2022-2023學(xué)年廣東省湛江七中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年廣東省湛江七中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.從6名班委中選出2人分別擔(dān)任正、副班長，一共有多少種選法？（）

A.11B.12C.30D.36

2.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（Oe2）,若p（χ>2）=0.023,則P（-2<X<2）=（）

A.0.477B,0.682C.0.954D.0.977

3.“仁、義，禮、智、信”為儒家“五?！保煽鬃犹岢?現(xiàn)將“仁、義、禮、智、信”

五個字排成一排，則“禮、義”相鄰，且“智、信”相鄰的排法種數(shù)為（）

A.24B.32C.36D.48

4.甲、乙、丙、丁四名同學(xué)分別從籃球、足球、排球、羽毛球四種球類項目中選擇一項進

行活動，則四名同學(xué)所選項目各不相同且只有乙同學(xué)選籃球發(fā)生的概率（）

3323

CD

---

98

64128

5.（/+§5的展開式中一的系數(shù)是（）

A.90B.80C.70D.60

6.在5道題中有3道代數(shù)題和2道幾何題,如果不放回地依次抽取2道題，則在第1次抽到代數(shù)

題的條件下，第2次抽到代數(shù)題的概率為（）

A.IB.IC.?D.I

7.已知隨機變量X的分布列是，則E（X+α）=（）

X123

11

Pa

42

5995

C

--

A.2-24D.4-

8.第24屆冬奧會奧運村有智能餐廳4、人工餐廳B,運動員甲第一天隨機地選擇一餐廳用餐,

如果第一天去2餐廳，那么第二天去4餐廳的概率為0.7；如果第一天去B餐廳，那么第二天去

4餐廳的概率為0.8.運動員甲第二天去4餐廳用餐的概率為（）

A.0.75B,0.7C.0.56D,0.38

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.在一個袋中裝有大小相同的4黑球，6個白球，現(xiàn)從中任取3個小球，設(shè)取出的3個小球中

白球的個數(shù)為X,則下列結(jié)論正確的是()

A.隨機變量X服從超幾何分布B.隨機變量X服從二項分布

1Q

C.P(X=2)=/D.E(X)=I

10.2022年冬奧會在北京舉辦，為了弘揚奧林匹克精神，某市多所中小學(xué)開展了冬奧會項目

科普活動.為了調(diào)查學(xué)生對冰壺這個項目的了解情況，在該市中小學(xué)中隨機抽取了10所學(xué)校,

10所學(xué)校中了解這個項目的人數(shù)如圖所示：

八人數(shù)

40-3636

32Λ32

30'八一'、26

20-24'、:272；、J

10-1818

01“*J-----I-J-----1-----11,U........A

ABCDEFGHMN孥校

若從這10所學(xué)校中隨機選取2所學(xué)校進行這個項目的科普活動，記X為被選中的學(xué)校中了解冰

壺的人數(shù)在30以上的學(xué)校所數(shù)，貝女)

A.X的可能取值為0,1,2,3B.P(X=0)=∣

C.E(X)=ID.C(X)=關(guān)

11.某網(wǎng)店最近推出了一款新型兒童玩具電動遙控變形金剛，可以全面提高寶寶的語言能力、

情緒釋放能力、動手能力，同時以其優(yōu)良的做工逐漸在市場中脫穎而出.如表是該網(wǎng)店2021年

年初開始銷售此玩具6周以來所獲得的利潤數(shù)據(jù)統(tǒng)計情況.

N周)123456

y（元）5506507508109551055

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可知y與#線性相關(guān)，且線性回歸方程為y=100x+a，則下列說法正確的是

()

A.a=445

B.銷售該玩具所獲得的利潤逐周增加，平均每周增加約445元

C.相應(yīng)于點(5,955)的殘差為10

D.預(yù)測第7周銷售該玩具所獲得的利潤約為1145元

12.甲、乙、丙、丁、戊五個人并排站在一起拍照，下列說法錯誤的是()

A.若甲站正中間，則共有24種排法

B.若甲、乙相鄰，則共有36種排法

C.若甲不站兩端，則共有48種排法

D.若甲、乙、丙各不相鄰，則共有12種排法

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.Aζ+Cζ=.

