1.2集合與常用邏輯用語單元知識總結與題型歸納-高一數(shù)學上學期期末復習講練（人教A版2019）

第一章集合和常用邏輯用語知識總結與題型歸納重點一：集合的定義及其關系1.集合中元素的特性：確定性、無序性、互異性2.集合的表示：列舉法，描述法(①語言描述法，②Venn圖)3.區(qū)分元素與集合(a∈A)，集合與集合的關系(A?B)，注意符號4.非負整數(shù)集(即自然數(shù)集)N；正整數(shù)集：N*或N+；整數(shù)集：Z；有理數(shù)集Q；實數(shù)集R題型1：集合的概念例1：下列給出的對象中，能構成集合的是()A．一切很大的數(shù)B．好心人C．漂亮的小女孩D．清華大學2019年入學的全體學生【答案】D【詳解】解析：“很大”“好”“漂亮”等詞沒有嚴格的標準，故選項A、B、C中的元素均不能構成集合，故選D針對訓練1.1．下列選項能組成集合的是（

）A．本校學習好的學生 B．在數(shù)軸上與原點非常近的點C．很小的實數(shù) D．倒數(shù)等于本身的數(shù)【答案】D【詳解】解析：集合中的元素具有確定性，對于A、B、C，學習好、非常近、很小都是模糊的概念，沒有明確的標準，不符合確定性；對于D，符合集合的定義，正確.故選D1.2．下列所給的對象能組成集合的是（

）A．“金磚國家”成員國 B．接近1的數(shù)C．著名的科學家 D．漂亮的鮮花【答案】A.【詳解】解析：對于A，“金磚國家”成員國即巴西，俄羅斯，印度，中國，南非，能組成集合，故A正確；對于B，C，D三個選項來說，研究對象無法確定，所以不能組成集合.故選：A.題型2：元素與集合例2：（1）下列所給關系正確的個數(shù)是()①π∈R；②?Q；③0∈N*；④|－5|?N*.A．1B．2C．3 D．4（2）滿足“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2個元素的集合A的個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3【答案】（1）B（2）C【詳解】解析：(1)①π是實數(shù)，所以π∈R正確；②是無理數(shù)，所以?Q正確；③0不是正整數(shù)，所以0∈N*錯誤；④|－5|＝5為正整數(shù)，所以|－5|?N*錯誤．故選B.(2)因為a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N，若a＝0，則4－a＝4，此時A滿足要求；若a＝1，則4－a＝3，此時A滿足要求；若a＝2，則4－a＝2，此時A含1個元素不滿足要求．故有且只有2個元素的集合A有2個，故選C.針對訓練2.1．若集合則實數(shù)的取值集合為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】當時，不等式等價于，此時不等式無解；當時，要使原不等式無解，應滿足，解得；綜上，的取值范圍是．故選：B．2.2．已知集合，，則集合的元素個數(shù)為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B解：由，解得，所以．所以，共有7個元素，故選：B．題型3：集合中元素的特性例3：由a2，2﹣a，4組成一個集合A，A中含有3個元素，則實數(shù)a的取值可以是（）A．1 B．﹣2 C．6 D．2【答案】C【詳解】解析：當a=1時，由a2=1，2﹣a=1，4組成一個集合A，A中含有2個元素，當a=﹣2時，由a2=4，2﹣a=4，4組成一個集合A，A中含有1個元素，當a=6時，由a2=36，2﹣a=﹣4，4組成一個集合A，A中含有3個元素，當a=2時，由a2=4，2﹣a=0，4組成一個集合A，A中含有2個元素，故選C．針對訓練3.1.已知集合S滿足條件：若a∈S，則．若3∈S，試把集合中的所有元素都求出來．【答案】【詳解】解析：∵，∴，從而，則，∴，出現(xiàn)循環(huán)，根據(jù)集合中元素的互異性可得集合中的所有元素為．3.2．設集合，其中，且，若，則中的元素之和為_____.【答案】0【詳解】因為，所以若，則集合不成立．所以．若因為，所以，所以必有，所以．因為，，所以或．若，此時不成立，舍去．若，則，成立．所以元素之和為．故答案為：0.題型4：集合的表示法例4：用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希海?）由方程的所有實數(shù)根組成的集合；（2）由小于8的所有素數(shù)組成的集合；（3）一次函數(shù)與圖象的交點組成的集合；（4）不等式的解集.【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）.【詳解】解析：（1）的所有實數(shù)根為3，3，所以方程的所有實數(shù)根組成的集合為；（2）小于8的所有素數(shù)為，所以小于8的所有素數(shù)組成的集合為；（3）一次函數(shù)與圖象的交點組成的集合或；（4）不等式的解集為.針對訓練4.1．集合x3<2的自然數(shù)解用列舉法表示集合（）A．{1，2，3，4} B．{1，2，3，4，5}C．{0，1，2，3，4，5} D．{0，1，2，3，4}【答案】D【詳解】由題意，又，∴集合為．4.2．由大于1小于5的自然數(shù)組成的集合用列舉法表示為________，用描述法表示為________．【答案】{2，3，4}{x∈N|1<x<5}【詳解】解析：大于1小于5的自然數(shù)有2，3，4.故用列舉法表示集合為{2，3，4}，用描述法表示可用x表示代表元素，其滿足的條件是x∈N且1<x<5.故用描述法表示集合為{x∈N|1<x<5}．重點二：集合間的基本關系5.集合間的基本關系：A?B有兩種可能(1)A?B(真子集)；(2)A=B(集合相等)6.不含任何元素的集合叫做空集，記為?7.空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集8.若非空集合A中有n個元素，則有2n個子集，(2n1)個真子集，(2n2)個非空真子集題型5：子集、真子集例5：已知集合A={2，4，7}，則集合A的子集共有（

