2023年陜西省寶雞市高考數(shù)學(xué)三模試卷（文科）

2023年陜西省寶雞市高考數(shù)學(xué)三模試卷（文科）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.設(shè)全集U={0,1,2,3,4},集合4={x∈U∣∣x-2∣<l},則CUA=（）

A.{x∣l<X<3}B.{x∣l≤X≤3}C.{2}D.{0,1,3,4}

2.比較甲、乙兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的各項(xiàng)能力指標(biāo)值（滿分為5分，分值高者為優(yōu)），繪

制了如圖所示的六維能力雷達(dá)圖，例如圖中甲的數(shù)學(xué)抽象指標(biāo)值為4,乙的數(shù)學(xué)抽象指標(biāo)值為

5,則下面敘述正確的是（）

直觀想象

A.甲的邏輯推理能力指標(biāo)值優(yōu)于乙的邏輯推理能力指標(biāo)值

B.甲的數(shù)學(xué)建模能力指標(biāo)值優(yōu)于乙的直觀想象能力指標(biāo)值

C.乙的六維能力指標(biāo)值都優(yōu)于甲的六維能力指標(biāo)值

D.甲的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力指標(biāo)值優(yōu)于甲的直觀想象能力指標(biāo)值

3.設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)W為復(fù)數(shù)Z的共粗復(fù)數(shù)，若滿足（l-i）W=2,則復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對

應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4.如圖，網(wǎng)格紙上的小正方形的邊長為1,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體

的體積為（）

A.32B.16C.yD.y

5.已知命題p：3x∈/?,ex=0.1；命題q：直線kX-αy=0與%：2x+αy-l=0相互

垂直的充要條件為a=則下列命題中為真命題的是()

A.pAqB.pΛ(-?)C.(-p)VqD.(-p)Λ(-?)

6.我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“定樓神器”，如圖1,由物理學(xué)知

識可知，某阻尼器的運(yùn)動過程可近似為單擺運(yùn)動，其離開平衡位置的位移y(m)和時(shí)間t(s)的

函數(shù)關(guān)系為y=sin(ωt+φ)(ω>0,∣φ∣<兀)，如圖2,若該阻尼器在擺動過程中連續(xù)三次到達(dá)

同一位置的時(shí)間分別為％t2,t3(0<t1<t2<t3'),且G+t2=2,t2+t3=5,則1分鐘內(nèi)

阻尼器由其它位置擺動經(jīng)過平衡位置的次數(shù)最多為()

A.19B.40C.20D.41

7.已知α,。是空間兩個(gè)不同的平面，m,n是空間兩條不同的直線，則結(jié)論錯誤的是()

A.mLa,n_L3，mln,則a1夕

B.m1a,n1S且α〃夕，則n√∕n

C.m1α,n1.β,且m〃n,則戊〃0

D.a∕∕β,muα,nu￡,則小〃兀

8.已知口袋內(nèi)有一些大小相同的紅球、白球和黃球，從中任意摸出一球，摸出的球是紅球

或白球的概率為0.4,摸出的球是紅球或黃球的概率為0.9,則摸出的球是黃球或白球的概率

為()

A.0.7B,0.5C.0.3D.0.6

9.在《九章算術(shù)中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉膈.在鱉膈4-BC。中ABI

平面BCD,BC1CD,且AB=BC=CD=2,則鱉席4-BCD外接球的表面積為()

A.yπB.6πC.12πD.16π

10.若α∈(0,7T),且Sina+2cosa=2,則tan號等于()

A.3B.2C.~D.—

11.設(shè)α=log23,ft=3∣^C=2∣>則()

A.a<c<bB.a<b<cC.c<b<aD.c<a<b

12.已知函數(shù)/'O)=僚彘屋。，則下列選項(xiàng)正確的是()

A./(x)沒有極值點(diǎn)

B.當(dāng)me(-l,l)時(shí)，函數(shù)f(x)圖象與直線y=Hi有三個(gè)公共點(diǎn)

C.點(diǎn)(1,0)是曲線y=/(X)的對稱中心

D.直線y=x-1是曲線y=f(x)的切線

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知向量3=(i,λΛ7),b=(>n,<6),則平面向量B在向量日方向上的投影為.

