須高于平面EH，且低于平面AFC． 可以求出液體取值范圍為1,566【點(diǎn)評(píng)】在運(yùn)動(dòng)變化中，空間想象能力得到了很好的考查。拓展點(diǎn)M為正方體ABCD111的內(nèi)切球O球面上的動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)N為1上一點(diǎn)，2N1N1,MBN若球O的