14.種植某種樹苗，成活率為|,現(xiàn)種植這種樹苗4棵，則恰好成活3棵的概率為.

15.已知某批零件的長度誤差(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(0,4),從中隨機取一件，其長度

誤差落在區(qū)間(2,4)內(nèi)的概率為.

(附：若隨機變量f服從正態(tài)分布NO,/),則Pa-σ<ξ<μ+σ)=0.6827,P(μ-2σ<ξ<

μ+2σ)=0.9545)

16.李明參加中央電視臺舛國詩詞大會的選拔賽，在已知備選的10道題中，李明能答對

其中的6道，若規(guī)定考試從備選題中隨機地抽出3題進行測試，至少答對2題才能入選，則李

明入選的概率為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

在(X-卷)8的展開式中.

(I)求第3項；

(Il)求含;項的系數(shù).

18.(本小題12.0分)

一個不透明的袋子中，放有大小相同的5個小球，其中3個黑球，2個白球.如果不放回的依

次取出2個球.回答下列問題：

(I)第一次取出的是黑球的概率；

(∏)第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率；

(IIl)在第一次取出的是黑球的條件下，第二次取出的是白球的概率.

19.(本小題12.0分)

袋中有8個白球，2個黑球，這些球除顏色外完全相同，從中隨機地連續(xù)抽取3次，每次取1個

球，求；

（1）有放回抽樣時，取到黑球的次數(shù)X的分布列；

（2）不放回抽樣時，取到黑球的個數(shù)y的分布列.

20.（本小題12.0分）

2021年5月30日清晨5時01分，天舟二號貨運飛船在成功發(fā)射約8小時后，中國航天器的“浪

漫之吻”再度在太空上演，天舟二號貨運飛船與中國空間站天和核心艙順利實現(xiàn)了快速交會

對接.據(jù)航天科技集團五院的專家介紹，此次天舟貨運飛船攜帶的物資可以供3名航天員在太

空中生活3個月，這將創(chuàng)造中國航天員駐留太空時長新的記錄.如果首次執(zhí)行空間站的任務(wù)由

3名航天員承擔(dān)，在3名女性航天員（甲、乙、丙）和4名男性航天員（丁、戊、己、庚）共7名航

天員中產(chǎn)生.

（1）求所選的3名航天員既有男航天員又有女航天員的概率；

（2）求所選的3名航天員中女航天員人數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

21.（本小題12.0分）

某中學(xué)學(xué)生會為了激發(fā)學(xué)生們對中國古典文學(xué)的愛好，提升古典文學(xué)素養(yǎng)，在暑假開學(xué)返校

后的第一個月組織了一個古典文學(xué)研究協(xié)會,在接下來的四個月內(nèi)，該協(xié)會的會員人數(shù)如表：

月份工第一個月第三個月第三個月第四個月第五個月

會員人數(shù)y912172127

（1）求會員人數(shù)與時間變量（記第一個月為％=1,第二個月為％=2,…，以此類推）的線性回

歸方程；（∑≡=1xiyi=303,Xi=55）

（2）根據(jù)（1）中所求的線性回歸方程，預(yù)測該學(xué)年（一學(xué)年按六個月計算）結(jié)束后，會員人數(shù)能否

突破31人.

參考公式：回歸方程y=bχ+α中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為b=EgX3譽=

∑jLl（Xi-G（y［力^_

∑23?4）2；a=y-bχ-

22.（本小題12.0分）

黑龍江省以綠色冬奧為契機，扎實推進“碳達峰、碳中和”工作.某課題組經(jīng)過市場調(diào)查，

得到比亞迪新能源汽車在齊齊哈爾市月銷售量y（單位：十輛）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表：

2021年112021年122022年12022年22022年32022年42022年5

月份

月月月月月月月

月份代碼支1234567

銷售量y

5.79.112.116.821.326.837

(單位：十輛)

(1)通過分析，發(fā)現(xiàn)可用線性回歸模型擬合月銷售量y與月份代碼X的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以

說明(相關(guān)系數(shù)精確到0.01)；

(2)已知該課題組隨機調(diào)查了齊齊哈爾市60位購車車主的性別與購車種類情況，得到的部分?jǐn)?shù)