14.古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把手(匚!二=0,618)稱為黃金數(shù).離心率等于黃金數(shù)的倒數(shù)

的雙曲線稱為黃金雙曲線.若黃金雙曲線E：3一y2=i(α>o)的左、右頂點(diǎn)分別為A2,

則雙曲線E的頂點(diǎn)占到漸近線的距離為.

15.在AABC中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c,其中c=4,且滿足COSC=S?ιC,

2sin(B+$=C-2yΓ3cosA,則邊α等于

16.如圖，正方體力BCD-AlBIClDl棱長為2,P是線段上

的一個(gè)動點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的為.

①BP的最小值為浮

②存在P點(diǎn)的某一位置，使得P,A,B1,C四點(diǎn)共面

③PyI+PB的最小值為+√^I

④以點(diǎn)B為球心，小年為半徑的球面與面4。G的交線長為

2y∕~6

-K-幾

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題12.0分)

已知等差數(shù)列｛冊｝的前n項(xiàng)和為又,56=3%+24,且S7,√^7α4-2c?成等比數(shù)列.

(I)求｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)生=淬二求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和為

18.(本小題12.0分)

黨的二十大以來，習(xí)近平總書記指出，要在教育‘雙減'中做好科學(xué)教育加法，激發(fā)青少年好奇心、想

象力、探求欲，培育具備科學(xué)家潛質(zhì)、愿意獻(xiàn)身科學(xué)研究事業(yè)的青少年群體.某校從2022年起

先后開發(fā)開設(shè)了機(jī)器人、航模、3。創(chuàng)意造型、地球探險(xiǎn)等科技類校本課程.為調(diào)研學(xué)生對課程

的滿意度并不斷改進(jìn)科技教育，該校從2022年1月到10月每兩個(gè)月從全校3000名學(xué)生中隨機(jī)

抽取150名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:

月份X246810

滿意人數(shù)y8095100105120

(1)由表中看出，可用線性回歸模型擬合滿意人數(shù)y與月份X之間的關(guān)系，求y關(guān)于X的回歸直

線方程y=bx+a'并預(yù)測12月份該校全體學(xué)生中對科技課程的滿意人數(shù);

(2)10月份時(shí)，該校為進(jìn)一步深化科技教育改革，了解不同性別的學(xué)生對科技課程是否滿意,

經(jīng)調(diào)研得如下統(tǒng)計(jì)表:

滿意不滿意合計(jì)

男生651075

女生552075

合計(jì)12030150

請根據(jù)上表判斷是否有95%的把握認(rèn)為該校的學(xué)生性別與對科技課程是否滿意有關(guān)？

χ

夫???八T`h-∑‰ι<yi-≡y_∑ilι(*i-^)(yi-y)-_

參考"I：∑2i/一∑F=ef2'a=y-bx-

P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.005

k°2.7063.8415.0246.6357.879

2

F=(a+b)()3+

黑藍(lán)看其中"α+b+c+d?∑≡=1(χi-i)(yi-y)=180.

5

?(?j-X)2=40

1=1

19.(本小題12.0分)

在四棱錐P-ABCE中，AB∕∕CE,AB1BC,AB=4,BC=√^>CE=3,PAl平面A8CE,

PE與平面ABCE所成角60°,又AM_LPE于M,ANLPB于N.

(1)證明：PBI平面AMN；

(2)求二面角P-AM-N的余弦值.

R

A

20.(本小題12.0分)

已知橢圓E：?+'=l(α>b>0)的離心率為殍，短軸長為4.

