預(yù)習(xí)02向量的線性運算（六大考點）

預(yù)習(xí)02向量的線性運算一、向量的加法三角形法則：已知非零向量,在平面內(nèi)任取一點,作,再作向量,則向量叫做與的和,記作平行四邊形法則：已知不共線的兩個向量,在平面內(nèi)任取一點,以同一點為起點的兩個已知向量,以為鄰邊作,則就是與的和,規(guī)定：零向量與任意向量的和,都有運算律：①交換律：；②結(jié)合律：二、相反向量1.定義:與向量長度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量,記作,與互為相反向量,3.性質(zhì)：①；②若互為相反向量,則；③的相反向量是三、向量的減法1.向量的減法的定義:向量加上的相反向量,叫做與的差,即,求兩個向量差的運算叫做向量的減法.2.運算法則:在平面內(nèi)取一點O,作,則.3.幾何意義表示從向量的終點指向的終點的向量.4.向量減法的兩個重要結(jié)論:①如果把兩個向量的始點放在一起,則這兩個向量的差是以減向量的終點為始點,被減向量的終點為終點的向量；②一個向量等于它的終點相對于點的位置向量減去它的始點相對于點的位置向量或簡記“終點向量減去始點向量”.四、向量的數(shù)乘運算1.定義:規(guī)定實數(shù)與向量的積是一個向量,這種運算叫做向量的數(shù)乘,記作,它的長度和方向規(guī)定如下:①;②當(dāng)時，的方向與的方向相同；當(dāng)時，的方向與的方向相反；當(dāng)時，2.運算律:設(shè)為任意實數(shù),則有①；②；③特別地,有.(3)向量的線性運算:向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.對于任意向量以及任意實數(shù)恒有.五、共線向量定理1.共線向量定理的內(nèi)容：向量與共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù),使.2.三點共線向量表示的兩個結(jié)論結(jié)論1：如圖1，點共線的充要條件是存在唯一實數(shù)，使得.結(jié)論2：設(shè)是平面內(nèi)的任意一點，點A，B，C共線的充要條件是存在唯一實數(shù)使得.考點01向量的加法運算【方法點撥】向量加法的三角形法則與平行四邊形法則作圖的方法法則作法三角形法則①把用小寫字母表示的向量,用兩個大寫字母表示(其中后面向量的始點與前一個向量的終點重合,即用同一個字母來表示);②由第一個向量的始點指向第二個向量終點的有向線段就表示這兩個向量的和平行四邊形法則①把兩個已知向量的始點平移到同一點;②以這兩個已知向量為鄰邊作平行四邊形;③與已知向量同起點的對角線表示的向量就是這兩個已知向量的和【例1】如圖，按下列要求作答．(1)以A為始點，作出；(2)以B為始點，作出；(3)若為單位向量，求、和．【答案】(1)作圖見解析(2)作圖見解析(3)，，【分析】（1）根據(jù)向量加法的平行四邊形法則即可作出；（2）先將共線向量計算出結(jié)果再作出；（3）根據(jù)利用勾股定理即可計算出各向量的模長.【詳解】（1）將的起點同時平移到A點，利用平行四邊形法則作出，如下圖所示：（2）先將共線向量的起點同時平移到B點,計算出,再將向量與之首尾相接，利用三角形法則即可作出，如下圖所示：（3）由是單位向量可知，根據(jù)作出的向量利用勾股定理可知，；由共線向量的加法運算可知；利用圖示的向量和勾股定理可知，.【例2】下列向量的運算結(jié)果為零向量的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)向量加法運算規(guī)律，逐項檢驗，即可求得答案.【詳解】對A，；對B，；對C，；對D，.綜上所述，只有C符合題意故選：C.【點睛】本題解題關(guān)鍵是掌握向量加法運算規(guī)律，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.【變式11】（多選）下列四個等式中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】由向量的運算律、加法法則及相反向量等判斷各項正誤即可.【詳解】由向量的加法交換律及相反向量知：、，即A、B正確，由，C正確，向量的線性運算(加減、數(shù)乘運算)，結(jié)果應(yīng)為向量，D錯誤．故選：ABC【變式12】化簡下列各式:(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）應(yīng)用向量加法運算律化簡即可.【詳解】（1）原式.（2）原式【變式13】已知用向量加法的三角形法則作出.(1)；(2).【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）（2）利用向量加法法則即可求解.【詳解】（1）（2）考點02向量的減法運算【方法點撥】向量減法的三角形法則作圖的方法：平移向量使之共起點，連接兩向量的終點，方向指向被減向量【例3】已知向量、（三點不共線），若，則點是（

