簡明工程力學(xué) 課件 第5章 扭轉(zhuǎn)

工程力學(xué)

第五章扭轉(zhuǎn)（torsion）§5.1扭轉(zhuǎn)的實(shí)例和概念主動(dòng)力偶阻抗力偶1、實(shí)例鑰匙，傳動(dòng)軸，水龍頭，絲攻etc2、概念受力特點(diǎn)：桿兩端作用著。。。的力偶，且力偶作用面。。。

變形特點(diǎn)：桿任意兩個(gè)橫截面繞軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。主要發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的桿——軸Me主動(dòng)力偶阻抗力偶Me如何度量？等圓截面直軸MeMeABOmm

OBA

兩個(gè)角，有沒有關(guān)系？材力紅線：外力內(nèi)力應(yīng)力強(qiáng)度條件變形剛度條件§5.2外力偶矩的計(jì)算，扭矩和扭矩圖1、外力偶矩的計(jì)算工程實(shí)際中，Me通常未知，知道P和n，需要先確定三者關(guān)系。

如圖示，設(shè)軸的轉(zhuǎn)速n轉(zhuǎn)／分(r／min)，其中某一輪傳輸?shù)墓β蕿椋篜千瓦(kW

）實(shí)際作用于該輪的外力偶矩為Me

(N·m），則切記單位！

TMeMeT取右段為研究對(duì)象：內(nèi)力偶矩——扭矩T取左段為研究對(duì)象：問題：1-1截面上，扭矩的方向到底如何？從而引出。。。MeMe2、內(nèi)力——扭矩“T”torque怎么求？還記得嗎？扭矩的符號(hào)規(guī)定：按右手螺旋法則判斷。

右手的四指代表扭矩的旋轉(zhuǎn)方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向與截面的外法線方向相同，則扭矩規(guī)定為正值，反之為負(fù)值。T+T-設(shè)正法MeMeTTTT3、扭矩圖——反映各橫截面上扭矩變化規(guī)律，直觀！MBTI例5-1已知MA=1170N·mMB=MC=351N·m

MD=468N·m求作扭矩圖解1.計(jì)算各段扭矩

TI=－MB=－351N·mTⅡ=－MB

－MC=－351－351=－702N·mTⅢ=MD=468N·m2.作扭矩圖

T(N·m)351702468MADABCMBMCMDIⅡⅢMBMCTⅡMDTⅢ如果AD輪對(duì)調(diào)，結(jié)果有何差異？（m－軸單位長度內(nèi)的扭力偶矩）例5-2試分析圖示軸的扭矩解：1、求約束力2、截面法求扭矩§5.3薄壁筒1、實(shí)驗(yàn)介紹材質(zhì)，畫線，注意事項(xiàng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果扭轉(zhuǎn)（t<<r0）最簡單的扭轉(zhuǎn)問題dxdx變形規(guī)律①周線。。。，厚度。。。②母線。。。，squareschangeintodiamonds③Me小于Mp時(shí)，Me與

呈線性dx∵筒壁上每個(gè)矩形切應(yīng)變均為

，∴每個(gè)矩形受切應(yīng)力相同且均布；進(jìn)而整個(gè)橫截面上

數(shù)值相同，方向相同（切向?。邫M截面上無長度變化，∴無

，自然無

；

怎么求？2、純剪切

薄壁筒軸向、徑向、環(huán)向均無變形，∴用兩個(gè)橫截面，徑向截面，圓柱面切出一個(gè)小單元體如圖示：xydydzzdx

純剪切應(yīng)力狀態(tài)3、切應(yīng)力互等定律左=右上=下口訣？非純剪切狀況仍然適用?。?！MeMeabOcddxdydzttt't'xyz4、剪切胡克定律Hooke’sLawinShearrecall拉壓胡克定律