(1)求橢圓E的方程；

(2)設(shè)直線丫=而-1(卜€(wěn)/?)與橢圓后交于。。兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)Q,使得對任意

實(shí)數(shù)匕直線QC,QC的斜率乘積為定值？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

21.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=(x2—2x—l)ex,g(x)=(―x2+3%+l)βx+2mx,mER.

(1)設(shè)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為(Q)，討論((X)的單調(diào)性；

7n

(2)設(shè)九式%)=m(x+l)Znx+(m—l)x,h2(%)=/(x)+g(x)—mχ9當(dāng)％∈(1,+8)時(shí)，若

∕?(久)≥九ι(%)恒成立，求實(shí)數(shù)Tn的取值范圍.

22.(本小題10.0分)

已知點(diǎn)P(X,y)在曲線％2+y2=1上.

(1)求動點(diǎn)M(%+y*y)的軌跡C的參數(shù)方程，并化為直角坐標(biāo)方程；

(2)過原點(diǎn)的直線I與(1)中的曲線C交于4B兩點(diǎn)，且|0川?∣OBl=磊，求直線I的斜率.

23.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(%)=|1-x∣÷2?x+2|.

(I)求不等式f(乃≤9的解集；

(11)令/(%)的最小值為限若正實(shí)數(shù)@,b,C滿足，+2+;=zn,求證：j+b+c≥12.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：由IX-2|<1可得一1<x-2<1,解得l<x<3,

因?yàn)槿疷={0,1,2,3,4},

所以4={x∈t∕∣∣x-2|<1}={x∈t∕∣l<X<3}={2},

所以CUa={0,134}.

故選：D.

先化簡集合4然后用補(bǔ)集的定義即可求解

本題主要考查了集合補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：依題意，乙的邏輯推理能力3分，而甲的邏輯推理能力4分，故A正確；

甲的數(shù)學(xué)建模能力指標(biāo)值為3分，乙的直觀想象能力指標(biāo)值為5分，故B錯誤；

乙的六維能力指標(biāo)值有4項(xiàng)優(yōu)于甲的六維能力指標(biāo)值，故C錯誤；

甲的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力指標(biāo)值為4分，而甲的直觀想象能力指標(biāo)值為5分，故。錯誤；

故選：A.

根據(jù)雷達(dá)圖中所給的信息，逐項(xiàng)分析即可.

本題考查了統(tǒng)計(jì)圖表的識別和應(yīng)用，審清題意是正確解題的關(guān)鍵，本題屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：由題意知，z=A=7F??=1+

所以Z=I—i,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(1,—1),在第四象限.

故選：D.

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算可得W=1+3由共輾復(fù)數(shù)的概念可得z=l-i,結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義

即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及共軌復(fù)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】

【分析】∕↑?

由三視圖知該幾何體是直三棱柱截去一個(gè)三棱錐，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)求出幾何體/;■

的體積.?≡χ

本題考查了利用三視圖求幾何體的體積應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.AZ*XA?.

/\

【解答】/

解：由三視圖知，該幾何體是直三棱柱減去一個(gè)三棱錐，如圖所示；

所求幾何體的體積為直三棱柱的體積減去三棱錐的體積，

GPK=I×43-?×?×42×2=y.

故選：D.

5.【答案】B

【解析】解：令x=bιθ.l,則e*=0.1,所以P為真命題，

若k與%相互垂直，則2-a?=。，

解得α=+V-2,故q為假命題，

所以只有PA(-ιq)為真命題.

故選：B.

確定命題p,q的真假，然后由復(fù)合命題的真值表判斷.

本題主要考查了復(fù)合命題真假的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】解：因?yàn)镾+=2,+13=5,Q-tι=7，所以7=3.