據(jù)如下表所示.請將以下的2×2列聯(lián)表補充完整，并根據(jù)小概率值α=0.005(XO,OO5=7.879)

的獨立性檢驗判斷是否可以認(rèn)為購置新能源汽車與購車車主的性別有關(guān)聯(lián)？

單位：人

購車種類

車主性別合計

傳統(tǒng)燃油車新能源汽車

男性1248

女性4

合計60

2

參考數(shù)據(jù)：∑f=1(xi-i)(yi-y)=138.5,J∑^1(yi-y)≈26.7?√^7≈2.646

參考公式：

∑Nι(χi-χ)(%-y)2

相關(guān)系數(shù)：T=2=&粽空即,其中"α+"c+d

Σ之I(XL二±、)22jEk(y1歹)2'X

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：6×(6-1)=6×5=30(種)

故選：C.

根據(jù)乘法原理，即可得出結(jié)論.

本題考查了排列組合中的乘法原理，即做一件事情，完成它需要分成n個步驟，做第一步有MI種

不同的方法，做第二步有“2種不同的方法，…，做第n步有Mn種不同的方法，那么完成這件事就

有Ml×M2×...X種不同的方法；本題分兩步討論選法是解答的關(guān)鍵.

2.【答案】C

【解析】解：因為隨機變量X服從正態(tài)分布N(0,tτ2),P(X>2)=p(X<-2)=0.023,

則P(-2<X<2)=l-2×0.023=0.954.

故選：C.

根據(jù)正態(tài)分布的定義，結(jié)合對稱性即可求解.

本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查正態(tài)分布中兩個量〃和。的應(yīng)用，考查曲

線的對稱性，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意，分2步進行分析：

①將“禮、義”和“智、信”分別看成2個整體，有度X國=4種不同的順序，

②將兩個整體與“仁”全排列，有房=6種情況，

則有4X6=24種不同的排法；

故選：A.

根據(jù)題意，分2步進行分析:①將“禮、義”和“智、信”分別看成2個整體,②將兩個整體與“仁”

全排列，由分步計數(shù)原理計算可得答案.

本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：???四名同學(xué)從四種球類項目中選擇一項的總選法數(shù)為：44=256,

又四名同學(xué)所選項目各不相同且只有乙同學(xué)選籃球的選法數(shù)為：Aj=6,

四名同學(xué)所選項目各不相同且只有乙同學(xué)選籃球發(fā)生的概率P=z?=7?,

256IZo

故選:B.

根據(jù)古典概率模型的概念公式，排列公式即可求解.

本題考查古典概率模型的概念公式，排列公式，屬基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】

【分析】

本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，屬于基礎(chǔ)題.

在二項展開式的通項公式中，令X的基指數(shù)等于4,求出r的值，即可求得的系數(shù).

【解答】

解：(/+a5的展開式的通項公式為7；+1=Cξ(x2)5-rφr=C；x10~3r-3r,

令10-3r=4,得r=2,則P的系數(shù)為C>3?=90,

故選：A.

6.【答案】C

【解析】解：因為5道題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，

所以第一次抽到代數(shù)題的前提下，還剩下2道代數(shù)題和2道幾何題，

所以第2次抽到代數(shù)題的概率為P=I=i

42

故選：C.

由己知5道題中如果不放回地依次抽取2道題.在第一次抽到代數(shù)題的條件下，剩余4道題中，有2

道代數(shù)題，代入古典概型公式，得到概率.

本題考查的知識點是獨立事件，分析出基本事件總數(shù)和滿足條件的事件個數(shù)是解答的關(guān)鍵，屬于

基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：依題意可得。+<+a=1,解得a=；,

424

111

---

所以E(X)=Ix424

119

σ=2+-

所以E(X+a)=4-4-4-

故選：C.

根據(jù)分布列的性質(zhì)求出a，即可求出E(X),再根據(jù)期望的性質(zhì)計算可得.

本題主要考查期望的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】A

【解析】解：設(shè)4表示第i天甲去4餐廳用餐，(1=1,2),

設(shè)Bl表示該生第一天去B餐廳用餐，則0=&1)81，且4,Bl互斥，

由題意得P(Ai)=P(Bi)=0.5,P(A2?A1)=0.7,P(∕12∣B1)=0.8,

；?運動員甲第二天去4餐廳用餐的概率為：

P(A2^)=P{A1)P{A2?A1)+P(B1)P(Λ2∣F1)=0.5×0.7+0.5X0.8=0.75.