）A．的中點 B．的中點 C．的中點 D．的重心【答案】A【分析】根據(jù)平面向量的線性運算計算即可得出結(jié)論.【詳解】因為，所以，即，所以點是的中點.故選：A．【例4】如圖，已知向量，，不共線，求作向量．【答案】答案見解析【分析】根據(jù)向量的減法運算法則及幾何意義作圖即可.【詳解】如圖，作，則即為，再作，則向量即為．【變式21】化簡(1)；(2)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）（2）【變式22】已知正方形的邊長為1，則（

）A．0 B． C． D．4【答案】C【分析】利用向量運算法則得到.【詳解】，因為正方形的邊長為1，所以，故.故選：C【變式23】如圖，已知向量、，求作．(1)

(2)

(3)

(4)

【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)答案見解析(4)答案見解析【分析】（1）（2）（3）（4）根據(jù)平面向量的減法法則可作出向量.【詳解】（1）解：作，，則，即即為所求作的向量.（2）解：作，，則，即即為所求作的向量.（3）解：作，，則，即即為所求作的向量.（4）解：作，，則，即即為所求作的向量.考點03向量的數(shù)乘運算及其幾何意義【方法點撥】（1）當(dāng)時,與同向;當(dāng)時,與反向().（2）當(dāng)且時,或當(dāng)且時,,注意是,而不是.【例5】“實數(shù)”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．即不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)“”與“”的互相推出情況判斷出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，顯然成立，當(dāng)時，此時不一定成立，例如時可取任意實數(shù)，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A.【例6】（多選）如圖，設(shè)兩點把線段三等分，則下列向量表達(dá)式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】由圖和平面向量線性運算逐一判斷選項即可.【詳解】由圖可得兩點把線段三等分，故，A，B正確；，故C，D，錯誤，故選：AB.【變式31】已知，則下列命題正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)乘向量的模的意義即可得解.【詳解】由數(shù)乘向量的模的意義可知，故AB錯誤，C正確，當(dāng)或時，，故D錯誤.故選：C.【變式32】已知，與的方向相反，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】確定方向和大小關(guān)系即可得答案.【詳解】由，得，又與的方向相反，所以.故選：C.【變式33】已知，，判斷，是否共線，并說明理由.【答案】共線，理由見解析.【分析】根據(jù)給定結(jié)果，可得，再借助共線向量定理作答.【詳解】由，，得，所以，共線.考點04向量的線性運算【方法點撥】向量的線性運算形式上類似于實數(shù)加減法與乘法滿足的運算法則,實數(shù)運算中去括號、移項、合并同類項等變形手段在向量的線性運算中均可使用.【例7】設(shè)是兩兩不共線的向量，且向量，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量基底運算法則直接計算即可.【詳解】因為，，所以.故選：C【例8】若，則．【答案】【分析】根據(jù)向量的線性運算求得結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以，所以，故答案為：.【變式41】已知向量，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量混合運算即可.【詳解】，故選：C.【變式42】求下列未知向量．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】利用平面向量的線性運算可解得向量.【詳解】（1）因為，所以，.（2）因為，所以，.【變式43】若向量，，則.【答案】【分析】根據(jù)向量的加減與數(shù)乘，可得答案.【詳解】；；；.故答案為：.考點05用已知向量表示其他向量【方法點撥】利用已知向量表示其他向量的一個關(guān)鍵及三點注意：（1）一個關(guān)鍵：一個關(guān)鍵是確定已知向量與被表示向量的轉(zhuǎn)化渠道.（2）三點注意：①注意相等向量、相反向量、共線向量以及構(gòu)成三角形的三向量之間的關(guān)系;②注意應(yīng)用向量加法、減法的幾何意義以及它們的運算律;③注意在封閉圖形中利用多邊形法則.【例9】已知四邊形為平行四邊形，與相交于，設(shè)，則等于（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的運算法則可得結(jié)果.【詳解】,故選：B.【例10】（多選）如圖所示，四邊形為梯形，其中，，，分別為，的中點，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)向量的線性運算分別判斷各選項.【詳解】A選項：，A選項正確；B選項：，B選項錯誤；C選項：，C選項正確；D選項：，D選項錯誤；故選：AC.【變式51】在中，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先結(jié)合圖形表示出，；再根據(jù)向量的減法運算即可解答.【詳解】因為，所以，.所以.故選：A【變式52】在中，點是線段上靠近的三等分點，點是線段的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】結(jié)合圖形，利用向量的線性運算的定義進行運算可得.【詳解】作出圖形如圖，則，所以，故選：D．【變式53】如圖，在四邊形ABCD中，，設(shè)，，則等于（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面向量的線性運算，結(jié)合圖形可得.【詳解】因為，所以.故選：C考點06向量共線定理【方法點撥】用向量共線的條件證明兩條直線平行或重合的思路：（1）若,且與所在的直線無公共點,則這兩條直線平行.（2）若,且與所在的直線有公共點,則這兩條直線重合.例如,若向量,則共線,又與有公共點,從而三點共線,這是證明三點共線的重要方法.【例11】已知向量不共線，，，，則（