又T=2，所以?=等則y=sin,t+@),

由0≤t≤60,則w≤當(dāng)t+0≤40兀+勿，

所以1分鐘內(nèi)阻尼器由其它位置擺動經(jīng)過平衡位置的最多次數(shù)，

等價(jià)于1分鐘內(nèi)y=Sin(yt+φ)=0的最多次數(shù)，

等價(jià)于區(qū)間即,4OTr+租］里包含kτr(k∈Z)的最多次數(shù)，

又∣3∣<兀，則區(qū)間［0,40兀+◎］里包含了0,π,2兀，3π,39?；蜇?，2π,3π,...,40π,

所以區(qū)間即，40〃+村里包含kτr(k€Z)的最多次數(shù)為40.

故選:B.

根據(jù)己知條件確定3,根據(jù)t的范圍，確定等t+0的范圍，則分鐘內(nèi)阻尼器由其它位置擺動經(jīng)過平

衡位置的最多次數(shù)，等價(jià)于1分鐘內(nèi)y=sin(與t+0)=O的最多次數(shù)，由此即可求.

本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

7.【答案】D

【解析】解：對于4若mlα,mln,則nuɑ或n〃ɑ,

若nUα,nJ.￡,則α1

若力/a,則平面α存在直線C使得n〃c,又nJ.6，所以c10,又CUα,所以α10,故A正確；

對于8：若TnIa,a∕∕β,則TnjL夕，又"JL，則m〃幾，故B正確；

對于C：若ni?Lα,m∕∕n,所以n_La,又n13且α,0是空間兩個(gè)不同的平面，貝IJa〃夕，故C正

確；

對于若a〃￡,muα,nu0,則7?1〃《或Tn與n異面，故O錯誤.

故選：D.

利用空間中線線、線面、面面關(guān)系逐一判斷即可.

本題考查空間中線面關(guān)系與面面關(guān)系，屬中檔題.

8.【答案】4

【解析】解：設(shè)摸出紅球的概率為PQ4),摸出黃球的概率是P(B),摸出白球的概率為P(C),

所以P(4)+P(C)=0.4,P(A)+P(B)=0.9,且P(A)+P(B)+P(C)=1,

所以P(C)=1-PQ4)-P(B)=0.1,P(B)=1-P(A)-P(C)=0.6,

所以P(B)+P(C)=0.7.

故選：

設(shè)摸出紅球的概率為P(Z),摸出黃球的概率是P(B),摸出白球的概率為P(C),求出P(B)、P(C)的

值，相加即可求解.

本題主要考查互斥事件的概率加法公式，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】C

【解析】解：如圖，取4。的中點(diǎn)為0,連接8。，C0,

因?yàn)锳BJ_平面BCD,BDu5FfMBCD,故ABIBD,

同理4B1CD,

因?yàn)?。的中點(diǎn)為。，故。4=OB=。。，

而BC1CD,BCnAB=B,BC,ABU平面ABC,故8CL平面力BC,

而ACU平面ABC,故COJLAC,

故。C=。。，所以。為三棱錐4-BC。外接球的球心，

又4B=BC=CD=2,故BD=2。，所以AD=√4+8=2<^3,

故三棱錐A-BCD外接球半徑為C，故其外接球的表面積為12兀.

故選：C.

取4。的中點(diǎn)為0,連接BO,C0,可證。為三棱錐力-BC。外接球的球心，故可求外接球的表面積.

本題考查了三棱錐外接球的表面積計(jì)算，屬于中檔題.

10.【答案】C

【解析】解：丫α∈(0,π),

??井(°，力

設(shè)tan卷=x,%>0,

.2tα嗚2xl-ta∏2fI-X2

Sina=-------?=7—7,cosa=-------羌=τ-

l+tan2^l+x2l+tan2^l+x2

..?2x?l-x22X+2-2X2?

.?.sina+2cosa=-1+2-^=-r^=2,

即％+1—x2=1+%2,

即x(2x-1)=O,

解得X=?

故選：C.

根據(jù)二倍角公式和si∕ια+2cosa=2,利用換元法即可求出答案.

本題考查了倍角公式和方程的解法，換元是關(guān)鍵，屬于中檔題.

