河南省“頂尖計劃”2023-2024學(xué)年高中畢業(yè)班上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題2

20232024學(xué)年高中畢業(yè)班上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1設(shè)集合，，則（）A B. C. D.2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.3.已知同一平面內(nèi)的單位向量滿足，則（）A. B. C. D.4.漢代初年成書的《淮南萬畢術(shù)》記載：“取大鏡高悪，算水盆于下，則見四鄰矣．”這是中國古代人民利用光的反射原理的實例，體現(xiàn)了傳統(tǒng)文化中的數(shù)學(xué)智慧．光的反射原理可概述為：反射光線、入射光線和法線都在同一平面內(nèi)；反射光線和入射光線分居在法線的兩側(cè)；反射角等于入射角．在平面直角坐標(biāo)系中，一條光線從點射出，經(jīng)軸反射后，反射光線所在直線與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（）A. B. C.1 D.25.設(shè)各項都為正數(shù)的無窮等差數(shù)列的公差為，且，則的最小值為（）A. B. C. D.6.已知圓錐的軸截面為正三角形，用平行于底面的平面截圓錐所得到的圓錐與圓臺的體積之比為，則圓錐與圓臺的表面積之比為（）A. B. C. D.7.已知雙曲線的離心率為2，左、右頂點分別為，右焦點為，點在的右支上，且滿足，則（）A. B.1 C. D.28.若函數(shù)在單調(diào)遞增，則的最小值為（）A. B. C. D.0二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9已知樣本數(shù)據(jù)，，，和樣本數(shù)據(jù)，，，滿足，則（）A.，，，的平均數(shù)小于，，，的平均數(shù)B.，，，的中位數(shù)小于，，，的中位數(shù)C.，，，的標(biāo)準(zhǔn)差不大于，，，的標(biāo)準(zhǔn)差D.，，，的極差不大于，，，的極差10.已知函數(shù)圖象的任意一個對稱中心到與之相鄰的對稱軸的距離為，且將該圖象向左平移個單位長度得到的圖象關(guān)于軸對稱，則下列說法正確的是（）A.，B.直線為的圖象的一條對稱軸C.若在單調(diào)遞增，則的最大值為D.對任意，關(guān)于的方程總有奇數(shù)個不同的根11.已知函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，，且，則（）A. B.的圖象關(guān)于點對稱C.以6為周期的函數(shù) D.12.已知球的半徑為2，點是球表面上的定點，且，，點是球表面上的動點，滿足，則（）A.有且僅有一個點使得 B.點到平面的距離為C.存在點使得平面 D.的取值范圍為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知函數(shù)，則______．14.設(shè)，若，，則______．15.一個不透明的盒子中有4個除顏色外完全相同的球，其中3個紅球，1個白球．從盒子中隨機(jī)取兩次球，每次取出1個球和2個球的概率均為，則最終盒子里只剩下1個球且是白球的概率為______．16.已知橢圓的兩個焦點為．點為上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩點，且，的面積，則的離心率的取值范圍為______．四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.記的內(nèi)角的對邊分別為，的面積為．（1）求；（2）若，，為邊的中點，求．18.如圖，在正四棱柱中，，，E，F(xiàn)，G，H分別為棱，，，的中點．（1）證明：E，F(xiàn)，G，H四點在同一個平面內(nèi)；（2）若點在棱上且滿足平面，求直線與平面所成角正弦值．19.已知數(shù)列滿足，.（1）設(shè)，求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，證明：.20.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；（2）若為極小值點，求的取值范圍．21.小明參加一項答題活動，需進(jìn)行兩輪答題，每輪均有道題．第一輪每道題都要作答；第二輪按次序作答，每答對一題繼續(xù)答下一題，一旦答錯或題目答完則結(jié)束答題．第一輪每道題答對得5分，否則得0分；第二輪每道題答對得20分，否則得0分．無論之前答題情況如何，小明第一輪每題答對的概率均為，第二輪每題答對的概率均為．設(shè)小明第一輪答題的總得分為，第二輪答題的總得分為．（1）若，求；（2）證明：當(dāng)時，．22.已知拋物線的焦點為，