γ

γ可將Me~

關(guān)系，變成

~關(guān)系類似得到剪切胡克定律

G：剪切彈性模量shearingmodulusunits？對(duì)各向同性材料，三個(gè)彈性常數(shù)之間存在關(guān)系：由，

§5.4圓軸扭轉(zhuǎn)應(yīng)力和強(qiáng)度條件1、應(yīng)力分布規(guī)律

截面各處應(yīng)力相等？∴超靜定∴。。。①實(shí)驗(yàn)觀察法寶？周線。。。母線。。。平截面假設(shè)②幾何關(guān)系取楔形體O1O2ABCD

為研究對(duì)象微段扭轉(zhuǎn)變形

dj外表面有距軸線

處有說明

與。。。——。。。，同截面上各點(diǎn)都一樣。③物理關(guān)系剪切胡克定律：代入上式得：方向如何？ρρ記：稱：極慣性矩Polarmomentofinertiaforcrosssection

單位:m4

T④平衡關(guān)系扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力最大切應(yīng)力當(dāng)式中抗扭截面系數(shù);單位m3

ρ

max時(shí)適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時(shí)的圓截面直桿Ip和Wt的計(jì)算a.對(duì)于實(shí)心圓截面：D

d

Ob.對(duì)于空心圓截面：dDO

d

2、強(qiáng)度條件[

]=（0.55～0.6）[

]——塑性材料[

]=（0.8～1.0）[

l]——脆性材料Why?Ch9解決三方面問題{強(qiáng)度校核（checkthestrength）設(shè)計(jì)截面（determinetherequireddimensions

）許可載荷（determinetheallowableload

）幾點(diǎn)說明：①用于圓截面，小錐角（＜5°）亦可②線彈性③加載點(diǎn)不適用④階梯軸、變截面軸

max不一定對(duì)應(yīng)Tmax例5-3已知:傳動(dòng)軸如圖：MB=MC=320N·m，MA=1270N·m,MD=630N·m，

d=50mm，[

]=70MPa校核強(qiáng)度MDBADCMAMBMC解:（1）作扭矩圖T(N.m)320640630

（2）校核強(qiáng)度=26.09MPa<[

]∴安全例5-4已知：一等截面圓軸，T=1.5kN

.

m，[

]

=

50MPa，試根據(jù)強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)實(shí)心圓軸與

=0.9的空心圓軸。并求兩軸的重量之比。解：1.確定實(shí)心圓軸直徑可取2.確定空心圓軸內(nèi)、外徑3.重量比較空心軸遠(yuǎn)比實(shí)心軸輕可取§5.5圓軸扭轉(zhuǎn)變形和剛度條件1、扭轉(zhuǎn)變形公式由知：長為

l一段桿兩截面間相對(duì)扭轉(zhuǎn)角

為若l段內(nèi)，T和截面為常，則剪切胡克定律又一形式測G實(shí)驗(yàn)依據(jù)符號(hào)？會(huì)正確使用2、剛度條件

與l有關(guān)。為了消除l的影響，引入

，叫做。。。orGIp？recallEA；previewEIz解決三方面問題{剛度校核設(shè)計(jì)截面許可載荷會(huì)正確使用

和

公式?。?！例5-5長為L=2m的圓桿受均布力偶m=20Nm/m的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為

=0.8，G=80GPa，許用切應(yīng)力[

]=30MPa，試設(shè)計(jì)桿的外徑；若[

]=2o/m，試校核此桿的剛度，并求右端面扭轉(zhuǎn)角。解：①設(shè)計(jì)桿的外徑m=20Nm/m2m40N·mxT代入數(shù)值得：D

0.0226m②由扭轉(zhuǎn)剛度條件校核剛度m=20Nm/m2m40N·mxT③右端面轉(zhuǎn)角為：例5-6某傳動(dòng)軸設(shè)計(jì)要求轉(zhuǎn)速n=500r/min，輸入功率P1=400kW，輸出功率分別P2=160kW及P3=240kW，已知：G=80GPa，[

]=70MPa，[

]=1o/m，試確定：①AB段直徑d1和BC段直徑d2

？②若全軸選同一直徑，應(yīng)為多少？③主動(dòng)輪與從動(dòng)輪如何安排合理？解：由外力偶矩關(guān)系，得扭矩如圖：

500400P1P3P2ACBTx–7.64–4.58(kN·m)