11.【答案】O

［解析］解：a=log23>log22>J~2=

又〃=2<(|)3=?

所以c<∣,

由于35<28,所以52。勿3<8,

即∕og23<I=1.6.

而b=3寺=>1.7'

所以C<a<b,

故選：D.

利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)以及對數(shù)的運(yùn)算，并借助中間量進(jìn)行比較，即得答案.

本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性在函數(shù)值大小比較中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】D

【解析】解：函數(shù)f(%)的定義域?yàn)镽,且/(O)=O,

因?yàn)楫?dāng)%≠。時(shí),f(x)=xln?x?,

所以當(dāng)%>O時(shí)，/(x)=xlnχ9

此時(shí)—X<0,/(—x)=-xln?—x?=-xln?x?=—/(%),

所以/(%)為奇函數(shù)，

對于A：當(dāng)％>O時(shí)，f(x)=xlnx,

∕,(x)=Inx+1,

令/'(%)=。得X=%

所以在(0,3上/(X)<O,f(x)單調(diào)遞減，

在(，+8)上尸(尤)>O,/(x)單調(diào)遞增，

所以在X=；處的/Q)取得極小值點(diǎn)，故A錯誤；

對于B：由A可得Jf(X)?小值=)(；)=?ln?=-?,

fQ)極大值=??=%

當(dāng)％TO時(shí)，xlnx→O,

結(jié)合/(%)的單調(diào)性和奇偶性，作出/(%)的圖象：

所以當(dāng)一;<機(jī)<；時(shí)，函數(shù)/(X)圖象與直線y=M有三個(gè)公共點(diǎn)，故B錯誤；

對于C：若(Lo)是f(x)的對稱中心,則有f(x)+f(2-x)=O恒成立,

令X=O時(shí)，/(O)+/(2)=0,但是f(2)=0-/(0)=0,

與f(2)=2∕n2≠0,

所以(1,0)不是/(X)對稱中心，故C錯誤；

對于D：當(dāng)%>O時(shí)，f(x)=xlnx,

∕,(x)=Inx+1,

令尸(X)=1,解得X=1,

又/⑴=0,

所以f(x)在(Lo)處的切線的方程為y-/(l)=∕'(l)(x-l),即y=x-l,故。正確；

故選：D.

由函數(shù)奇偶性定義可得/(x)為奇函數(shù)，對于4當(dāng)X>O時(shí)，/(x)=xlnx,求導(dǎo)分析單調(diào)性，極值,

即可判斷A是否正確；

對于B：由4可得/(%)彼為g?=-3f(X)極大值=：，結(jié)合f(x)的單調(diào)性和奇偶性，作出f(X)的圖象,

可得當(dāng)-;<m<｝時(shí)，函數(shù)f(x)圖象與直線y=m有三個(gè)公共點(diǎn)，即可判斷B是否正確；

對于C：若(1,0)是/(%)的對稱中心,則有f(x)+f(2-%)=0恒成立,令X=0時(shí),/(2)=2ln2≠0,

即可判斷C是否正確；

對于D：當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=xlnx,求導(dǎo)得/'(X),令尸(X)=1,解得X=1,進(jìn)而可得切線方程,

即可判斷。是否正確.

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中需要理清思路，屬于中檔題.

13.【答案】3

【解析】解：由題意知，造石=IX√3+√^7x√^^=3C，∣α∣=J12+(ΛΛ^2)2=√3.

所以向量救在向量益上的投影為雪=嗎=3?

lɑlV3

故答案為：3.

根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得W?b=3<3.根據(jù)向量的幾何意義可得同=門，結(jié)合投

影向量的概念計(jì)算即可求解.

本題主要考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】要

【解析】解：設(shè)雙曲線的半焦距為c,

則c=√a?+](=*，

雙曲線與2—y2=1的漸近線方程為χ±αy=o,

a￡

所以頂點(diǎn)4(—α,0)到漸近線距離為：

故答案為：2L∣∑1.