）A．A，B，C三點共線 B．A，C，D三點共線C．A，B，D三點共線 D．B，C，D三點共線【答案】C【分析】根據(jù)向量共線定理進行判斷即可.【詳解】因為不共線，，，，易得互不共線，所以A，B，C三點不共線，B，C，D三點不共線，故AD錯誤；又，易得不共線，則A，C，D三點不共線，故B錯誤；而，所以A，B，D三點共線，故C正確.故選：C.【例12】在中，點是邊上的動點（點異于，），且，若，則的最小值為.【答案】【分析】先求得的等量關(guān)系式，然后利用基本不等式求得正確答案.【詳解】依題意，由于三點共線，所以，而，由于點是邊上的動點（點異于，），所以，則，所以為正數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故答案為：【變式61】設(shè)，是兩個不共線的向量，向量，共線，則.【答案】【分析】用向量的共線定理，結(jié)合平面向量基本定中的唯一性構(gòu)建參數(shù)方程組，即可求解.【詳解】與共線，，，又，是兩個不共線的向量，，解得.故答案為：.【變式62】已知與為非零向量，，若三點共線，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)三點共線可得向量共線，由此結(jié)合向量的相等列式求解，即得答案.【詳解】由題意知，三點共線，故,且共線，故不妨設(shè)，則，所以，解得，故選：D【變式63】如圖，在中，，是上一點，若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】確定，得到，根據(jù)計算得到答案.【詳解】，故，則，又是上一點，所以，解得.故選：A.一、單選題1．下列等式中，正確的個數(shù)為（

）①②③④⑤⑥．A．3 B．4C．5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)向量加減法的概念和相反向量的概念分別判斷即可.【詳解】根據(jù)向量的運算及相反向量的概念知①②③④⑤正確，⑥錯誤，所以正確的個數(shù)為5．故選:C．2．如圖，設(shè)D、E、F分別為的三邊BC、CA、AB的中點，則（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的線性運算化簡求解即可.【詳解】由題意可知，，故選：A3．給出下列命題：①若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同；②若與共線，與共線，則與也共線；③若與共線，則A，B，C三點在同一條直線上；④與是非零向量，若與同向，則與反向；⑤已知為實數(shù)，若，則與共線.其中真命題的序號（

）A．③④ B．②③C．②④ D．④⑤【答案】A【分析】根據(jù)向量的概念，舉例即可得出答案.【詳解】對于①，如圖，中，，但是它們的起點、終點均不相同.故①錯誤；對于②，若，則與任意向量均滿足條件，故②錯誤；對于③，因為與共線，且有公共點A，所以，A，B，C三點在同一條直線上，故③正確；對于④，由已知可得，使得，所以，，所以與反向，故④正確；對于⑤，若，則不論與如何，均有，故不能說明與共線，故⑤錯誤.綜上所述，③④正確.故選：A.4．已知，是平面內(nèi)兩個不共線的向量，，，，且A，C，D三點共線，則（

）A． B．2 C．4 D．【答案】D【分析】根據(jù)已知求出.根據(jù)已知可得共線，進而得出，代入向量整理得出方程組，求解即可得出答案.【詳解】由已知可得，，.因為A，C，D三點共線，所以共線，則，使得，即，整理可得.因為，不共線，所以有，解得.故選：D.5．如圖，已知中，為的中點，，，交于點，設(shè)，.若，則實數(shù)的值為（

）A．0.6 B．0.8 C．0.4 D．0.5【答案】D【分析】根據(jù)向量線性運算，結(jié)合線段關(guān)系，用，表示出，，，由平面向量的基本定理，即可求得的值．【詳解】因為D為BC的中點，且，，故，即，又AE=EC，可得，，又，故，因為，共線，由平面向量的基本定理可知滿足，解得，故選：D．6．若，則的取值范圍是（

）A．[3，7] B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的減法的幾何意義，確定向量共線時取得最值，即可求得答案.【詳解】由題意知，且,當(dāng)同向時，取得最小值，；當(dāng)反向時，取得最大值，；當(dāng)不共線時，取得最小值，，故的取值范圍是，故選：C二、多選題7．化簡以下各式，結(jié)果為的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)向量的線性運算求解即可.【詳解】對A，，故A正確；對B，，故B正確；對C，，故C錯誤；對D，，故D正確.故選：ABD8．對于菱形，給出下列各式，其中正確的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)向量共線，向量的模，數(shù)量線性運算法則依次判斷各選項.【詳解】連接，記其交點為，因為四邊形為菱形，所以設(shè)，則，因為，方向相同，大小相等，所以，A正確；因為不一定相等，所以B錯誤；因為，，所以，，所以，C錯誤；因為，所以，D正確；故選：AD.三、填空題9．在平行四邊形中，,,．【答案