故選：A.

第2天去哪家餐廳用餐的概率受第1天在哪家餐廳用餐的影響，利用全概率計算公式能求出運動員

甲第二天去4餐廳用餐的概率.

本題考查概率的求法，考查全概率公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

9.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本題考查了超幾何分布的概率公式，以及期望公式，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)己知條件，結(jié)合超幾何分布的概率公式，以及期望公式，即可求解.

【解答】

解：由題意可得，隨機變量X服從超幾何分布，故4選項正確，B選項錯誤，

P(X=2)=?=?,故C選項正確，

Cio2

E(X)=n?^=3×?^j=卷故O選項正確.

故選：ACD.

10.【答案】BD

【解析】解：根據(jù)題意，X的可能取值為0,1,2,

其中了解冰壺的人數(shù)在30以上的學(xué)校有4所，了解冰壺的人數(shù)在30以下的學(xué)校有6所,

所以，P(X=O)=管/P(X=I)=窖=今=/，p(χ=2)=警=卷=余

X的分布列為：

X012

82

P1

___________3_____________________15____________________15__________

8

42122

=--X-+1X+-

(O53(2

15

所以，BD選項正確，4C選項錯誤.

故選：BD.

由題知X的可能取值為0,1,2,且服從超幾何分布，進而求分布列，計算期望方差即可判斷.

本題主要考查離散型隨機變量的分布列和方差，屬于中檔題.

11.【答案】ACD

【解析】解：由表中數(shù)據(jù)可得，X=3.5.3=795，

線性回歸方程為y=IQOx+α>

則795=100X3.5+α-解得α=445，故a正確；

y=100%+445，

銷售該玩具所獲得的利潤逐周增加，平均每周增加約100元，故8錯誤；

相應(yīng)于點(5,955)的殘差為955-(100×5+445)=10,故C正確;

當(dāng)X=7時，y=100X7+445=1145，故。正確.

故選：ACD.

根據(jù)已知條件，結(jié)合線性回歸方程的性質(zhì)，以及殘差的定義，即可求解.

本題主要考查線性回歸方程的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】BC

【解析】解：若甲站在最中間，有溫=24種排法，A正確；

若甲、乙兩人相鄰站在一起，共有“盤掰=48種排法，B錯誤;

若甲不站最邊上，則共有廢用=72種排法，C錯誤；

若甲、乙、丙各不相鄰，則共有掰“=12種排法，。正確.

故選：BC.

對于4,采用特殊元素優(yōu)先法；對于B,采用捆綁法；對于C,采用特殊元素優(yōu)先法；對于D,采

用插空法.

本題主要考查了排列組合知識，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】30

【解析】解：?.?廢=竽=10,M=5x4=20,

???仁+用=10+20=30.

故答案為：30.

利用排列數(shù)和組合數(shù)的定義直接計算即可.

本題考查了組合數(shù)公式的應(yīng)用，考查學(xué)生計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】等

Ol

【解析】解：由題意可得，種植這種樹苗4棵，則恰好成活3棵的概率P=盤(∣)3Xg=券

故答案為：∣γ

Ol

由條件利用n次獨立重復(fù)實驗中恰好發(fā)生k次的概率計算公式，即可求解.

本題主要考查n次獨立重復(fù)實驗中恰好發(fā)生k次的概率計算公式，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】0.1359

【解析】

【分析】

考查正態(tài)分布的概率，屬基礎(chǔ)題.

由正態(tài)分布曲線特征及3c概率求解.

【解答】

解：設(shè)長度誤差為隨機變量G則由題意得：f~N(0,4),

?μ=0,σ=2,???P(2<f<4)=P(〃÷σ<f<μ÷2σ),

=?[P(μ-2σ<f<μ+2σ)-P(μ-σ<ξ<μ+σ)],

=∣×(0.9545-0.6827)=0.1359,

故答案為：0.1359

16.【答案】I

【解析】解：???在已知備選的10道題中，李明能答對其中的6道，

規(guī)定考試從備選題中隨機地抽出3題進行測試，至少答對2題才能入選.