由黃金雙曲線的定義列方程求α,C關(guān)系，計(jì)算頂點(diǎn)到漸近線的距離即可.

本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，化歸轉(zhuǎn)化思想，方程思想，屬中檔題.

15.【答案]2<2

【解析】W：*?*cosC=sinC9C∈(O,ττ),即COSC≠0,

??.tanC=1,解得C=p

??,2sin(B+今)=c-2√^3cosΛ,即2sin(B÷C)=2sinA=c—2√"^^cos4,

??,c=4,???2sinA+2yf~3cosA=4,即sin(4+1)=1,

A-/c3π?,IV一/c13τι

???A∈(0,彳)，???/+§∈(0,—x),

???4+T=S,解得4=也

?ZO

a4

在AABC中，由正弦定理得n高=c備，即T=7T，解得a=2?I.

?I7ι∕l?IfiU2-2-

故答案為：2?∕^"Σ?

由題意得tαnC=l,求出C,結(jié)合題意可得2sin(B+C)=2sim4=c-2qcos4求出4=也利

用正弦定理，即可得出答案.

本題考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

16.【答案】③④

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析4個(gè)結(jié)論:

對于①，如圖，

連接B4、BD,易得AA∕D為邊長為2。的等邊三角形，

BP的最小值為B到直線&D的距離，B∣J?中邊上的高九,

易得九=√8—2=√-6?①錯誤；

對于②，連接A/、CB1,如圖：

易得AlD〃B[C,則有&?！ㄆ矫?BιC,直線4道與平面無公共點(diǎn),

故不存在P,使得P,A,B1,C四點(diǎn)共面，

對于③，將4、41、B、D翻轉(zhuǎn)到同一平面內(nèi)，如圖：

△為等腰直角三角形，為等邊三角形，則P4+PC的最小值為AB,

又由AD=AM=2,AB=√4+4=2√7,?AAB=^,?AAD=≡

11?Z1N

在AAiAB中，由余弦定理可得：AB2=4+8-8/7cos^=8+4<3,

則AB=+√~∑,故PA+PB的最小值為√"石+V~2,③正確.

對于④，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4(2,0,0),D(2,2,0),C(0,2,0),Λ1(2,0,2),D1(2,2,2),C1(2,2,0),B1(2,2,2),

故碩=(0,2,-2),幅＞=(-2,2,0)，

設(shè)點(diǎn)B到平面為DCl的距離為d,元=(%,y,z)是平ffi4DCι的法向量，

則有'I?,2y2zO,令z=］可得，％=y=1,則元=(X,y,z),

又山前=(2,2,0)，則d=嚅=言=苧，

故以點(diǎn)B為球心，門為半徑的球面與面AlDCI的交線是以，6-d2=苧為半徑的圓，

則交線長為2兀X?=空，④正確.

故答案為：③④.

根據(jù)題意，依次分析4個(gè)結(jié)論是否正確，對于①，易得A4/D為邊長為2々的等邊三角形，由此

可得BP的最小值為△&BD中邊上的高八,計(jì)算可得①錯誤,對于②,分析可得占?！ㄆ矫鍭BIC,

直線與平面4/C無公共點(diǎn)，可得②錯誤，對于③，將4、4、B、。翻轉(zhuǎn)到同一平面內(nèi)，分

析可得PA+PC的最小值為4B,利用余弦定理計(jì)算可得③正確，對于④，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立

空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B到平面&DCl的距離為d,由向量數(shù)量積的計(jì)算公式可得d的值，分析可得

交線圓的半徑，計(jì)算可得④正確，綜合可得答案.