）A．3個 B．6個 C．7個 D．8個【答案】D【詳解】集合A的子集有：?，{2}，{4}，{7}，{2,4}，{2,7}，{4,7}，{2,4,7}，一共8個，故選：D.技巧：子集個數(shù)（1）若集合有個元素，則它有個子集，個真子集，個非空子集，非空真子集.針對訓練5.1．集合的非空真子集的個數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【詳解】解法1：由題意可知，集合A的非空真子集為，共6個.解法2：用公式，集合A中有3個元素，n=3，則非空真子集有232=6個故選：B.5.2．集合至多有1個真子集，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．或【答案】D【詳解】當時，，滿足題意，當時，由題意得，得，綜上，的取值范圍是故選：D題型6：包含關系例6.1：已知集合M＝{x|x＝1＋a2，a∈N*}，P＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈N*}，則M與P的關系為()A．M＝P B．M?PC．P?M D．M?P【答案】D【詳解】①對于任意x∈M，x＝1＋a2＝(a＋2)2－4(a＋2)＋5，∵a∈N*，∴a＋2∈N*，∴x∈P，由子集定義知M?P.②∵1∈P，此時a2－4a＋5＝1，即a＝2∈N*，而1?M，∴1＋a2＝1在a∈N*時無解．綜合①②知，M?P.故選：D．例6.2：滿足{1,2}?M?{1,2,3,4,5}的集合M有________個．【答案】D【詳解】解析：由題意可得{1,2}M?{1,2,3,4,5}，可以確定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一個，因此依據(jù)集合M的元素個數(shù)分類如下：含有三個元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；含有四個元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；含有五個元素：{1,2,3,4,5}．故滿足題意的集合M共有7個．所以選D技巧：子集個數(shù)（2）若集合A有n(n≥1)個元素，集合C有m(m≥1)個元素，且A?B?C，則符合條件的集合B有2m－n個．針對訓練6.1.下列各式中，正確的個數(shù)是()①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}?{2,1,0}；③??{0,1,2}；④?＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．A．1B．2C．3 D．4【答案】B【詳解】對于①，是集合與集合的關系，應為{0}{0,1,2}；對于②，實際為同一集合，任何一個集合是它本身的子集；對于③，空集是任何集合的子集；對于④，{0}是含有單元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以?{0}；對于⑤，{0,1}是含有兩個元素0與1的集合，而{(0,1)}是以有序數(shù)組(0,1)為元素的單元素集合，所以{0,1}與{(0,1)}不相等；對于⑥，0與{0}是“屬于與否”的關系，所以0∈{0}．故②③是正確的．故選：B.6.2．用適當?shù)姆??，?，∈，?)填空：（1）________；（2）2________；（3）N*________N；（4）R________Q.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【詳解】（1）當時，，故；（2）當時，，故2；（3）因為為正整數(shù)集，為自然數(shù)集，所以（4）因為為實數(shù)集，為有理數(shù)集，所以.故答案為：；；；.題型7：相等關系例7：已知集合，若，則（

）A．3 B．4 C． D．【答案】D【詳解】解：因為且，所以，且，又，所以和為方程的兩個實數(shù)根，所以；故選：D針對訓練7.1設集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，則實數(shù)x的值組成的集合為（