按剛度條件

直徑d1的選取

按強(qiáng)度條件

按剛度條件

直徑d2的選取

按強(qiáng)度條件

∴選同一直徑時(shí)將主動(dòng)輪裝在兩從動(dòng)輪之間受力合理由前述分析可知，軸類零件剛度條件比強(qiáng)度條件更為重要。例5-7某等截面圓軸AB，兩端fixed，MC=m，求支反力偶矩。解：分析受力如圖；一次超靜定。怎么解？附錄I平面圖形的幾何性質(zhì)§I.1概述Q：影響力學(xué)響應(yīng)的因素？A：因素包括：載荷、材料、幾何性質(zhì)拉壓桿：

圓軸：

梁的幾何性質(zhì)對(duì)變形的影響FF豎放橫放一、靜矩（面積矩）1、定義：dA對(duì)y軸的靜矩:2、量綱：［長度］3；單位：m3、cm3、mm3。dA對(duì)z軸的靜矩:3、靜矩可以為正、負(fù)或零?！霫.2靜矩和形心4、靜矩和形心的關(guān)系

可知靜矩和形心的關(guān)系由平面圖形的形心公式結(jié)論：圖形對(duì)過形心的軸的靜矩為零。

若圖形對(duì)某軸的靜矩為零，則此軸一定過圖形的形心。例I-1已知：平面圖形-矩形h、b、a，求對(duì)y、z軸的靜矩。解：例I-2解由對(duì)稱性dyRyz求圖示半圓的Sy,Sz

和形心zc=0,Sy

=0由圖zyCyC二、簡單圖形的形心1、形心坐標(biāo)公式：2、形心確定的規(guī)律：（1）圖形有對(duì)稱軸時(shí)，形心必在此對(duì)稱軸上。（2）圖形有兩個(gè)對(duì)稱軸時(shí)，形心必在此兩對(duì)稱軸的交點(diǎn)處。三、組合圖形（由若干個(gè)基本圖形組合而成的圖形）的靜矩：四、組合圖形的形心：

利用基本圖形的結(jié)果，可使組合圖形的形心計(jì)算簡單?；緢D形----指面積、形心位置已知的圖形

二、極慣性矩一、慣性矩所以§I.3慣性矩、極慣性矩和慣性積zyOdAzy

dA對(duì)y軸的慣性矩:dA對(duì)z軸的慣性矩:dA對(duì)O點(diǎn)的極慣性矩:二次矩，正定，單位:m4顯然，圖形分布距離某軸越遠(yuǎn)，對(duì)該軸的慣性矩就越大。三、慣性半徑：四、慣性積

1、定義：2、單位：m4、mm4。3、慣性積是對(duì)軸而言。4、慣性積的取值可正、負(fù)、零。5、規(guī)律：

兩坐標(biāo)軸中，只要有一個(gè)軸為圖形的對(duì)稱軸，則圖形對(duì)這一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積為零。zyOdAzy

解：bhzyCydy例I-3求矩形截面對(duì)其對(duì)稱軸z,y軸的慣性矩。

yzd解：因?yàn)榻孛鎸?duì)其圓心O的極慣性矩為例I-4求圓形截面對(duì)其對(duì)稱軸的慣性矩。所以解：已知：圖形截面積A，形心坐標(biāo)yc、zc

、Izc、Iyc、a、b已知。zc軸平行于z軸；yc軸平行于y軸，求：Iz、Iy?！霫.4平行移軸公式C(b,a)bayCzCzy說明：1、圖形對(duì)一軸的慣性矩，等于對(duì)平行于此軸的形心軸的慣性矩，加上圖形面積與此二軸距離平方的乘積；2、在一組平行的軸中，圖形對(duì)其形心軸的慣性矩最??；4、慣性積公式中a,b為形心坐標(biāo)，注意其正負(fù)號(hào)