高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-2測(cè)評(píng)第一章1歸納與類比

第一章DIYIZHANG推理與證明§1歸納與類比課后篇鞏固提升A組1.下列圖形都是由同樣大小的正方形按一定的規(guī)律組成,其中第1個(gè)圖形由1個(gè)小正方形組成,第2個(gè)圖形由3個(gè)小正方形組成,第3個(gè)圖形由7個(gè)小正方形組成,第4個(gè)圖形由13個(gè)小正方形組成,……,那么第8個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是()A.72 B.73 C.57 D.58解析因?yàn)榈?個(gè)圖形中的小正方形個(gè)數(shù)為1;第2個(gè)圖形中的小正方形個(gè)數(shù)為1+2=3;第3個(gè)圖形中的小正方形個(gè)數(shù)為1+2+4=7;第4個(gè)圖形中的小正方形個(gè)數(shù)為1+2+4+6=13;所以第8個(gè)圖形中的小正方形個(gè)數(shù)為1+2+4+6+8+10+12+14=57.故選C.答案C2.下列幾種推理中是合情推理的是()①由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì).②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和均為180°,歸納出所有三角形的內(nèi)角和均為180°.③教室內(nèi)有一把椅子壞了,猜想該教室內(nèi)所有的椅子都?jí)牧?④由a1=1,a2=3,a3=5,a4=7,歸納出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n1.A.①② B.①③④ C.①②④ D.②④解析①是類比推理,②④是歸納推理,故①②④都是合情推理.答案C3.下面使用類比推理恰當(dāng)?shù)氖?)A.“若a·3=b·3,則a=b”類比推出“若a·0=b·0,則a=b”B.“(a+b)c=ac+bc”類比推出“(a·b)c=ac·bc”C.“(a+b)c=ac+bc”類比推出“a+bc=aD.“(ab)n=anbn”類比推出“(a+b)n=an+bn”答案C4.已知數(shù)對(duì)如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…,則第60個(gè)數(shù)對(duì)是()A.(3,8) B.(4,7) C.(4,8) D.(5,7)解析由前面的幾個(gè)數(shù)對(duì)不難發(fā)現(xiàn),數(shù)對(duì)中兩數(shù)之和為2的有1個(gè),為3的有2個(gè),為4的有3個(gè),…,為11的有10個(gè),則根據(jù)數(shù)對(duì)規(guī)律可推出第56個(gè)數(shù)對(duì)為(1,11),往下的數(shù)對(duì)依次為(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),(6,6),….故選D.答案D5.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)(x0,y0)到直線Ax+By+C=0的距離d=|Ax0+By0+C|A2+B2,類比可得在空間直角坐標(biāo)系中,A.4 B.5 C.163 D.解析類比可得,點(diǎn)(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距離為d=|A故點(diǎn)(2,3,4)到平面x+2y+2z4=0的距離d=|2+2×3+2×4-答案A6.若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,則數(shù)列bn=an+1+an+2+…+an+mm(m∈N*)也為等差數(shù)列,類比上述性質(zhì),相應(yīng)地,若正項(xiàng)數(shù)列答案m7.觀察下列等式:sin30°+sin照此規(guī)律,對(duì)于一般的角α,β,有等式.

解析根據(jù)等式的特點(diǎn),發(fā)現(xiàn)tan30°+90°2=3,tan15°+75°2=1,tan20°答案sinα+sinβ8.閱讀以下求1+2+3+…+n(n∈N+)的過程:因?yàn)?n+1)2n2=2n+1,n2(n1)2=2(n1)+1,…,2212=2×1+1,以上各式相加得(n+1)212=2(1+2+…+n)+n,所以1+2+3+…+n=n2類比上述過程,可得12+22+32+…+n2=(n∈N+).

