2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)-三角函數(shù)與解三角形（附答案）

2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)——三角函數(shù)與解三角形決勝2024年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)特訓(xùn):三角函數(shù)與解三角形（解答題篇）1．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求的值；(2)求的值．2．已知為銳角，．(1)求和的值；(2)求的值．3．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，.(1)求；(2)若，求的面積.4．設(shè)(1)將化為最簡(jiǎn)形式；(2)已知，求的值．5．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，并解不等式；(2)關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍及的值．6．已知角為第四象限角，且角的終邊與單位圓交于點(diǎn).(1)求的值；(2)求的值.7．在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，它的終邊與單位圓交于第二象限內(nèi)的點(diǎn)．(1)若，求及的值；(2)若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．8．記的內(nèi)角A，，的對(duì)邊分別為，，，已知，.(1)求A；(2)若，是邊上一點(diǎn)，且是的平分線，.求的長(zhǎng).9．在△中，，，為邊上一點(diǎn)，且平分.(1)若，求；(2)若，求線段的長(zhǎng).10．已知函數(shù)（）的最小正周期為．(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上恰有2個(gè)零點(diǎn)，求的值．11．在中，，點(diǎn)D在AB邊上，且為銳角，，的面積為4.(1)求的值；(2)若，求邊AC的長(zhǎng).12．記三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知為銳角，．(1)求；(2)求的最小值．13．已知函數(shù)且的最小正周期為．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若，求x的取值范圍．14．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增．(1)求的取值范圍：(2)當(dāng)取最大值時(shí)，將的圖象向左平移個(gè)單位，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，得到的圖象，求在內(nèi)的值域．15．在中，角所對(duì)的邊分別為，已知．(1)求；(2)若外接圓的半徑為，求的面積最大值．16．已知函數(shù).(1)若，求；(2)設(shè)函數(shù)，證明：在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且.17．在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于第三象限點(diǎn).(1)求的值；(2)若角的終邊繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，與單位圓交于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo).18．設(shè)函數(shù)，且．(1)求的值；(2)再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)存在，求的值及的零點(diǎn)．條件①：是奇函數(shù)；條件②：圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離是；條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．

答案：1．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)求得.（2）根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)求得，利用誘導(dǎo)公式求得正確答案.【詳解】（1）即，所以.（2）由（1）得，所以，，.2．(1)，(2)【分析】（1）先根據(jù)同角三角函數(shù)平方關(guān)系求出，再根據(jù)商數(shù)關(guān)系和兩角和正切公式化簡(jiǎn)得結(jié)果；（2）根據(jù)二倍角公式得，，再根據(jù)兩角和余弦公式得，最后根據(jù)范圍求結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)闉殇J角，，所以，所以，又因?yàn)?，所以，?）因?yàn)闉殇J角，，所以，解得，所以，，所以，又因?yàn)闉殇J角，所以，所以.3．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件，利用正弦定理化為，結(jié)合已知條件，有，，代入解三角形即可.（2）根據(jù)（1）終結(jié)論，利用余弦定理，結(jié)合，，解得，利用面積公式即可求得面積為.【詳解】（1）因?yàn)?，所以由正弦定理得，因?yàn)?，且，所以，，所以即，所以，所以，因?yàn)椋?，所以；?）由余弦定理可得，即，得，得，因?yàn)?，所以，所?．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，結(jié)合同角三角函數(shù)的商式關(guān)系，可得答案；（2）利用正弦函數(shù)的二倍角公式以及同角三角函數(shù)的平方式，整理齊次式，可得答案.【詳解】（1）.（2）由，則，，.5．(1)答案見解析(2)【分析】（1）由題意分別令，，解不等式即可得解.（2）由題意得在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，結(jié)合三角函數(shù)單調(diào)性、最值即可求出的取值范圍，結(jié)合對(duì)稱性代入求值即可得的值.【詳解】（1）由題意令，解得，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，令，所以，所以，解得，所以不等式的解集為.（2）由題意即，即在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，當(dāng)時(shí)，，而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)即時(shí)，，當(dāng)即時(shí)，，又即時(shí)，，所以若在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為，因?yàn)?，所以是的?duì)稱軸，所以.6．(1)(2)【分析】（1）將點(diǎn)代入單位圓后結(jié)合任意角三角函數(shù)定義求解即可.（2）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】（1）在單位圓中，解得，因?yàn)榈谒南笙藿牵裕?）第四象限角.7．(1)，；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及，再利用齊次式法計(jì)算即得.（2）利用同角公式，結(jié)合三角函數(shù)定義求解即得.