）A．{5} B．{1} C．{0，5} D．{0，1}【答案】C【詳解】解：因為，所以，解得或，所以x的取值集合為，故選：C題型8：空集例8：下列六個關系式：①{a，b}＝{b，a}；②{a，b}?{b，a}；③?＝{?}；④{0}＝?；⑤??{0}；⑥0∈{0}．其中正確的個數(shù)是()A．1 B．3C．4 D．6【答案】C【詳解】解析：①正確，集合中元素具有無序性；②正確，任何集合是自身的子集；③錯誤，?表示空集，而{?}表示的是含?這個元素的集合，是元素與集合的關系，應改為?∈{?}；④錯誤，?表示空集，而{0}表示含有一個元素0的集合，并非空集，應改為?∈{0}；⑤正確，空集是任何非空集合的真子集；⑥正確，是元素與集合的關系．①②⑤⑥正確，故選C技巧：5個與空集有關的結論1.包含分A=?和A≠?兩種情況，A≠?又分A=B和AB兩種情況.當題目中出現(xiàn)A?B或A∩B＝A或A∪B＝B時，在解題過程中務必注意對集合A進行分類討論，即分A=?和A≠?兩種情況進行討論.2.，（A≠?）3.若A∩B＝?，則A或B可能是?或A與B均不為?但無公共元素；若A∪B＝A，則B可能是?.4.?與{?}的區(qū)別：前者代表空集，后者代表一個集合，這個集合的元素的空集，屬于集中集.?∈{?}、?{?}均正確.只有一個子集，就是它本身.5.5種空集的情況A={|ax+b=0}=??a=0,b≠0A={|ax2+bx+c=0,a≠0}=??b24ac<0A={|m<x<n}=??m≥nA={|ax+b>0}=??a=0,b≤0A={|ax2+bx+c>0,a≠0}=??a<0,b24ac≤0針對訓練8.1下列各式中關系符號運用正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C.【詳解】根據(jù)元素和集合的關系是屬于和不屬于，所以選項A錯誤；根據(jù)集合與集合的關系是包含或不包含，所以選項D錯誤；根據(jù)空集是任何集合的子集，所以選項B錯誤，故選項C正確.故選：C.重點三：集合的基本運算9.集合基本運算：圖1圖2(1)并集：AUB={x|x∈A，或x∈B}(2)交集：A∩B={x|x∈A，且x∈B}(3)補集：CUA={x|x∈U，且x∈A}題型9：并集例9：點集A＝{(x，y)|x＜0}，B＝{(x，y)|y＜0}，則A∪B中的元素不可能在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【詳解】由題意得，A∪B中的元素是由橫坐標小于0或縱坐標小于0的點構成的集合，所以A∪B中的元素不可能在第一象限，故選：A.針對訓練9.1設若集合A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1,4，x}，則滿足條件的實數(shù)x有() A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【詳解】從A∪B＝{1,4，x}看它與集合A，B元素之間的關系，可以發(fā)現(xiàn)A∪B＝A，從而B是A的子集，則x2＝4或x2＝x，解得x＝±2或1或0.當x＝±2時，符合題意；當x＝1時，與集合元素的互異性相矛盾(舍去)；當x＝0時，符合題意．因此x＝±2或0．故選：C題型10：交集例10：若集合A＝{x|－1＜x＜5}，B＝{x|x≤1，或x≥4}，則A∪B＝________，A∩B＝________.【答案】R{x|－1＜x≤1，或4≤x＜5}【詳解】借助數(shù)軸可知：A∪B＝R，A∩B＝{x|－1＜x≤1，或4≤x＜5}．故答案：R{x|－1＜x≤1，或4≤x＜5}.針對訓練10.1已知M＝{1，2，a23a1}，N＝{1，a，3}，M∩N＝{3}，求實數(shù)a的值．【答案】【詳解】∵M∩N＝{3}，∴3∈M，∴a2－3a－1＝3，即a2－3a－4＝0，解得a＝1或4.但當a＝1時，與集合中元素的互異性矛盾，當a＝4時，M＝{1,2,3}，N＝{－1,3,4}，符合題意．∴a＝4.題型11：補集、全集例11：設全集，集合M滿足CUM={1,3}，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題知,對比選項知，正確,錯誤故選:A針對訓練11.1已知全集，集合，則CUA=（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由補集定義可知：CUA={x｜3＜x≤2或1＜x＜3}，即CUA=（3，2］∪（1,3），故選：D．題型12：集合的交并補例12：設集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，，.故選：C.技巧：德摩根定理CU（A∩B）=CUA∪CUB；CU（A∪B）=CUA∩CUB；A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)用集合A、B表示圖中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四個部分所表示的集合分別是A∩B；A∩(CUB)；B∩(CUA)；CU(A∪B)或(CUB)∩(CUA)．針對訓練12.1已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，P＝{x|x≤0或x≥52}，求A∩B，(CUB)∪P，(A∩B)∩(CU【答案】【詳解】解析：將集合A，B，P分別表示在數(shù)軸上，如圖所示．因為A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，所以A∩B＝{x|－1＜x＜2}．CUB＝{x|x≤－1或x＞3}，又P＝{x|x≤0或x≥52}所以(CUB)∪P＝{x|x≤0或x≥52}又CUP＝{x|0＜x＜52}所以(A∩B)∩(CUP)＝{x|－1＜x＜2}∩{x|0＜x＜52}＝{x|0＜x＜2}．題型13：Venn圖例13：《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況，隨機調查了100學生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學生人數(shù)與該校學生總數(shù)比值的估計值為A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意得，閱讀過《西游記》的學生人數(shù)為9080+60=70，則其與該校學生人數(shù)之比為70÷100=0.7．故選C．針對訓練13.1學校運動會，某班所有同學都參加了羽毛球或乒乓球比賽，已知該班共有23人參加羽毛球賽，35人參加乒乓球賽，既參加羽毛球又參加乒乓球賽有6人，則該班學生數(shù)為______．【答案】52【詳解】解：設參加羽毛球賽為集合，參加乒乓球賽為集合，依題意可得如下韋恩圖：所以該班一共有人；故答案為：題型14：集合的新定義例14：已知且，若集合A={1,3,5,7,9}，B={3,5,6}，則（