解析因?yàn)?n+1)3n3=3n2+3n+1,n3(n1)3=3(n1)2+3(n1)+1,…,2313=3×12+3×1+1,以上各式相加得(n+1)313=3(12+22+…+n2)+3(1+2+…+n)+n,所以12+22+32+…+n2=n(答案n9.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,anan+1=nn(1)求a2,a3,a4,a5,并猜想通項(xiàng)公式an;(2)根據(jù)(1)中的猜想,有下面的數(shù)陣:S1=a1S2=a2+a3S3=a4+a5+a6S4=a7+a8+a9+a10S5=a11+a12+a13+a14+a15試求S1,S1+S3,S1+S3+S5,并猜想S1+S3+S5+…+S2n1的值.解(1)因?yàn)閍1=1,由anan+1=nn+1,知an+1=n+1nan,故a2=2,a3=3,a4=4,a5=5,可歸納猜想出(2)根據(jù)(1)中的猜想,數(shù)陣為:S1=1S2=2+3=5S3=4+5+6=15S4=7+8+9+10=34S5=11+12+13+14+15=65故S1=1=14S1+S3=1+15=16=24S1+S3+S5=1+15+65=81=34可猜想S1+S3+S5+…+S2n1=n4.10.在Rt△ABC中,∠C=90°,當(dāng)n>2時(shí),有cn>an+bn成立,請(qǐng)你類比直角三角形的這個(gè)性質(zhì),猜想一下空間四面體的性質(zhì).解如圖,與Rt△ABC對(duì)應(yīng)的是四面體PDEF;與Rt△ABC的兩條邊交成一個(gè)直角相對(duì)應(yīng)的是四面體PDEF的三個(gè)面在一個(gè)頂點(diǎn)D處構(gòu)成3個(gè)直二面角;與Rt△ABC直角邊a,b相對(duì)應(yīng)的是四面體PDEF的平面△DEF,△FPD,△DPE的面積S1,S2,S3;與Rt△ABC的斜邊c相對(duì)應(yīng)的是四面體PDEF的平面△PEF的面積S.由此猜想:當(dāng)n>2時(shí),Sn>S1B組1.已知點(diǎn)P(10,3)在橢圓C:x2a2+y299=1上.若點(diǎn)N(x0,y0)在圓M:x2+y2=r2上,則圓M過點(diǎn)N的切線方程為x0x+y0y=r2.由此類比得橢圓A.x33+y11=1 BC.x11+y33=1 D解析因?yàn)辄c(diǎn)P(10,3)在橢圓C:x2a2+故可得100a2+999=1,解得由類比可得橢圓C在點(diǎn)P處的切線方程為10x110+3y99=1,整理可得x答案C2.如圖,坐標(biāo)紙上的每個(gè)單元格的邊長(zhǎng)為1,由下往上的六個(gè)點(diǎn)1,2,3,4,5,6的橫、縱坐標(biāo)分別對(duì)應(yīng)數(shù)列{an}{n∈N+}的前12項(xiàng)(即橫坐標(biāo)為奇數(shù)項(xiàng),縱坐標(biāo)為偶數(shù)項(xiàng)),按如此規(guī)律下去,則a2013+a2014+a2015=()A.1006 B.1007 C.1008 D.2015解析觀察點(diǎn)的坐標(biāo)可知,偶數(shù)項(xiàng)的值等于其項(xiàng)數(shù)的一半,則a4n3=n,a4n1=n,a2n=n,∵2013=4×5043,2015=4×5041,∴a2013=504,a2015=504,a2014=1007.∴a2013+a2014+a2015=1007.答案B3.記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,利用倒序求和法,可將Sn表示成首項(xiàng)a1,末項(xiàng)an與項(xiàng)數(shù)n的一個(gè)關(guān)系式,即Sn=n(a1+an)2;類似地,記等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn,且bn>0(n∈N+),試類比等差數(shù)列求和的方法,可將Tn表示成首項(xiàng)b,末項(xiàng)bn與項(xiàng)數(shù)n的一個(gè)關(guān)系式A.n(b1C.nb1bn D.(b解析利用等比數(shù)列的性質(zhì),若m+n=p+q,則bm·bn=bp·bq,利用倒序求積法可得Tn=b1·b2·…·bn,Tn=bn·bn-答案D4.觀察下列式子:1+122<32,1+122+132<53,1+12解析由已知的式子:1+122<32,1+122+132<5故可得1+122+13答案40415.在長(zhǎng)方形ABCD中,對(duì)角線AC與兩鄰邊所成的角分別為α,β,則cos2α+cos2β=1,請(qǐng)?jiān)诹Ⅲw幾何中,給出類比猜想.分析由平面幾何中的長(zhǎng)方形可聯(lián)想到立體幾何中的長(zhǎng)方體,如圖.解在長(zhǎng)方形ABCD中,cos2α+cos2β=ac2+于是類比到長(zhǎng)方體中,猜想其體對(duì)角線與共頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為α,β,γ,則cos2α+cos2β+cos2γ=1.證明如下:cos2α+cos2β+cos2γ=ml2+6.一種十字繡作品由相同的小正方形構(gòu)成,圖①②③④分別是制作該作品前四步所對(duì)應(yīng)的圖案,按照如此規(guī)律,第n步完成時(shí)對(duì)應(yīng)圖案中所包含小正方形的個(gè)數(shù)記為f(n).(1)求出f(2),f(3),f(4),f(5)的值;(2)利用歸納推理,歸納出f(n+1)與f(n)的關(guān)系式;(3)猜想f(n)的表達(dá)式,并寫出推導(dǎo)過程.解(1)圖①中只有一個(gè)小正方形,得f(1)=1;圖②中有3層,以第2層為對(duì)稱軸,有1+3+1=5(個(gè))小正方形,得f(2)=5;圖③中有5層,以第3層為對(duì)稱軸,有1+3+5+3+1=13(個(gè))小正方形,得f(3)=13;圖④中有7層,以第4層為對(duì)稱軸,有1+3+5+7+5+3+1=25(個(gè))小正方形,得f(4)=25;第五步所對(duì)應(yīng)的圖案中有9層,以第5層為對(duì)稱軸,有1+3+5+7+9+7+5+3+1=41(個(gè))小正方形,得f(5)=41.(2)∵f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25,f(5)=41,∴f(2)f(1)=4=4×1,f(3)f(2)=8=4×2,f(4)f(3)=12=4×3,f(5)f(4)=16=4×4,∴f(n+1)f(n)=4n.∴f(n+1)與f(n