【詳解】（1）角以O(shè)x為始邊，它的終邊與單位圓交于第二象限內(nèi)的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則，所以．（2）依題意，，由，得，代入，于是，解得，即，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為．8．(1)；(2)．【分析】（1）由正弦定理化邊為角，然后由三角恒等變換求解；（2）設(shè)，利用由余弦定理求得，從而由正弦定理求得（用表示），再代入余弦定理的結(jié)論中求得值．【詳解】（1）由正弦定理及已知得，或，又，所以，所以，從而，所以；（2）由余弦定理得，，，又是角平分線，所以，又，則，記，因?yàn)椋裕?，，則，由正弦定理得，所以，所以，解得，即．9．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理及其余弦定理求解；（2）利用三角形的面積公式求解.【詳解】（1）因?yàn)槠椒郑?，故，在中，由正弦定理知：，由余弦定理有，又因?yàn)?，所?即；（2）由，得，則，又由，得.10．(1)最大值和最小值分別為；(2).【分析】（1）求出函數(shù)的解析式，再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求解即得.（2）利用余弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性，結(jié)合誘導(dǎo)公式計(jì)算.【詳解】（1）由函數(shù)的最小正周期為，得，解得，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為.（2）由，得，即，由函數(shù)在區(qū)間上恰有2個(gè)零點(diǎn)，得在上恰有2個(gè)根，而當(dāng)時(shí)，，顯然余弦函數(shù)在上遞增，在上遞減，且在上的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上的圖象關(guān)于直線線對(duì)稱，因此，.11．(1)(2)【分析】（1）借助面積公式表示出面積即可計(jì)算得，借助同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可得；（2）由余弦定理可計(jì)算出，由勾股定理的逆定理可得，結(jié)合計(jì)算即可得邊AC的長(zhǎng).【詳解】（1），故，又為銳角，故；（2），故，有，故，則，即.12．(1)；(2)無(wú)最小值；【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理可得，結(jié)合為銳角可得，所以；（2）利用誘導(dǎo)公式可得，再由導(dǎo)數(shù)判斷出在上單調(diào)遞增，可得無(wú)最小值；【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，由余弦定理可得，所以可得，解得或；又為銳角，所以（舍），即，因此；（2）結(jié)合（1）中，又可得：；令，則，又為銳角，，所以，可得，所以，當(dāng)時(shí)，恒成立，即可得為單調(diào)遞增，所以時(shí)，，所以無(wú)最值；因此無(wú)最小值；13．(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)最小正周期為求得，求出單調(diào)遞減區(qū)間；（2）根據(jù)寫出x的取值范圍．【詳解】（1）因?yàn)榈闹芷跒?，故，所?當(dāng)時(shí)，，由，得到，故的遞減區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，，由，得到故的遞減區(qū)間為.（2）當(dāng)時(shí)，，所以，解得.當(dāng)時(shí)，，即，所以，解得.綜上：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.14．(1)(2)【分析】（1）由題設(shè)條件，列出不等式，求解即可.（2）根據(jù)函數(shù)圖像平移變換，寫出函數(shù)，再結(jié)合區(qū)間和三角函數(shù)性質(zhì)求出值域.【詳解】（1）由，得，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得因?yàn)椋裕?）由（1）知的最大值為，此時(shí)，根據(jù)題意，，當(dāng)時(shí)，．所以，故值域?yàn)椋?5．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等變換計(jì)算即可．（2）利用正余弦定理、三角形面積公式及基本不等式計(jì)算即可.【詳解】（1）由已知可得：，∴，∴，根據(jù)正弦定理可知：，∴．又．（2）∵外接圓的半徑為，∴，解得．又由（1）得，故，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立∴，∴的面積最大值為．16．(1)(2)證明見解析【分析】（1）化簡(jiǎn)已知條件求得，利用誘導(dǎo)公式求得.（2）先求得的表達(dá)式，然后對(duì)進(jìn)行分類討論，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理證得在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求得的表達(dá)式，然后利用函數(shù)的單調(diào)性證得不等式成立.【詳解】（1）由，則，所以.（2）證明：由題意得.①當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增.又，由于，而，所以.又，所以由零點(diǎn)存在定理得在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，使得.當(dāng)時(shí)，，所以，則在上無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，所以，則在上無(wú)零點(diǎn).綜上，在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).②由①得，且，則.由函數(shù)的單調(diào)性得函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，故.求解已知三角函數(shù)值求三角函數(shù)值的問題，可以考慮利用誘導(dǎo)公式等三角恒等變換的公式來(lái)進(jìn)行求解.判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，除了零點(diǎn)存在性定理外，還需要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性來(lái)進(jìn)行判斷.17．(1)(2)【分析】（1）直接根據(jù)三角函數(shù)的定義求解；（2）利用誘導(dǎo)公式求出旋轉(zhuǎn)后的角的三角函數(shù)值即可.【詳解】（1）由三角函數(shù)的定義可得，所以；（2）角的終邊繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到角，則，，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.18．(1)(2)選擇①，不存在；選擇②，，；選擇③，，【分析】（1）利用二倍角公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，根據(jù)，即可求解；（2）根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)、三角函數(shù)圖象的性質(zhì)以及三