）A．{1,3,5,6} B．{1,7,9} C．{3,5} D．{6}【答案】B【詳解】解：由題得M={1,7,9}.故選：B針對訓練14.1（多選）非空集合關于運算滿足：對于任意的、，都有，則稱集合關于運算為“回歸集”．下列集合關于運算為“回歸集”的是（

）A．為，為自然數(shù)的減法B．為，為有理數(shù)的乘法C．為，為實數(shù)的加法D．已知全集，集合，為，為實數(shù)的乘法【答案】BC【詳解】對于A選項，若，為自然數(shù)的減法，則，A不滿足條件；對于B選項，若，對任意的、，則，B滿足條件；對于C選項，若，對任意的、，則，C滿足條件；對于D選項，已知全集，集合，，取，，則，D不滿足條件.故選：BC.重點四：充分條件、必要條件與充要條件（1）p?q，p是q的充分條件；q是p的必要條件（2）p?q，p與q互為充要條件（3）充分條件，必要條件與充要條件主要用來區(qū)分命題的條件與結論之間的關系：Ⅰ、從邏輯推理關系上看：①若，則是充分條件，是的必要條件；②若，但，則是充分而不必要條件;③若，但，則是必要而不充分條件;④若且，則是的充要條件；⑤若且，則是的既不充分也不必要條件.Ⅱ、從集合與集合之間的關系上看：已知滿足條件，滿足條件：①若,則是充分條件；②若,則是必要條件；③若AB，則是充分而不必要條件;④若BA，則是必要而不充分條件;⑤若，則是的充要條件；⑥若且，則是的既不充分也不必要條件.題型15：充分不必要條件例15：請寫出不等式1a＜1【答案】a>1(答案不唯一)【詳解】因為a>1能推出1a＜1，但是1a＜所以a>1是不等式1a＜1故答案為：a>1（答案不唯一）針對訓練15.1已知集合，B={x|1<x<m+2}，若x∈A是x∈B成立的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍是___________.【答案】【詳解】集合.因為x∈A是x∈B成立的充分不必要條件，所以A?B.因為B={x|1<x<m+2}，所以只需滿足：，解得：.故答案為：.題型16：必要不充分條件例16：已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】【詳解】p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．因為p是q的必要不充分條件，所以q是p的充分不必要條件，即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≥－2，,1＋m＜10，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m＞－2，,1＋m≤10，))解得m≤3.又m＞0，所以實數(shù)m的取值范圍為{m|0＜m≤3}.針對訓練16.1若“”是“”的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【詳解】解：由，得或，即不等式的解集為或，由，得，若，則不等式的解為，此時不等式的解集為為，若，則不等式的解集為或，若，不等式的解集為或，若“”是“”的必要不充分條件，則，則當時，不滿足條件．當時則滿足，即，得，當時，則滿足，得，得，綜上實數(shù)的取值范圍.故答案為：.題型17：充要條件例17：求方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個負的實數(shù)根的充要條件．A． B． C． D．【答案】【詳解】當a＝0時，方程為2x＋1＝0，∴x＝－12當a＜0時，∵Δ＝4－4a＞0，且x1x2＝1a＜0，x1＋x2＝－3當a＞0時，由題意可得Δ＝4－4a≥0綜上：a≤1.針對訓練17.1“對于任意的實數(shù)，不等式恒成立”的一個充分必要條件是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】對于任意的實數(shù)，不等式恒成立，，由，得，由，得，當時，；當時，，；當時，,綜上，，.，“對于任意的實數(shù)，不等式恒成立”的一個充分必要條件是，.故選：.題型18：既不充分也不必要條件例18：設，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】解不等式，得，解不等