本題考查棱柱的幾何結(jié)構(gòu)，涉及直線與平面的位置關(guān)系，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,

由56=3α3+24,可得6%+ISd=3α1+6d+24,即%+3d=8,

又57，√~7α4,2。2成等比數(shù)列，可得7可=2α2S7,

2

即7(%+3d)=2(α1+d)(7a1+217),化為a1+d=4,

解得的=d=2,

則αzι=2+2(n-1)=2n；

o`hSn-2n∣n(2+2π)?2n

n

(2)bn==-------------=(n+1)?2-

則％=2?21+3?22+4?23+...+(n+l)?2n,

234n+1

2Tn=2?2+3?2+4?2+...+(n+1)?2,

23nn+1

兩式相減可得-Tn=2+2+2+2+...+2-(n+1)?2

n

=2+2(l-2)-?n+1|

I-Z

化簡可得7；=n?2"i.

【解析】(1)由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，以及等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，解方程可得首項(xiàng)和公

差，進(jìn)而得到所求；

jl

(2)求得bn=(n+l)?2,由數(shù)列的錯位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算可得所求

和.

本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，以及數(shù)列的錯位相減法求和，考查方程思

想和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

-2+4+6+8+10,-80+95+100+105+120

18.【答案】解:X=---------------=6,y=--------------------------=110n0n,

2

∑i=ι(χi-χ)(yt-y)=180,∑?=1(χi-%)=40,

Illlla_∑豈(XiM)(兀一歷_180_-_

2-45,

則b一∑5xl(xi-x)^40^-?α=y-hx=IOO-4.5×6=73-

???y關(guān)于X的回歸直線方程y=4.5尤+73，取X=I2,得y=4,5X12+73=127?

故預(yù)測12月份該校全體學(xué)生中對科技課程的滿意人數(shù)為127人；

22

n(ad-bc)150(65x20—10×55)150.1?o.1

(2)K=(α+b)(c+d)(α+c)("d)=75x75x120x3。=3?！?.167>3-841>

???有95%的把握認(rèn)為該校的學(xué)生性別與對科技課程是否滿意有關(guān).

【解析】(1)由已知求得b與α的值，可得線性回歸方程，取X=12求得y即可;

(2)求出1的值，結(jié)合已知表格中的數(shù)據(jù)得結(jié)論.

本題考查線性回歸方程與獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

19.【答案】解：(1)證明：過4作A尸〃BC,又AF=Ba

則易得四邊形4BCF為矩形，

以直線AF,AB,4P分別為％,y,Z軸，建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系，

又AE=A種+/勿=2,且PE與平面ABCE所成角60。，

?Z.PEA=60o,.?.tan60°=—=y∣~^,：.PA-2??^3.

ΛP(0,0,2√^),B(0,4,0),F(√3,1,0),^PE=(ΛΓ3,1,-2√~3).

設(shè)府=AP+λ^PE=(0,0,2C)+(y∏λ,λ,-2y∏,λ)=(λΓ3Λ,λ,2√^3-2門2),

.?.AM=(√3Λ,λ,2y∏-2√^1>),即M(C∕l,九2<3-2^32),

VAMLPE,.?.AM-^PE=3λ+λ+12Λ-12=0.解得；I='，

zr

祠=(宇今？>XPB=(0,4,-20).

.?.PB-AM=0+3-3=0>

.?.PBlAM,又4V1PB,AMoAN=A,AM,ANU平面AMN,

：,PB，平面4MN.

(2)由(I)可知PB，平面4NM,

?BP=(0,-4,2門)為平面AMN的一個(gè)法向量，

又BE=√BC2+CE2=2√3.???BE2+AE2=AB2,

.?.BEIAE,又PAJL平面ABCE,BEU平面4BCE,

.?.PA1BE,又P4CiAE=A,PA,AEU平面4PE,

.?.BE1平面APE,

.?.BE=(C,一3,0)為平面力PE的一個(gè)法向量，

-cn.?<RPRF>-銀麗-12_@

"C0S<BP*>-I明.∣函-2G2C-~7~,

???二面角P-AM-N的余弦值為手.

【解析】(1)利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)AMLPE求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而可得PB_!AM,利用

線面垂直的判定定理即可證明；

(2)利用空間向量法即可求解.