???李明入選的概率為：

dc|+c|_2

故答案為：|.

利用排列組合互斥事件概率加法公式能示求出李明入選的概率.

本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運用.

17.【答案】(I)(X-毋展開式的通項，+1=C^X8^r(-?)r=(-2)中8田得:

令r=2,

則73=(-2)2C念8-6=112χ2.

(II)由(1)得：令8-3r=-1,解得r=3,

所以A=(—1)323磴XT=-竽，

故含工項的系數(shù)為-448.

X

【解析】(I)由二項式定理及二項式展開式的通項得：(X-1)8展開式的通項7r+1=

Cgx"r(-妥)r=(-2)'C∕χ8-3『得：令「=2,貝JIA=(-2)2<?χ8-6=I"/.

(Il)由(1)得：令8-3r=-1,解得r=3,所以A=(―1723叱XT=-r，得解.

本題考查了二項式定理及二項式展開式的通項，屬中檔題.

18.【答案】解：依題意，設(shè)事件4表示“第一次取出的是黑球”，設(shè)事件B表示“第二次取出的

是白球”

(I)黑球有3個，球的總數(shù)為5個，

所以P(A)=|；

(U)第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率為P(AB)=I會=去

3

(Ill)在第一次取出的是黑球的條件下，第二次取出的是白球的概率為P(BM)=鬻=f=∣.

【解析】(I)黑球有3個，球的總數(shù)為5個，代入概率公式即可；

(U)分兩步完成，第一步發(fā)生的概率乘以第二步發(fā)生的概率即可；

(In)在第一次取出的是黑球的條件下，第二次取出的是白球的概率.可以采用縮小基本事件空間

的方法處理，也可以用條件概率公式處理.

本題考查了古典概型的概率，事件的相互獨立性，條件概率等，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)有放回抽樣時，取到黑球的次數(shù)X可能的取值為0,1,2,3,

???每次抽到黑球的概率均為最

3次取球可以看成3次獨立重復(fù)試驗，則X~B(3,},

P(X=O)=CgXφ0Xφ3=部,P(X=I)=G=φ1×φ2=嶄,

P(X=2)=髭Xφ2Xφ1=粽，P(X=3)=e?Xφ3Xφ°=擊,

故X的分布列為:

X0123

6448121

P

125125125

(2)不放回抽樣時，取到的黑球個數(shù)y可能的取值為0,1,2,

z?θz`3r∕r?l√-?2-}f>2.∩?.1

P(Y=O)=第=卷P(Y=I)=第=5,P(y=2)=等=2,

?lθ???lθ??Clo??

故丫的分布列為:

Y012

771

P

1515

【解析】(1)有放回抽樣時，取到黑球的次數(shù)X可能的取值為0，1,2,3,分別求出對應(yīng)的概率,

即可得X的分布列.

(2)不放回抽樣時，取到的黑球個數(shù)丫可能的取值為0,I,2,分別求出對應(yīng)的概率，即可得y的分

布列.

本題主要考查離散型隨機變量分布列的求解，以及需要學(xué)生熟練掌握概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

20.【答案】(1)設(shè)“選出執(zhí)行空間站任務(wù)3名航天員性別不同”為事件M,則P(M)=l-?4=^

(2)由題意可得，X=0,1,2,3,X~H(N=7,n=3,M=3)，

Cicl-k

故

P(X=k)=~7Γ(k=0,1,2,3),

或或一P(X=I)=笛=祟P(χ=2)=?i=∣∣,P(X=3)=萼=+

ΛP(X=O)

可一35'35'7Cy35Cη35

故X的分布列:

XO123

418121

P

希而希

,、nM3x39

???E(X)W=,

【解析】(1)根據(jù)已知條件，利用對立事件求概率.

(2)由題意可得，X=0,1,2,3,別求出對應(yīng)的概率，即可得X的分布列，并結(jié)合期望公式，即

可求解.

本題考查離散型隨機變量分布列，以及期望的求法，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題.

--1一1

21.【答案】解：⑴由題意可得，%=?(l+2+3+4+5)=3,y=1(9+12+17+21+27)=

17.2,

∑