本題考查向量法證明線面垂直，向量法求解二面角問題，屬中檔題.

20.【答案】解：(1)由題意可知b=2,

￡=C且。2=爐+。2,

a2

：,a=2Λ∕-2,b=2,

??.橢圓E的方程為《+[=1；

84

(2)由(1)知橢圓方程為I+1=1,

o4

設(shè)Q(O,m),C(XI,%),0(X2,丫2)，

y=kx—1

22,得(2攵2+1)/—4依-6=0,

—χ十—y—1

(84

4k—6

???/+"ZUR''及2=E'

kk=YL乂ν2一—=(入1一1—7八)(-2—1-7九)

xI×2間％2

化簡得∕CQC%D=G_?)^2+(m+1)2,

為使其為定值則令苧=0,解得爪=±2,

.?.Q(0,2)或Q(O,-2).

【解析】(1)由橢圓的性質(zhì)，直接求出a,b的值；

(2)聯(lián)立直線方程與橢圓方程，設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，表示出QC,QD的斜率，直接計(jì)算即可解出.

本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，設(shè)而不求法與韋達(dá)定理的應(yīng)用，方程思想,

屬中檔題.

21.【答案】解：(l)∕(χ)=(χ2-3)ex,令PQ)=(x2-3)蜻，

則p'(%)=(x2+2x—3)βx=(%—l)(x+3)ex,

當(dāng)％V—3或%>1時(shí)，p,(x)>0,函數(shù)P(X)單調(diào)遞增，

當(dāng)一3VXVl時(shí)，p'(%)<0,函數(shù)ρ(%)單調(diào)遞減，

即/'(%)在(-8,-3)和(L+8)上單調(diào)遞增，在(-3,1)上單調(diào)遞減.

(2)當(dāng)％∈(1,+8)時(shí)，若電(%)≥h1(久)成立，

?P%βx+X≥mxmlnx÷Tn對X∈(1,+8)恒成立，

BP%βx÷X≥minx?xm+n?"X對X∈(1,+8)恒成立，

亦即xe*+%≥(mlnχ)yernlnx+τn)X對X∈(1,+8)恒成立，

設(shè)函數(shù)∕ι(%)=xex+X,：.h(x)≥九(mhιx)對》∈(1,+8)恒成立,又∕ι'(%)=(x+l)ex+1,

設(shè)0(久)=hr(x)=(%÷l)ex+1,?φ'(x)=(%+2)ex,

???當(dāng)％6(-8,-2)時(shí)，φf(x)<0,此時(shí)點(diǎn)工(%)在(-8,-2)上單調(diào)遞減，

當(dāng)％∈(-2,+8)時(shí)，φf(x)>0,此時(shí)無'(%)在(-2,+8)上單調(diào)遞增,

.?.∕ι,(x)>∕ι,(-2)=l-^>0,

???九(X)在R上單調(diào)遞增，又∕ι(x)≥h(mlnχy),

???X≥τnbι%在(1,+8)上恒成立，

令r(%)=x—minx,則/(%)=1—=

①當(dāng)?n≤1時(shí)，r(x)>0在(L+8)上恒成立，???r(x)>r(l)=1>0,此時(shí)滿足已知條件；

②當(dāng)m>1時(shí),由r'(x)=0,解得％=mf

當(dāng)％∈(1,Tn)時(shí)，r,(x)<0,此時(shí)r(%)在(l,m)上單調(diào)遞減,

當(dāng)％∈(∕n,+8)時(shí)，r,(x)>0,此時(shí)r(x)在(Tn,+8)上單調(diào)遞增,

:?r(x)的最小值r(τn)=m-mlnm≥0,解得1<m≤e,

綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-8,司?

【解析】(1)根據(jù)求導(dǎo)公式和運(yùn)算法則求出((久)=P(%),利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)p(%)的單調(diào)